Эффект Фойгта

Схема полярного эффекта Керра, продольного эффекта Керра и эффекта Фойгта

Эффект Фойгта — это магнитооптическое явление, которое вращает и эллипизирует линейно поляризованный свет, попадающий в оптически активную среду. ^[1] Эффект назван в честь немецкого учёного Вольдемара Фойгта , открывшего его в парах . В отличие от многих других магнитооптических эффектов, таких как эффект Керра или Фарадея, которые линейно пропорциональны намагниченности (или приложенному магнитному полю для ненамагниченного материала), эффект Фойгта пропорционален квадрату намагниченности (или квадрату магнитное поле ) и его можно наблюдать экспериментально при нормальном падении. Существуют и другие названия этого эффекта, взаимозаменяемые в современной научной литературе: эффект Коттона-Мутона (в отношении французских ученых Эме Коттона и Анри Мутона , которые несколько лет спустя открыли тот же эффект в жидкостях ) и магнитно-линейное двойное лучепреломление . , причем последнее отражает физический смысл эффекта.

Для падающей электромагнитной волны с линейной поляризацией и образца с плоской поляризацией вращение в геометрии отражения имеет вид: ${\displaystyle {\vec {E_{i}}}=(\cos \beta ,\,\sin \beta ,\,0)e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}}$ ${\displaystyle {\vec {m}}=(\cos \phi ,\,\sin \phi ,\,0)}$ ${\displaystyle \delta \beta }$

$${\displaystyle \delta \beta _{r}={\frac {2\Delta n}{n_{0}^{2}-1}}\sin[2(\phi -\beta )]}$$

$${\displaystyle \delta \beta _{t}={\frac {B_{1}+n_{0}^{2}{\Big [}{\frac {2L\omega }{c}}(1+n_{0})Q_{i}Q_{r}+Q_{r}^{2}-Q_{i}^{2}{\Big ]}}{n_{0}(1+n_{0})}},}$$

${\textstyle \Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}}$ ${\displaystyle Q=Q_{i}+iQ_{r}}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle M^{2}}$ ${\displaystyle (\mu _{0}H)^{2}}$

Подробный расчет и иллюстрация приведены в разделах ниже.

Теория

Рамки и система координат для вывода эффекта Фойгта. , и имеются в виду падающее, отраженное и прошедшее электромагнитное поле. ${\displaystyle {\vec {E}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}_{r}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}_{t}}$

Как и в случае с другими магнитооптическими эффектами, теория развивается стандартным образом с использованием эффективного диэлектрического тензора, на основе которого вычисляются собственные значения и собственные векторы систем. Как обычно, из этого тензора магнитооптические явления описываются преимущественно недиагональными элементами.

Здесь рассматривается падающая поляризация, распространяющаяся в направлении z: электрическое поле и однородно намагниченный образец в плоскости, где отсчет ведется от кристаллографического направления [100]. Цель состоит в том, чтобы вычислить, где происходит вращение поляризации из-за связи света с намагниченностью. Заметим, что экспериментально это небольшая величина порядка мрад. — вектор приведенной намагниченности, определяемый как намагниченность при насыщении. Мы подчеркнули, что именно потому, что вектор распространения света перпендикулярен плоскости намагничивания, можно увидеть эффект Фойгта. ${\displaystyle {\vec {E_{i}}}=(\cos \beta ,\,\sin \beta ,\,0)e^{-i\omega (t-n_{1}z/c)}}$ ${\displaystyle {\vec {m}}=(\cos \phi ,\,\sin \phi ,\,0)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\vec {E_{r}}}=(\cos \beta +\delta \beta ,\,\sin \beta +\delta \beta ,\,0)e^{-i\omega (t+n_{1}z/c)}}$ ${\displaystyle \delta \beta }$ ${\displaystyle \delta \beta }$ ${\displaystyle {\vec {m}}}$ ${\displaystyle {\vec {m}}={\vec {M}}/M_{s}}$ ${\displaystyle M_{s}}$

Диэлектрический тензор

Следуя обозначениям Гильберта ^[2] обобщенный диэлектрический кубический тензор примет следующий вид: ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$

$${\displaystyle (1)\qquad \varepsilon _{r}=\epsilon {\begin{bmatrix}1&0&iQm_{y}\\0&1&-iQm_{x}\\-iQm_{y}&iQm_{x}&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1}m_{x}^{2}&B_{2}m_{x}m_{y}&0\\B_{2}m_{x}m_{y}&B_{1}m_{y}^{2}&0\\0&0&B_{1}m_{z}^{2}\end{bmatrix}}}$$

^{[ когда? ]} ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle m_{i}^{2}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}=M_{i}/M_{s}}$ ${\displaystyle B_{1}=B_{2}}$

Собственные значения и собственные векторы

Для расчета собственных значений и собственных векторов мы рассматриваем уравнение распространения, полученное из уравнений Максвелла, с соглашением : ${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {k}}c/\omega }$

$${\displaystyle (2)\qquad n^{2}{\vec {E}}-{\vec {n}}({\vec {n}}\cdot {\vec {E}})=\varepsilon {\vec {E}}}$$

Когда намагниченность перпендикулярна волновому вектору распространения, в отличие от эффекта Керра, все три его компонента могут быть равны нулю, что значительно усложняет вычисления и делает уравнения Френеля недействительными. Способ упрощения задачи состоит в использовании вектора смещения электрического поля . Так как и у нас есть . Неудобно иметь дело с обратным диэлектрическим тензором, с которым может быть сложно справиться. Здесь расчет производится в общем случае, который математически сложен для обработки, однако демонстрацию можно легко проследить, рассмотрев . ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0}$ ${\displaystyle {\vec {k}}\parallel {\vec {z}}}$ ${\displaystyle {\vec {D}}=(D_{x},D_{y},0)}$ ${\displaystyle \phi =0}$

Собственные значения и собственные векторы находятся путем решения уравнения распространения, которое дает следующую систему уравнений: ${\displaystyle {\vec {D}}}$

$${\displaystyle (3)\quad {\begin{cases}(\varepsilon _{xx}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{x}+\epsilon _{xy}^{-1}D_{y}=0\\\\\varepsilon _{yx}^{-1}D_{x}+(\varepsilon _{yy}^{-1}-{\frac {1}{n^{2}}})D_{y}=0\end{cases}}}$$

${\displaystyle \varepsilon _{ij}^{-1}}$ ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle n^{2}=\varepsilon }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle B_{1}}$

$${\displaystyle n_{\parallel }^{2}=\varepsilon +B_{1}}$$

$${\displaystyle n_{\perp }^{2}=\varepsilon (1-Q^{2})}$$

Соответствующие собственные векторы для и для : ${\displaystyle {\vec {D}}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}}$

$${\displaystyle (4)\qquad {\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}\cos(\phi )\\\sin(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}-\sin(\phi )\\\cos(\phi )\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\parallel }=\varepsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\parallel }={\begin{pmatrix}{\frac {\cos(\phi )}{B_{1}+\varepsilon }}\\{\frac {\sin(\phi )}{B_{1}+\epsilon }}\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {E}}_{\perp }=\varepsilon ^{-1}{\vec {D}}_{\perp }={\begin{pmatrix}{\frac {\sin(\phi )}{(Q^{2}-1)\epsilon }}\\{\frac {\cos(\phi )}{(1-Q^{2})\epsilon }}\\{\frac {-iQ}{(1-Q^{2})\epsilon }}\end{pmatrix}}}$$

Геометрия отражения

Отношение непрерывности

Зная собственные векторы и собственные значения внутри материала, необходимо вычислить отраженный электромагнитный вектор, обычно обнаруживаемый в экспериментах. Мы используем уравнения непрерывности для и где – индукция, определяемая из уравнений Максвелла выражением . Внутри среды электромагнитное поле разлагается на производные собственные векторы . Система уравнений, которую нужно решить: ${\displaystyle {\vec {E_{r}}}=(E_{rx},E_{ry},0)}$ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {H}}}$ ${\displaystyle {\vec {H}}}$ ${\textstyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}_{t}=\alpha {\vec {E}}_{\parallel }+\beta {\vec {E}}_{\perp }}$

$${\displaystyle (5)\quad {\begin{cases}\alpha {\Big (}{\frac {D_{y\parallel }}{n_{\parallel }}}{\Big )}+\beta {\Big (}{\frac {D_{y\perp }}{n_{\perp }}}{\Big )}+E_{ry}=E_{0y}\\\\\alpha {\Big (}{\frac {D_{x\parallel }}{n_{\parallel }}}{\Big )}+\beta {\Big (}{\frac {D_{x\perp }}{n_{\perp }}}{\Big )}+E_{rx}=E_{0x}\\\\\alpha E_{x\parallel }+\beta E_{x\perp }-E_{rx}=E_{0x}\\\\\alpha E_{y\parallel }+\beta E_{y\perp }-E_{ry}=E_{0y}\end{cases}}}$$

Решением этой системы уравнений являются:

$${\displaystyle (6)\quad E_{rx}=E_{0}{\frac {(1-n_{\perp }n_{\parallel })\cos(\beta )+(n_{\perp }-n_{\parallel })\cos(\beta -2\phi )}{(1+n_{\parallel })(1+n_{\perp })}}}$$

$${\displaystyle (7)\quad E_{ry}=E_{0}{\frac {(1-n_{\perp }n_{\parallel })\sin(\beta )-(n_{\perp }-n_{\parallel })\sin(\beta -2\phi )}{(1+n_{\parallel })(1+n_{\perp })}}}$$

Расчет угла поворота

Угол поворота и угол эллиптичности определяются из соотношения по двум следующим формулам: ${\displaystyle \delta \beta }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \chi =E_{ry}/E_{rx}}$

$${\displaystyle (8)\quad \tan 2\delta \beta ={\frac {2\operatorname {Re} (\chi )}{1-|\chi |^{2}}}\qquad (9)\quad \sin(2\psi _{K})={\frac {2\operatorname {Im} (\chi )}{1-|\chi |^{2}}},}$$

${\displaystyle \operatorname {Re} (\chi )}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (\chi )}$ ${\displaystyle \chi }$

$${\displaystyle (10)\qquad \chi ={\frac {(B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2})}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}{\frac {\sin[2(\phi -\beta )]}{\cos(\beta )^{2}}}+\tan(\beta ).}$$

$${\displaystyle (11)\qquad \delta \beta =\operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]\sin[2(\phi -\beta )],}$$

${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle (12)\quad \delta \beta ={\frac {2\Delta n}{n_{0}^{2}-1}}\sin[2(\phi -\beta )],}$$

${\displaystyle \Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}}$ ${\displaystyle \Delta n}$ ${\displaystyle \phi -\beta }$ ${\displaystyle \Delta n}$ ${\displaystyle B_{1}\propto M_{s}^{2}}$ ${\displaystyle Q\propto M_{s}}$

Геометрия трансмиссии

Расчет вращения эффекта Фойгта при передаче в принципе эквивалентен расчету эффекта Фарадея. На практике эта конфигурация вообще не используется для ферромагнитных образцов, поскольку длина поглощения в этом материале мала. Однако использование геометрии пропускания более распространено для парамагнитной жидкости или кристалла, где свет может легко перемещаться внутри материала.

Расчет для парамагнетика точно такой же, как и для ферромагнитного, за исключением того, что намагниченность заменяется полем ( в или ). Для удобства поле будет добавлено в конце расчета в магнитооптических параметрах. ${\displaystyle \mu _{0}{\vec {H}}=\mu _{0}H_{0}(\cos \phi ,\,\sin \phi )}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {A/m} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$

Рассмотрим передаваемые электромагнитные волны , распространяющиеся в среде длиной L. Из уравнения (5) для и : ${\displaystyle {\vec {E}}_{t}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle \alpha ={\frac {2E_{0}n_{\parallel }\cos(\theta -\phi )}{1+n_{\parallel }}}}$$

$${\displaystyle \beta ={\frac {2E_{0}n_{\perp }^{2}\sin(\theta -\phi )}{n_{\perp }+1}}}$$

z = L ${\displaystyle {\vec {E}}_{t}}$

$${\displaystyle (13)\quad {\vec {E}}_{t}=e^{-i\omega [t+{\frac {(n_{\parallel }+n_{\perp })L}{2c}}]}{\Big [}\alpha {\vec {E}}_{\parallel }e^{i{\frac {\omega \Delta nL}{c}}}+\beta {\vec {E}}_{\perp }e^{-i{\frac {\omega \Delta nL}{c}}}{\Big ]}}$$

${\displaystyle {\vec {E}}_{\parallel }}$ ${\displaystyle {\vec {E}}_{\perp }}$ ${\displaystyle \Delta n={\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{2}}}$ ${\displaystyle \chi ={\frac {E_{t_{y}}}{E_{t_{x}}}}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle (14)\quad \chi ={\frac {c-i~\omega L(1+n_{0})(B_{1}+n_{0}Q^{2})\sin[2(\beta -\phi )]}{4cn_{0}(1+n_{0})\cos ^{2}(\beta )}}={\frac {c-i~\omega L(1+n_{0})\Delta n\sin[2(\beta -\phi )]}{c~(1+n_{0})\cos ^{2}(\beta )}}}$$

Мы снова получаем нечто пропорциональное и , длине распространения света. Заметим, что точно так же пропорционально геометрии относительно отражения намагниченности. Чтобы извлечь вращение Фойгта, мы рассматриваем , и действительный. Затем нам нужно вычислить действительную часть (14). Полученное выражение затем подставляется в (8). В приближении отсутствия поглощения для вращения Фойгта в геометрии пропускания получаем: ${\displaystyle \Delta n}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Delta n}$ ${\displaystyle (\mu _{0}H_{0})^{2}}$ ${\displaystyle n_{0}=\eta +i~\kappa }$ ${\displaystyle Q=Q_{r}+i~Q_{i}}$ ${\displaystyle B_{1}}$

$${\displaystyle (15)\quad \delta \beta =(\mu _{0}H)^{2}{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}{\Big [}{\frac {2L\omega }{c}}(1+n_{0})Q_{i}Q_{r}+Q_{r}^{2}-Q_{i}^{2}{\Big ]}}{n_{0}(1+n_{0})}}}$$

Иллюстрация эффекта Фойгта в GaMnAs

Рис. 1: а) Экспериментальный цикл гистерезиса на плоском образце (Ga,Mn)As. б) Цикл гистерезиса Фойгта, полученный путем извлечения симметричной части (а). в) Продольный Керр, полученный путем выделения асимметричной части (а)

Рис. 2: а) Механизм переключения плоского образца (Ga,Mn)As для магнитного поля, приложенного вдоль оси [1-10] при температуре 12 К. б) Сигнал Фойгта, смоделированный с помощью механизма, показанного на а)

В качестве иллюстрации применения эффекта Фойгта приведем пример в магнитном полупроводнике (Ga,Mn)As, где наблюдался большой эффект Фойгта. ^[3] При низких температурах (обычно для ) для материала с намагниченностью в плоскости (Ga,Mn)As демонстрирует двухосную анизотропию с намагниченностью, ориентированной вдоль (или близкой к) направлениям <100>. ${\displaystyle T<{\frac {T_{c}}{2}}}$

Типичный гистерезисный цикл, содержащий эффект Фойгта, показан на рисунке 1. Этот цикл был получен путем направления линейно поляризованного света вдоль направления [110] с углом падения примерно 3° (более подробную информацию можно найти в ^[4] ), и измерение вращения вследствие магнитооптических эффектов отраженного светового луча. В отличие от обычного продольного/полярного эффекта Керра, цикл гистерезиса равномерен по отношению к намагниченности, что является признаком эффекта Фойгта. Этот цикл был получен при падении света, очень близком к нормальному, и в нем также присутствует небольшая нечетная часть; необходимо провести правильную обработку, чтобы выделить симметричную часть гистерезиса, соответствующую эффекту Фойгта, и асимметричную часть, соответствующую продольному эффекту Керра.

В представленном здесь случае гистерезиса поле прикладывалось в направлении [1-10]. Механизм переключения следующий:

1. Мы начинаем с сильного отрицательного поля и намагниченности, близкой к направлению [-1-10] в положении 1.
2. Магнитное поле уменьшается, что приводит к когерентному повороту намагниченности от 1 до 2.
3. В положительном поле намагниченность резко переключается с 2 на 3 за счет зарождения и распространения магнитных доменов, создавая первое коэрцитивное поле, названное здесь. ${\displaystyle H_{1}}$
4. Намагниченность остается близкой к состоянию 3, при этом когерентно вращаясь к состоянию 4, расположенному ближе к направлению приложенного поля.
5. И снова намагниченность резко переключается с 4 на 5 в результате зарождения и распространения магнитных доменов. Это переключение происходит из-за того, что конечное положение равновесия находится ближе от состояния 5 по отношению к состоянию 4 (и поэтому его магнитная энергия ниже). Это дает еще одно принудительное поле под названием ${\displaystyle H_{2}}$
6. Наконец, намагниченность когерентно вращается из состояния 5 в состояние 6.

Моделирование этого сценария представлено на рисунке 2, где

$${\displaystyle \operatorname {Re} \left[{\frac {B_{1}+n_{0}^{2}Q^{2}}{2n_{0}(n_{0}^{2}-1)}}\right]P_{\text{Voigt}}=0.5\,\mathrm {mrad} .}$$

${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle P_{\text{Voigt}}}$

Смотрите также

• Атомный сетевой фильтр
• Эффект хлопка-мутона
• Эффект Фарадея

Рекомендации

1. Звездин, Анатолий Константинович (1997), Группа Тейлора и Фрэнсиса (ред.), Современная магнитооптика и магнитооптические материалы: исследования конденсированного состояния , Тейлор и Фрэнсис, Bibcode : 1997mmmm.book.....Z, ISBN 978-0-7503-03620.
2. Хьюберт, Алекс (1998), Спрингер (редактор), Магнитные домены , Спрингер, ISBN 978-3-540-85054-0
3. Кимель (2005). «Наблюдение гигантского магнитного линейного дихроизма в (Ga, Mn) As». Письма о физических отзывах . 94 (22): 227203. Бибкод : 2005PhRvL..94v7203K. doi : 10.1103/physrevlett.94.227203. hdl : 2066/32798 . PMID  16090433. S2CID  164047..
4. Шихаб (2015). «Систематическое исследование зависимости спиновой жесткости от легирования фосфором в ферромагнитном полупроводнике (Ga, Mn) As» (PDF) . Письма по прикладной физике . 106 (14): 142408. Бибкод : 2015ApPhL.106n2408S. дои : 10.1063/1.4917423.

дальнейшее чтение

• Чжао, Чжун-Цюань. Атомные линейные фильтры в возбужденном состоянии. Проверено 26 марта 2006 г.