Эффект Этвеша

Эффект Этвеша — это изменение измеренной гравитации Земли , вызванное изменением центробежного ускорения в результате скорости движения на восток или запад. При движении на восток угловая скорость объекта увеличивается (в дополнение к вращению Земли ), и, таким образом, центробежная сила также увеличивается, вызывая воспринимаемое уменьшение силы тяготения.

Открытие

В начале 1900-х годов немецкая группа из Геодезического института Потсдама провела измерения силы тяжести на движущихся судах в Атлантическом , Индийском и Тихом океанах. Изучая их результаты, венгерский дворянин и физик барон Роланд фон Этвеш ( Loránd Eötvös ) заметил, что показания были ниже, когда судно двигалось на восток, и выше, когда оно двигалось на запад. Он определил это как прежде всего следствие вращения Земли. В 1908 году новые измерения были проведены в Черном море на двух судах, одно из которых двигалось на восток, а другое на запад. Результаты подтвердили заявление Этвеша.

Формулировка

Геодезисты используют следующую формулу для поправки на скорость относительно Земли во время гравиметрического измерения.

${\displaystyle a_{r}=2\Omega u\cos \phi +{\frac {u^{2}+v^{2}}{R}}.}$

Здесь,

${\displaystyle a_{r}}$относительное ускорение

${\displaystyle \Omega }$это скорость вращения Земли

${\displaystyle u}$скорость в продольном направлении (восток-запад)

${\displaystyle \phi }$широта, на которой проводятся измерения.

${\displaystyle v}$скорость в широтном направлении (север-юг)

${\displaystyle R}$это радиус Земли

Первый член в формуле, 2 Ωu  cos( ϕ ), соответствует эффекту Этвеша. Второй член — это уточнение, которое при нормальных обстоятельствах намного меньше эффекта Этвеша.

Физическое объяснение

Наиболее распространенной конструкцией гравиметра для полевых работ является конструкция на основе пружины; пружина, которая подвешивает внутренний груз. Подвешивающая сила, создаваемая пружиной, противодействует силе тяжести. Качественно изготовленная пружина обладает тем свойством, что величина силы, которую оказывает пружина, пропорциональна удлинению пружины из ее положения равновесия ( закон Гука ). Чем сильнее эффективная сила тяжести в определенном месте, тем больше растягивается пружина; пружина растягивается на длину, на которой поддерживается внутренний груз. Кроме того, движущиеся части гравиметра будут демпфированы, чтобы сделать его менее восприимчивым к внешним воздействиям, таким как вибрация.

Для расчетов будем считать, что внутренний груз имеет массу десять килограммов (10 кг; 10 000 г). Будем считать, что для съемки используется способ транспортировки, который обеспечивает хорошую скорость при очень плавном движении: дирижабль. Пусть крейсерская скорость дирижабля будет 25 метров в секунду (90 км/ч; 56 миль/ч).

Движение вдоль экватора

График силы, действующей на 10-килограммовый объект, в зависимости от его скорости, движущейся вдоль экватора Земли (измеренной во вращающейся системе отсчета). (Положительная сила на графике направлена ​​вверх. Положительная скорость направлена ​​на восток, а отрицательная скорость направлена ​​на запад).

Чтобы рассчитать, сколько требуется для того, чтобы внутренний вес гравиметра был нейтрально подвешен, когда он неподвижен относительно Земли, необходимо учесть вращение Земли. На экваторе скорость поверхности Земли составляет около 465 метров в секунду (1674 км/ч; 1040 миль в час). Величина центростремительной силы, необходимая для того, чтобы заставить объект двигаться по круговой траектории с радиусом 6378 километров (экваториальный радиус Земли) со скоростью 465 м/с, составляет около 0,034 ньютона на килограмм массы. Для внутреннего веса 10 000 граммов это составляет около 0,34 ньютона. Величина требуемой силы подвешивания равна массе внутреннего веса (умноженной на ускорение свободного падения) минус эти 0,34 ньютона. Другими словами: любой объект, вращающийся вместе с Землей на экваторе, имеет измеренный вес, уменьшенный на 0,34 процента благодаря вращению Земли.

При движении со скоростью 10 м/с на восток общая скорость становится 465 + 10 = 475 м/с, что требует центростремительной силы около 0,0354 ньютона на килограмм. При движении со скоростью 10 м/с на запад чистая скорость составляет 465 − 10 = 455 м/с, что требует около 0,0325 ньютона на килограмм. Таким образом, если внутренний груз нейтрально подвешен при движении на восток, после изменения курса он больше не будет нейтрально подвешен: кажущаяся масса внутреннего груза в 10 000 граммов увеличится примерно на 3 грамма, и пружина гравиметра должна будет растянуться еще немного, чтобы вместить этот больший вес.

В высокопроизводительных метеорологических моделях этот эффект необходимо учитывать в земном масштабе. Воздушные массы со значительной скоростью относительно Земли имеют тенденцию перемещаться на другую высоту , и когда требования к точности строгие, это необходимо учитывать.

Вывод формулы для упрощенного случая

Вывод формулы движения вдоль экватора.

Удобной системой координат в этой ситуации является инерциальная система координат, которая сопутствует движению центра масс Земли. Тогда справедливо следующее: объекты, которые покоятся на поверхности Земли, вращаясь вместе с Землей, вращаются вокруг оси Земли, поэтому они имеют центростремительное ускорение относительно этой инерциальной системы координат.

Искомая величина — это разница в центростремительном ускорении разведывательного дирижабля между неподвижным относительно Земли и имеющим скорость относительно Земли. Следующий вывод предназначен исключительно для движения в направлении восток-запад или запад-восток.

Обозначение:

${\displaystyle a_{u}}$— полное центростремительное ускорение при движении по поверхности Земли.

${\displaystyle a_{s}}$— центростремительное ускорение в состоянии покоя относительно Земли.

${\displaystyle \Omega }$угловая скорость Земли: один оборот за звездные сутки .

${\displaystyle \omega _{r}}$— угловая скорость дирижабля относительно угловой скорости Земли.

${\displaystyle \left(\Omega +\omega _{r}\right)}$— полная угловая скорость дирижабля.

${\displaystyle u=\omega _{r}R}$— скорость дирижабля (скорость относительно Земли).

${\displaystyle R}$радиус Земли.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{r}&=a_{u}-a_{s}\\&=\left(\Omega +\omega _{r}\right)^{2}R-\Omega ^{2}R\\&=\Omega ^{2}R+2\Omega \omega _{r}R+\omega _{r}^{2}R-\Omega ^{2}R\\&=2\Omega \omega _{r}R+\omega _{r}^{2}R\\&=2\Omega u+{\frac {u^{2}}{R}}\\\end{aligned}}}$

Легко видеть, что приведенная выше формула для движения вдоль экватора следует из более общего уравнения ниже для любой широты, где вдоль экватора v = 465 м/с. и ${\displaystyle \cos \phi =1.0}$

${\displaystyle a_{r}=2\Omega u\cos \phi +{\frac {u^{2}+v^{2}}{R}}}$

Второй член представляет собой необходимое центростремительное ускорение для дирижабля, чтобы следовать кривизне Земли . Оно не зависит ни от вращения Земли, ни от направления движения. Например, когда самолет, несущий гравиметрические приборы, пролетает над одним из полюсов на постоянной высоте, траектория самолета следует кривизне Земли. Тогда первый член в формуле равен нулю, поскольку косинус угла равен нулю, а второй член представляет собой центростремительное ускорение, чтобы следовать кривизне поверхности Земли.

Объяснение косинуса в первом члене

Сила тяжести и нормальная сила . Результирующая сила действует как требуемая центростремительная сила.

Математический вывод эффекта Этвеша для движения вдоль экватора объясняет фактор 2 в первом члене формулы поправки Этвеша. Остается объяснить косинусный фактор.

Из-за вращения Земля не имеет шарообразной формы, имеется экваториальная выпуклость . Сила тяжести направлена ​​к центру Земли. Нормальная сила перпендикулярна локальной поверхности.

На полюсах и на экваторе сила тяжести и нормальная сила направлены строго в противоположные стороны. На любой другой широте они не строго противоположны, поэтому существует результирующая сила, которая действует по направлению к оси Земли. На каждой широте существует ровно столько центростремительной силы, сколько необходимо для поддержания равномерной толщины атмосферного слоя. (Твердая Земля пластична. Всякий раз, когда форма твердой Земли не находится в полном равновесии со скоростью ее вращения, то касательное напряжение деформирует твердую Землю в течение миллионов лет, пока касательное напряжение не разрешится.)

Опять же, пример с дирижаблем удобен для обсуждения действующих сил. Когда дирижабль имеет скорость относительно Земли в широтном направлении, то вес дирижабля не такой же, как когда дирижабль неподвижен относительно Земли.

Если дирижабль имеет скорость на восток, то дирижабль в некотором смысле «ускоряется». Ситуация сравнима с гоночным автомобилем на наклонной трассе с чрезвычайно скользким дорожным покрытием. Если гоночный автомобиль едет слишком быстро, то его будет сносить в сторону. Для дирижабля в полете это означает уменьшение веса по сравнению с весом в неподвижном состоянии относительно Земли.

Если дирижабль имеет скорость на запад, то ситуация похожа на ситуацию гоночного автомобиля на наклонной трассе, который едет слишком медленно: на скользкой поверхности автомобиль будет проседать. Для дирижабля это означает увеличение веса.

Первый член эффекта Этвеша пропорционален составляющей требуемой центростремительной силы, перпендикулярной локальной поверхности Земли, и, таким образом, описывается законом косинуса: чем ближе к экватору, тем сильнее эффект.

Движение вдоль 60 градуса широты

Эффект Этвеша для объекта, движущегося на восток вдоль широты 60 градусов. Объект имеет тенденцию удаляться от оси Земли.

Эффект Этвеша для объекта, движущегося на запад вдоль широты 60 градусов. Объект имеет тенденцию притягиваться к оси Земли.

Снова используется тот же гравиметр, его внутренний груз имеет массу 10 000 граммов.

Расчет снижения веса при неподвижности относительно Земли:
Объект, расположенный на широте 60 градусов, движущийся вместе с Землей, следует по круговой траектории с радиусом около 3190 километров и скоростью около 233 м/с. Эта круговая траектория требует центростремительной силы около 0,017 ньютона на каждый килограмм массы; 0,17 ньютона на внутренний вес 10 000 граммов. На широте 60 градусов составляющая, перпендикулярная локальной поверхности (локальная вертикаль), составляет половину общей силы. Следовательно, на широте 60 градусов любой объект, движущийся вместе с Землей, имеет вес, уменьшенный примерно на 0,08 процента благодаря вращению Земли.

Расчет эффекта Этвеша:
Когда дирижабль летит со скоростью 25 м/с на восток, общая скорость становится 233 + 25 = 258 м/с, что требует центростремительной силы около 0,208 ньютона; локальная вертикальная составляющая около 0,104 ньютона. При полете со скоростью 25 м/с на запад общая скорость становится 233 − 25 = 208 м/с, что требует центростремительной силы около 0,135 ньютона; локальная вертикальная составляющая около 0,068 ньютона. Следовательно, на широте 60 градусов разница до и после разворота внутреннего веса 10 000 граммов составляет разницу в 4 грамма в измеренном весе. (Обычно говорят, что вес — это сила, измеряемая в ньютонах, а не в граммах.)

Диаграммы также показывают компонент в направлении, параллельном локальной поверхности. В метеорологии и океанографии принято называть эффекты компонента, параллельного локальной поверхности, эффектом Кориолиса .

Ссылки

• Эффект Кориолиса PDF-файл. 870 КБ 17 страниц. Общее обсуждение метеорологом Андерсом Перссоном различных аспектов геофизики, охватывающее эффект Кориолиса, как он учитывается в метеорологии и океанографии, эффект Этвеша, маятник Фуко и колонны Тейлора.

Внешние ссылки

• В 1915 году Этвёш построил настольное устройство Архивировано 2015-06-07 в Wayback Machine , которое демонстрирует эффект Этвёша. Устройство находится среди других инструментов, выставленных в небольшом музее, посвященном творчеству и жизни Этвёша.
• Увеличенное изображение настольного устройства с сайта музея.