Смещение Мальмквиста — это эффект в наблюдательной астрономии , который приводит к преимущественному обнаружению изначально ярких объектов. Впервые он был описан в 1922 году шведским астрономом Гуннаром Мальмквистом (1893–1982), который затем значительно развил эту работу в 1925 году. [1] [2] В статистике это смещение называется смещением отбора или цензурированием данных . Оно влияет на результаты в обзоре с ограниченной яркостью , где звезды ниже определенной видимой яркости не могут быть включены. Поскольку наблюдаемые звезды и галактики кажутся более тусклыми, когда находятся дальше, измеряемая яркость будет падать с расстоянием, пока их яркость не упадет ниже порога наблюдения. Объекты, которые являются более яркими или изначально более яркими, можно наблюдать на большем расстоянии, создавая ложную тенденцию увеличения собственной яркости и других связанных величин с расстоянием. Этот эффект привел ко многим ложным заявлениям в области астрономии. Правильная коррекция этих эффектов стала областью пристального внимания.
В повседневной жизни легко заметить, что свет тускнеет по мере удаления. Это можно увидеть на примере автомобильных фар, свечей, фонариков и многих других освещенных объектов. Это затемнение следует закону обратных квадратов , который гласит, что яркость объекта уменьшается как 1 ⁄ r 2 , где r — расстояние между наблюдателем и объектом.
Звездный свет также подчиняется закону обратных квадратов. Световые лучи покидают звезду в равном количестве во всех направлениях. Световые лучи создают сферу света, окружающую звезду. С течением времени сфера растет, поскольку световые лучи проходят через пространство от звезды. Пока сфера света растет, количество световых лучей остается прежним. Таким образом, количество света на единицу площади поверхности сферы (называемое потоком в астрономии) уменьшается с расстоянием и, следовательно, со временем. При наблюдении за звездой можно обнаружить только те световые лучи, которые находятся в данной рассматриваемой области. Вот почему звезда кажется тем тусклее, чем дальше она находится.
Если есть две звезды с одинаковой собственной яркостью (в астрономии это называется светимостью ), каждая из которых находится на разном расстоянии, то более близкая звезда будет казаться ярче, а более далекая — тусклее. В астрономии видимая яркость звезды или любого другого светящегося объекта называется видимой звездной величиной . Видимая звездная величина зависит от собственной яркости (также называемой абсолютной звездной величиной ) объекта и расстояния до него.
Если бы все звезды имели одинаковую светимость, расстояние от Земли до конкретной звезды можно было бы легко определить. Однако звезды имеют широкий диапазон светимости. Поэтому может быть трудно отличить очень яркую звезду, которая находится очень далеко, от менее яркой звезды, которая находится ближе. Вот почему так трудно вычислить расстояние до астрономических объектов.
Обычно, если смотреть на область неба, заполненную звездами, можно увидеть только звезды, которые ярче предельной видимой величины . Как обсуждалось выше, будут видны очень яркие звезды, которые находятся дальше, а также яркие и тусклые звезды, которые находятся ближе. На определенном расстоянии от Земли будет казаться, что ярких объектов больше, чем тусклых. Однако тусклых звезд гораздо больше: [3] их просто невозможно увидеть, потому что они очень тусклые. Смещение в сторону ярких звезд при наблюдении за участком неба влияет на расчеты средней абсолютной величины и среднего расстояния до группы звезд. Из-за ярких звезд, которые находятся на большем расстоянии, будет казаться, что наша выборка звезд находится дальше, чем на самом деле, и что каждая звезда по своей сути ярче, чем она есть на самом деле. Этот эффект известен как смещение Малмквиста. [1]
При изучении выборки светящихся объектов, будь то звезды или галактики , важно скорректировать смещение в сторону более светящихся объектов. Существует много различных методов, которые можно использовать для коррекции смещения Малмквиста, как обсуждается ниже.
Смещение Малмквиста не ограничивается светимостями. Оно влияет на любую наблюдаемую величину, обнаружимость которой уменьшается с расстоянием. [4]
Идеальная ситуация — избежать этого смещения при вводе данных обследования . Однако, обследования с ограниченной величиной являются самыми простыми в выполнении, а другие методы трудно объединить, с их собственными неопределенностями, и могут быть невозможны для первых наблюдений объектов. Таким образом, существует много различных методов, чтобы попытаться исправить данные, устранить смещение и сделать обследование пригодным для использования. Методы представлены в порядке возрастания сложности, но также и возрастания точности и эффективности.
Самый простой метод исправления — использовать только несмещенные части набора данных, если таковые имеются, и отбросить остальные данные. [5] В зависимости от выбранной предельной величины , в наборе данных может быть диапазон расстояний, на которых можно было бы увидеть все объекты любой возможной абсолютной величины . Таким образом, этот небольшой подмножество данных должно быть свободно от смещения Малмквиста. Это легко достигается путем обрезки данных на краю, где объекты с наименьшей абсолютной величиной будут достигать предельной величины . К сожалению, этот метод приведет к потере большого количества хороших данных и ограничит анализ только близлежащими объектами, что сделает его менее желательным. (Глядя на рисунок справа, можно сохранить только первую пятую часть данных по расстоянию, прежде чем точка данных будет потеряна из-за смещения.) Конечно, этот метод предполагает, что расстояния известны с относительно хорошей точностью, что, как упоминалось ранее, является сложным процессом в астрономии.
Первое решение, предложенное Малмквистом в его работе 1922 года, состояло в том, чтобы скорректировать вычисленную среднюю абсолютную величину ( ) выборки обратно к истинной средней абсолютной величине ( M 0 ). [1] Поправка будет следующей:
Для расчета поправки на смещение Малмквист и другие, использующие этот метод, придерживаются шести основных предположений: [6]
Очевидно, это очень идеальная ситуация, причем окончательное предположение особенно тревожно, но позволяет приблизительную коррекцию простой формы. Интегрируя функцию светимости по всем расстояниям и всем величинам ярче m lim ,
где A(m lim ) — общее число звезд ярче m lim . Если пространственное распределение звезд можно считать однородным, то это соотношение упрощается еще больше, до общепринятой формы
Традиционный метод предполагает, что измерения видимой величины и измерения, из которых определяется расстояние, находятся в одном и том же диапазоне или предопределенном диапазоне длин волн (например, диапазон H , диапазон инфракрасных длин волн примерно от 1300 до 2000 нанометров ), и это приводит к поправочной форме cσ 2 , где c — некоторая константа. К сожалению, это бывает редко, так как многие образцы объектов выбираются из одного диапазона длин волн, но расстояние вычисляется из другого. Например, астрономы часто выбирают галактики из каталогов B-диапазона, которые являются наиболее полными, и используют эти величины B-диапазона, но расстояния для галактик вычисляются с использованием соотношения Талли–Фишера и диапазона H. Когда это происходит, дисперсия заменяется ковариацией между разбросом в измерениях расстояния и свойством выбора галактики (например, величиной). [7]
Другой довольно простой метод коррекции заключается в использовании взвешенного среднего для надлежащего учета относительных вкладов при каждой величине. Поскольку объекты с разными абсолютными величинами могут быть видны на разных расстояниях, вклад каждой точки в среднюю абсолютную величину или в функцию светимости может быть взвешен по 1/V max , где V max — максимальный объем, на котором объекты могли быть видны. Более яркие объекты (то есть объекты с меньшими абсолютными величинами ) будут иметь больший объем, на котором они могли бы быть обнаружены, прежде чем попадут под порог, и, таким образом, получат меньший вес с помощью этого метода, поскольку эти яркие объекты будут более полно отобраны. [8] Максимальный объем можно аппроксимировать как сферу с радиусом, найденным из модуля расстояния , используя абсолютную величину объекта и предельную видимую величину .
Однако есть два основных осложнения при вычислении V max . Во-первых, это полнота области, покрытой на небе, которая представляет собой процент неба, из которого были взяты объекты. [8] Полный обзор неба собрал бы объекты со всей сферы, 4π стерадиан , неба, но это обычно непрактично, как из-за ограничений по времени, так и из-за географических ограничений (наземные телескопы могут видеть только ограниченную часть неба из-за того, что Земля находится на пути). Вместо этого астрономы обычно смотрят на небольшой участок или область неба, а затем выводят универсальные распределения, предполагая, что пространство либо изотропно , что оно в целом одинаково во всех направлениях, либо следует известному распределению, например, что можно увидеть больше звезд, глядя к центру галактики, чем глядя прямо в сторону. Как правило, объем можно просто уменьшить на процент, фактически просмотренный, что дает правильное отношение количества объектов к объему. Этот эффект потенциально можно проигнорировать в одной выборке, взятой из одного и того же обзора , поскольку в основном все объекты будут изменены одним и тем же числовым фактором, но его невероятно важно учитывать, чтобы иметь возможность сравнивать разные обзоры с разным покрытием неба.
Второе осложнение — это космологические проблемы красного смещения и расширяющейся Вселенной , которые необходимо учитывать при рассмотрении удаленных объектов. В этих случаях интересующей величиной является сопутствующее расстояние , которое является постоянным расстоянием между двумя объектами, предполагая, что они удаляются друг от друга исключительно с расширением Вселенной, известное как поток Хаббла . По сути, это сопутствующее расстояние является разделением объектов, если бы расширением Вселенной пренебрегали, и его можно легко связать с фактическим расстоянием, учитывая, как бы оно расширялось. Сопутствующее расстояние можно использовать для расчета соответствующего сопутствующего объема, как обычно, или можно легко установить соотношение между фактическим и сопутствующим объемами. Если z — это красное смещение объекта , относящееся к тому, насколько далеко излучаемый свет смещается в сторону более длинных волн в результате удаления объекта от нас с универсальным расширением, D A и V A — фактическое расстояние и объем (или то, что было бы измерено сегодня), а D C и V C — сопутствующее расстояние и интересующие объемы, то
Большим недостатком метода объемного взвешивания является его чувствительность к крупномасштабным структурам или частям Вселенной с большим или меньшим количеством объектов, чем в среднем, таким как звездное скопление или пустота . [10] Наличие очень плотных или недостаточно плотных областей объектов приведет к предполагаемому изменению нашей средней абсолютной величины и функции светимости в соответствии со структурой. Это особая проблема со слабыми объектами при расчете функции светимости, поскольку их меньший максимальный объем означает, что крупномасштабная структура в них будет иметь большое влияние. Более яркие объекты с большими максимальными объемами будут иметь тенденцию к усреднению и приближаться к правильному значению, несмотря на некоторые крупномасштабные структуры.
Существует гораздо больше методов, которые становятся все более сложными и мощными в применении. Некоторые из наиболее распространенных суммированы здесь, с более конкретной информацией, найденной в ссылках.
Этот метод основан на функциях распределения объектов (таких как звезды или галактики), которые являются отношением того, сколько объектов ожидается с определенными собственными яркостями , расстояниями или другими фундаментальными значениями. Каждое из этих значений имеет свою собственную функцию распределения , которая может быть объединена с генератором случайных чисел для создания теоретической выборки звезд. Этот метод берет функцию распределения расстояний как известную, определенную величину, а затем позволяет функции распределения абсолютных величин изменяться. Таким образом, он может проверять различные функции распределения абсолютных величин по сравнению с фактическим распределением обнаруженных объектов и находить отношение, которое обеспечивает максимальную вероятность воссоздания того же набора объектов. Начиная с обнаруженного, смещенного распределения объектов и соответствующих пределов обнаружения, этот метод воссоздает истинную функцию распределения . Однако этот метод требует сложных вычислений и, как правило, полагается на компьютерные программы. [10] [11]
Пол Шехтер обнаружил очень интересную связь между логарифмом ширины линии спектральной линии и ее видимой величиной , работая с галактиками . [12] В идеальном, стационарном случае спектральные линии должны быть невероятно узкими выступами, выглядящими как линии, но движения объекта, такие как вращение или движение на нашем луче зрения, будут вызывать сдвиги и уширение этих линий. Связь находится, начиная с соотношения Талли-Фишера , в котором расстояние до галактики связано с ее видимой величиной и ее шириной скорости, или «максимальной» скоростью ее кривой вращения . Из макроскопического доплеровского уширения , логарифм ширины линии наблюдаемой спектральной линии может быть связан с шириной распределения скоростей. Если расстояния предполагаются очень хорошо известными, то абсолютная величина и ширина линии тесно связаны. [12] Например, работая с обычно используемой линией 21 см , важной линией, относящейся к нейтральному водороду, соотношение обычно калибруется с помощью линейной регрессии и имеет вид
где P — это логарифм (ширины линии), а α и β — константы.
Причина, по которой эта оценка полезна, заключается в том, что обратная линия регрессии фактически не подвержена влиянию смещения Малмквиста, пока эффекты отбора основаны только на величине. Таким образом, ожидаемое значение P при заданном M будет несмещенным и даст несмещенную оценку логарифмического расстояния. Эта оценка имеет много свойств и разветвлений, которые могут сделать ее очень полезным инструментом. [13]
Расширенные версии традиционной коррекции, упомянутой выше, можно найти в литературе, ограничивая или изменяя начальные предположения в соответствии с потребностями соответствующего автора. Часто эти другие методы будут предоставлять очень сложные математические выражения с очень мощными, но конкретными приложениями. Например, работа Лури и др. нашла соотношение для смещения для звезд в галактике , которое связывает коррекцию с дисперсией выборки и видимой величиной , абсолютной величиной и высотой над галактическим диском . Это дало гораздо более точный и аккуратный результат, но также требовало предположения о пространственном распределении звезд в желаемой галактике . [14] Хотя они полезны по отдельности и есть много опубликованных примеров, они имеют очень ограниченную область применения и, как правило, не так широко применимы, как другие методы, упомянутые выше.
Всякий раз, когда используется выборка с ограниченной величиной, следует использовать один из методов, описанных выше, для коррекции смещения Малмквиста. Например, при попытке получить функцию светимости , откалибровать соотношение Тулли–Фишера или получить значение постоянной Хаббла , смещение Малмквиста может сильно изменить результаты.
Функция светимости дает количество звезд или галактик на единицу светимости или абсолютной звездной величины. При использовании выборки с ограниченной звездной величиной количество слабых объектов недопредставлено, как обсуждалось выше. Это смещает пик функции светимости со слабого конца к более яркой светимости и изменяет форму функции светимости. Обычно метод объемного взвешивания используется для коррекции смещения Малмквиста, так что обзор эквивалентен обзору с ограниченным расстоянием, а не обзору с ограниченной звездной величиной. [15] На рисунке справа показаны две функции светимости для примера популяции звезд с ограниченной звездной величиной. Пунктирная функция светимости показывает эффект смещения Малмквиста, в то время как сплошная линия показывает скорректированную функцию светимости. Смещение Малмквиста радикально изменяет форму функции светимости.
Другим приложением, на которое влияет смещение Малмквиста, является соотношение Тулли–Фишера , которое связывает светимость спиральных галактик с их соответствующей шириной скорости. Если для калибровки соотношения Тулли–Фишера используется близлежащее скопление галактик, а затем это соотношение применяется к отдаленному скоплению, расстояние до более отдаленного скопления будет систематически занижено. [13] При занижении расстояния до скоплений все, что найдено с использованием этих скоплений, будет неверным; например, при нахождении значения постоянной Хаббла.
Это всего лишь несколько примеров, когда смещение Малмквиста может сильно повлиять на результаты. Как упоминалось выше, всякий раз, когда используется выборка с ограниченной величиной, смещение Малмквиста необходимо корректировать. Коррекция не ограничивается только приведенными выше примерами.
Существуют некоторые альтернативы, позволяющие попытаться избежать предвзятости Малмквиста или подойти к ней по-другому. Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных из них.
Один идеальный метод избежать смещения Малмквиста — выбирать только объекты в пределах заданного расстояния и не иметь ограничивающей величины , а вместо этого наблюдать все объекты в пределах этого объема. [5] Очевидно, что в этом случае смещение Малмквиста не является проблемой, поскольку объем будет полностью заполнен, и любая функция распределения или светимости будет соответствующим образом отобрана. К сожалению, этот метод не всегда практичен. Нахождение расстояний до астрономических объектов очень сложно, и даже с помощью объектов с легко определяемыми расстояниями, называемых стандартными свечами , и тому подобными вещами, существуют большие неопределенности. Кроме того, расстояния, как правило, не известны для объектов, пока они уже не были обнаружены и проанализированы, и поэтому обзор с ограниченным расстоянием обычно является только вариантом для второго раунда наблюдений и изначально недоступен. [ необходима цитата ] Наконец, обзоры с ограниченным расстоянием , как правило, возможны только для небольших объемов, где расстояния достоверно известны, и, таким образом, это непрактично для больших обзоров .
Этот метод пытается снова исправить смещение , но совершенно другими способами. Вместо того, чтобы пытаться зафиксировать абсолютные величины , этот метод берет расстояния до объектов как случайные величины и пытается перемасштабировать их. [13] По сути, вместо того, чтобы дать звездам в выборке правильное распределение абсолютных величин (и среднюю абсолютную величину ), он пытается «переместить» звезды таким образом, чтобы они имели правильное распределение расстояний. В идеале это должно иметь тот же конечный результат, что и методы коррекции величин, и должно привести к правильно представленной выборке. Как в однородном, так и в неоднородном случае смещение определяется в терминах предварительного распределения расстояний, оценки расстояния и функции правдоподобия этих двух являются одним и тем же распределением. Однородный случай намного проще и перемасштабирует необработанные оценки расстояния на постоянный коэффициент. К сожалению, это будет очень нечувствительно к крупномасштабным структурам, таким как кластеризация, а также к эффектам наблюдательного отбора, и не даст очень точного результата. Неоднородный случай пытается исправить это, создавая более сложное априорное распределение объектов, принимая во внимание структуры, наблюдаемые в наблюдаемом распределении. В обоих случаях, однако, предполагается, что функция плотности вероятности является гауссовой с постоянной дисперсией и средним значением истинного среднего логарифмического расстояния, что далеко от точности. Однако этот метод является предметом споров и может быть неточным в любой реализации из-за неопределенностей в расчете сырых, наблюдаемых оценок расстояния, что делает предположения об использовании этого метода недействительными. [13]
Термин «смещение Малмквиста» не всегда определенно использовался для обозначения смещения, описанного выше. Совсем недавно, в 2000 году, смещение Малмквиста появилось в литературе, явно ссылаясь на различные типы смещения и статистического эффекта. [16] Наиболее распространенным из этих других применений является обозначение эффекта, который имеет место с выборкой с ограниченной величиной , но в этом случае объекты с низкой абсолютной величиной представлены в избыточном количестве. В выборке с ограничением величины будет иметься погрешность вблизи этой границы, где объекты, которые должны быть достаточно яркими, чтобы попасть в выборку, исключаются, а объекты, которые немного ниже предела, вместо этого включаются. Поскольку объекты с низкой абсолютной величиной встречаются чаще, чем более яркие, и поскольку эти более тусклые галактики с большей вероятностью будут находиться ниже линии отсечения и рассеиваться вверх, в то время как более яркие с большей вероятностью будут находиться выше линии и рассеиваться вниз, в результате получается избыточное представительство объектов с низкой светимостью . Однако в современной литературе и консенсусе смещение Малмквиста относится к эффекту, описанному выше.
