Матрица Якобиана и определитель

Матрица всех частных производных первого порядка вектор-функции

В векторном исчислении матрицей Якоби ( / dʒ ə ˈ k oʊ b i ə n / , ^{[1] [2] [3]} / dʒ ɪ -, j ɪ -/ ) векторной функции нескольких переменных является матрица всех ее частных производных первого порядка . Когда эта матрица является квадратной , то есть когда функция принимает то же количество переменных на входе, что и количество векторных компонентов ее выхода, ее определитель называется определителем Якобиана . И матрицу, и (если применимо) определитель в литературе часто называют просто якобианом . ^[4]

Определение

Предположим ^, f  : Rn → Rm — такая функция ^{, что каждая из ее} частных производных первого порядка существует на Rn . Эта функция принимает точку x ∈ Rn в ^{качестве} входных данных и выдает вектор f ( x ) ∈ Rm в качестве выходных ^данных . Тогда матрица Якоби функции f определяется как матрица размера m × n , обозначаемая J , чья ( i , j ) -я запись равна , или явно ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathrm {T} }f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathrm {T} }f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$

где — транспонирование (вектор-строка) градиента -го компонента . ${\displaystyle \nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Матрица Якобиана, элементы которой являются функциями x , обозначается по-разному; общие обозначения включают D f , J _f , и . ^{[5] [6]} Некоторые авторы определяют якобиан как транспонированную форму, приведенную выше. ${\displaystyle \nabla \mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},..,f_{m})}{\partial (x_{1},..,x_{n})}}}$

Матрица Якобиана представляет собой дифференциал f в каждой точке, где f дифференцируемо . Подробно, если h — вектор смещения , представленный матрицей- столбцом , матричное произведение J ( x ) ⋅ h — это другой вектор смещения, который является лучшим линейным приближением изменения f в окрестности x , если f ( x ) дифференцируема в точке x . ^[a] Это означает, что функция, которая отображает y в f ( x ) + J ( x ) ⋅ ( y – x ), является лучшим линейным приближением f ( y ) для всех точек y , близких к x . Линейное отображение h → J ( x ) ⋅ h известно как производная или дифференциал f в точке x .

Когда m = n , матрица Якоби является квадратной, поэтому ее определитель является четко определенной функцией от x , известной как определитель Якобиана f . Он несет важную информацию о локальном поведении f . В частности, функция f имеет дифференцируемую обратную функцию в окрестности точки x тогда и только тогда, когда определитель Якобиана отличен от нуля в точке x (см. гипотезу Якобиана для связанной проблемы глобальной обратимости). Определитель Якобиана также появляется при замене переменных в кратных интегралах (см. правило замены для нескольких переменных ).

Когда m = 1 , то есть когда f :  Rn → R является скалярной функцией , матрица Якобиана сводится к вектору-строке ^; этот вектор - строка всех частных производных первого порядка f является транспонированием градиента f , т.е. Более того, когда m = n = 1 , то есть когда f  : R → R является скалярной функцией одной переменной, матрица Якобиана имеет одну запись; эта запись является производной функции f . ${\displaystyle \nabla ^{\mathrm {T} }f}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{f}=\nabla ^{T}f}$

Эти понятия названы в честь математика Карла Густава Якоба Якоби (1804–1851).

Матрица Якобиана

Якобиан вектор-функции нескольких переменных обобщает градиент скалярной функции нескольких переменных, которая, в свою очередь, обобщает производную скалярной функции одной переменной. Другими словами, матрица Якоби скалярной функции нескольких переменных представляет собой (транспонированную) ее градиент, а градиент скалярной функции одной переменной является ее производной.

В каждой точке, где функция дифференцируема, ее матрицу Якобиана также можно рассматривать как описывающую степень «растяжения», «вращения» или «преобразования», которое функция осуществляет локально вблизи этой точки. Например, если ( x ′, y ′) = f ( x , y ) используется для плавного преобразования изображения, матрица Якоби J _f ( x , y ) описывает, как изображение в окрестности ( x , y ) трансформируется.

Если функция дифференцируема в точке, ее дифференциал задается в координатах матрицей Якоби. Однако функция не обязательно должна быть дифференцируемой, чтобы ее матрица Якоби была определена, поскольку должны существовать только ее частные производные первого порядка.

Если f дифференцируема в точке p в Rn , то ^ее дифференциал представляется через J _f ( p ) . В этом случае линейное преобразование , представленное J _f ( p ), является лучшим линейным приближением f вблизи точки p в том смысле, что

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),}$

где o (‖ x − p ‖) — величина , которая приближается к нулю гораздо быстрее, чем расстояние между x и p , когда x приближается к p . Это приближение специализируется на приближении скалярной функции одной переменной ее полиномом Тейлора первой степени, а именно

${\displaystyle f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)}$.

В этом смысле якобиан можно рассматривать как своего рода « производную первого порядка » вектор-функции нескольких переменных. В частности, это означает, что градиент скалярной функции многих переменных тоже можно рассматривать как ее «производную первого порядка».

^{Составные} дифференцируемые функции f  : Rn → ^Rm и g  : Rm → ^Rk удовлетворяют цепному правилу ^, а именно для x в Rn ^. ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )}$

Якобиан градиента скалярной функции нескольких переменных имеет специальное название: матрица Гессе , которая в некотором смысле является « второй производной » рассматриваемой функции.

определитель якобиана

Нелинейная карта превращает небольшой квадрат (слева, красный) в искаженный параллелограмм (справа, красный). Якобиан в точке дает наилучшую линейную аппроксимацию искаженного параллелограмма вблизи этой точки (справа, полупрозрачный белый цвет), а определитель Якобиана дает отношение площади аппроксимирующего параллелограмма к площади исходного квадрата. ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

Если m = n , то f является функцией от Rn до самого себя ^, а матрица Якобиана является квадратной матрицей . Затем мы можем сформировать его определитель , известный как определитель Якобиана . Определитель якобиана иногда называют просто «якобианом».

Определитель Якобиана в данной точке дает важную информацию о поведении f вблизи этой точки. Например, непрерывно дифференцируемая функция f обратима вблизи точки p ∈ Rn , если определитель Якобиана в точке ^p отличен от нуля. Это теорема об обратной функции . Более того, если определитель Якобиана в точке p положителен , то f сохраняет ориентацию вблизи p ; если оно отрицательное , f меняет ориентацию. Абсолютное значение определителя Якобиана в точке p дает нам коэффициент, на который функция f расширяет или сжимает объемы вблизи p ; вот почему это происходит в общем правиле замены .

Определитель Якобиана используется при замене переменных при вычислении кратного интеграла функции по области в пределах ее области определения. Чтобы учесть изменение координат, величина определителя Якобиана возникает как мультипликативный множитель внутри интеграла. Это связано с тем, что n -мерный элемент dV , вообще говоря, представляет собой параллелепипед в новой системе координат, а n -объем параллелепипеда является определителем его векторов ребер.

Якобиан также можно использовать для определения устойчивости равновесия систем дифференциальных уравнений путем аппроксимации поведения вблизи точки равновесия.

Обратный

Согласно теореме об обратной функции , матрица, обратная матрице Якоби обратимой функции , является матрицей Якоби обратной функции . То есть, если якобиан функции f  : Rn → Rn непрерывен и неособ в точке p ^в Rn , то ^f обратима при ограничении некоторой ^{окрестности} p и

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(x)={\mathbf {J} _{\mathbf {f} }^{-1}(f^{-1}(x))}.}$

Другими словами, если определитель Якобиана не равен нулю в точке, то функция локально обратима вблизи этой точки, т. е. существует окрестность этой точки, в которой функция обратима.

(Недоказанная) гипотеза о якобиане связана с глобальной обратимостью в случае полиномиальной функции, то есть функции, определяемой n полиномами от n переменных. Он утверждает, что если определитель Якобиана является ненулевой константой (или, что то же самое, что он не имеет комплексного нуля), то функция обратима, а ее обратная функция является полиномиальной.

Критические точки

Если f  : Rn → Rm — дифференцируемая функция ^, критическая точка f — это точка, в которой ^ранг матрицы Якоби не является максимальным. Это означает, что ранг в критической точке ниже ранга в некоторой соседней точке. Другими словами, пусть k — максимальная размерность открытых шаров , содержащихся в образе f ; тогда точка является критической, если все миноры ранга k функции f равны нулю.

В случае m = n = k точка является критической, если определитель Якобиана равен нулю.

Примеры

Пример 1

Рассмотрим функцию f  : R ² → R ² с ( x , y ) ↦ ( f 1 ₍ x , y ) , f ₂ ( x , y )), заданную формулой

${\displaystyle \mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.}$

Тогда у нас есть

${\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}y}$

и

${\displaystyle f_{2}(x,y)=5x+\sin y}$

и матрица Якобиана f равна

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}}$

а определитель Якобиана равен

${\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.}$

Пример 2: полярно-декартово преобразование

Преобразование полярных координат ( r , φ ) в декартовы координаты ( x , y ) задается функцией F : R ⁺ × [0, 2 π ) → R ² с компонентами:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}}$

Определитель Якобиана равен r . Это можно использовать для преобразования интегралов между двумя системами координат:

${\displaystyle \iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$

Пример 3: сферически-декартово преобразование

Преобразование сферических координат ( ρ , φ , θ ) ^[7] в декартовы координаты ( x , y , z ) задается функцией F : R ⁺ × [0, π ) × [0, 2 π ) → R ³ с компонентами:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta ;\\z&=\rho \cos \varphi .\end{aligned}}}$

Матрица Якобиана для этого изменения координат равна

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.}$

Определителем является ρ ² sin φ . _ Поскольку dV = dx dy dz — это объем прямоугольного дифференциального элемента объема (поскольку объем прямоугольной призмы представляет собой произведение ее сторон), мы можем интерпретировать dV = ρ ² sin φ dρ dφ dθ как объем сферического дифференциала элемент объема . В отличие от объема прямоугольного элемента дифференциального объема, объем этого элемента дифференциального объема не является константой и изменяется в зависимости от координат ( ρ и φ ). Его можно использовать для преобразования интегралов между двумя системами координат:

${\displaystyle \iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .}$

Пример 4

Матрица Якоби функции F  : R ³ → R ⁴ с компонентами

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}}$

является

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}$

Этот пример показывает, что матрица Якобиана не обязательно должна быть квадратной матрицей.

Пример 5

Определитель Якоби функции F  : R ³ → R ³ с компонентами

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}}$

является

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.}$

Отсюда мы видим, что F меняет ориентацию вблизи тех точек, где x ₁ и x ₂ имеют один и тот же знак; функция локально обратима всюду, кроме точек, где x ₁ = 0 или x ₂ = 0 . Интуитивно понятно, что если начать с крошечного объекта вокруг точки (1, 2, 3) и применить F к этому объекту, то в результате мы получим объект размером примерно в 40 × 1 × 2 = 80 раз больше исходного, с ориентация перевернута.

Другое использование

Динамические системы

Рассмотрим динамическую систему вида , где – (покомпонентная) производная по параметру эволюции (времени), дифференцируемая. Если , то это стационарная точка (также называемая устойчивым состоянием ). По теореме Хартмана-Гробмана поведение системы вблизи стационарной точки связано с собственными значениями , якобиана системы в стационарной точке. ^[8] В частности, если все собственные значения имеют действительные части, которые отрицательны, то система устойчива вблизи стационарной точки. Если какое-либо собственное значение имеет положительную действительную часть, то точка неустойчива. Если наибольшая действительная часть собственных значений равна нулю, матрица Якоби не позволяет оценить устойчивость. ^[9] ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F(\mathbf {x} _{0})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)}$ ${\displaystyle F}$

метод Ньютона

Квадратная система связанных нелинейных уравнений может быть решена итерационным методом Ньютона . Этот метод использует матрицу Якоби системы уравнений.

Регрессия и аппроксимация методом наименьших квадратов

Якобиан служит линеаризованной матрицей плана в статистической регрессии и подборе кривой ; см. нелинейный метод наименьших квадратов . Якобиан также используется в случайных матрицах, моментах, локальной чувствительности и статистической диагностике. ^{[10] [11]}

Смотрите также

• Центральный коллектор
• Матрица Гессе
• Толчок вперед (дифференциал)

Примечания

1. Дифференцируемость в точке x подразумевает, но не подразумевает, существование всех частных производных первого порядка в точке x и, следовательно, является более сильным условием.

Рекомендации

1. «Якобиан - Определение якобиана на английском языке в Оксфордских словарях» . Оксфордские словари — английский язык . Архивировано из оригинала 1 декабря 2017 года . Проверено 2 мая 2018 г.
2. "определение якобиана" . Словарь.com . Архивировано из оригинала 1 декабря 2017 года . Проверено 2 мая 2018 г.
3. Команда Форво. «Произношение Jacobian: Как произносится Jacobian на английском языке». forvo.com . Проверено 2 мая 2018 г.
4. В., Вайсштейн, Эрик. «Якобиан». mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 3 ноября 2017 года . Проверено 2 мая 2018 г.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Холдер, Аллен; Эйхгольц, Йозеф (2019). Введение в вычислительную науку . Международная серия по исследованию операций и науке управления. Чам, Швейцария: Springer. п. 53. ИСБН 978-3-030-15679-4.
6. Ловетт, Стивен (16 декабря 2019 г.). Дифференциальная геометрия многообразий. ЦРК Пресс. п. 16. ISBN 978-0-429-60782-0.
7. Джоэл Хасс, Кристофер Хейл и Морис Вейр. Ранние трансцендентальные методы исчисления Томаса, 14e . Пирсон, 2018, с. 959.
8. Эроусмит, ДК; Плейс, CM (1992). «Теорема линеаризации». Динамические системы: дифференциальные уравнения, карты и хаотическое поведение . Лондон: Чепмен и Холл. стр. 77–81. ISBN 0-412-39080-9.
9. Хирш, Моррис; Смейл, Стивен (1974). Дифференциальные уравнения, динамические системы и линейная алгебра . ISBN 0-12-349550-4.
10. Лю, Шуанчжэ; Лейва, Виктор; Чжуан, Дэн; Ма, Тифенг; Фигероа-Суньига, Хорхе И. (март 2022 г.). «Матричное дифференциальное исчисление с приложениями в многомерной линейной модели и ее диагностика». Журнал многомерного анализа . 188 : 104849. doi : 10.1016/j.jmva.2021.104849 .
11. Лю, Шуанчжэ; Тренклер, Гетц; Колло, Тыну; фон Розен, Дитрих; Баксалари, Оскар Мария (2023). «Профессор Хайнц Нойдекер и матричное дифференциальное исчисление». Статистические документы . doi : 10.1007/s00362-023-01499-w. S2CID  263661094.

дальнейшее чтение

• Гандольфо, Джанкарло (1996). «Сравнительная статика и принцип соответствия». Экономическая динамика (Третье изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 305–330. ISBN 3-540-60988-1.
• Проттер, Мюррей Х .; Морри, Чарльз Б. младший (1985). «Преобразования и якобианы». Промежуточное исчисление (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.

Внешние ссылки

• «Якобиан», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Mathworld Более техническое объяснение якобианов.