120-ячеечный

Четырехмерный аналог додекаэдра

Сеть

В геометрии 120-ячейка — это выпуклый правильный 4-многогранник (четырехмерный аналог Платонового тела ) с символом Шлефли {5,3,3}. Его также называют C ₁₂₀ , додекаплексом (сокращение от «додекаэдрический комплекс»), гипердодекаэдром , полидодекаэдром , гекатоникосахороном , додекаконтахороном ^[1] и гекатоникосаэдроидом . ^[2]

Граница 120-ячеечного многогранника состоит из 120 додекаэдрических ячеек , по 4 в каждой вершине. Вместе они образуют 720 пятиугольных граней, 1200 ребер и 600 вершин. Это 4- мерный аналог правильного додекаэдра , поскольку так же, как додекаэдр имеет 12 пятиугольных граней, по 3 вокруг каждой вершины, додекаплекс имеет 120 додекаэдрических граней, по 3 вокруг каждого ребра. ^[a] Его двойственный многогранник — 600-ячеечный многогранник .

Геометрия

120-ячейка включает в себя геометрии каждого выпуклого правильного многогранника в первых четырех измерениях (за исключением многоугольников {7} и выше). ^[b] Как шестой и самый большой правильный выпуклый 4-ячейковый многогранник, ^[c] он содержит вписанные экземпляры своих четырех предшественников (рекурсивно). Он также содержит 120 вписанных экземпляров первого в последовательности, 5-ячейки , ^[d] который не встречается ни в одном из других. ^[4] 120-ячейка — это четырехмерный швейцарский армейский нож : он содержит по одному экземпляру всего.

Изучать 120-ячейку устрашающе, но поучительно, поскольку она содержит примеры всех взаимосвязей между всеми выпуклыми правильными многогранниками, найденными в первых четырех измерениях. И наоборот, ее можно понять, только сначала поняв каждого из ее предшественников и последовательность все более сложных симметрий, которые они демонстрируют. ^[5] Вот почему Стиллвелл назвал свою статью о 4-многогранниках и истории математики ^[6] более чем 3 измерений «История 120-ячейки» . ^[7]

Декартовы координаты

Естественные декартовы координаты для 4-мерного многогранника с центром в начале координат 4-мерного пространства возникают в разных системах отсчета в зависимости от выбранного большого радиуса (от центра до вершины).

√8 координат радиуса

120-ячейка с большим радиусом √ 8 = 2 √ 2 ≈ 2,828 имеет длину ребра 4−2φ = 3− √ 5 ≈ 0,764.

В этой системе отсчета его 600 вершинных координат являются { перестановками } и [ четными перестановками ] следующих: ^[8]

где φ (также называемый 𝝉) ^[f] — золотое сечение , ⁠1 + √ 5/2⁠ ≈ 1,618.

Координаты радиуса единицы

Ячейка единичного радиуса 120 имеет длину ребра ⁠1/φ ² √ 2⁠ ≈ 0,270.

В этой системе отсчета 120-ячейка лежит вершиной вверх в стандартной ориентации, а ее координаты ^[9] — это { перестановки } и [ четные перестановки ] в левом столбце ниже:

Таблица дает координаты по крайней мере одного экземпляра каждого 4-многогранника, но 120-ячейка содержит кратные пяти вписанные экземпляры каждого из своих предшественников 4-многогранников, занимающие различные подмножества его вершин. (600-точечная) 120-ячейка является выпуклой оболочкой 5 непересекающихся (120-точечных) 600-ячеек. Каждая (120-точечная) 600-ячейка является выпуклой оболочкой 5 непересекающихся (24-точечных) 24-ячеек, поэтому 120-ячейка является выпуклой оболочкой 25 непересекающихся 24-ячеек. Каждая 24-ячейка является выпуклой оболочкой 3 непересекающихся (8-точечных) 16-ячеек, поэтому 120-ячейка является выпуклой оболочкой 75 непересекающихся 16-ячеек. Уникально, (600-точечная) 120-ячейка является выпуклой оболочкой 120 непересекающихся (5-точечных) 5-ячеек. ^[k]

Аккорды

Многоугольники большого круга 120-ячейки, которые лежат в инвариантных центральных плоскостях ее изоклинических ^[o] вращений. Ребра 120-ячейки длиной 𝜁 ≈ 0,270 встречаются только в красном неправильном большом шестиугольнике, который также имеет ребра длиной √ 2,5 . 1200 ребер 120-ячейки сами по себе не образуют многоугольники большого круга, но, чередуясь с ребрами √ 2,5 вписанных правильных 5-ячеек ^[d], они образуют 400 неправильных больших шестиугольников. ^[p] 120-ячейка также содержит соединение нескольких из этих многоугольников большого круга в той же центральной плоскости, проиллюстрированное отдельно. ^[q] Следствием соединения является то, что ребра и характерные вращения ^[t] обычного 5-ячеечного, 8-ячеечного гиперкуба, 24-ячеечного и 120-ячеечного кубов лежат в одних и тех же плоскостях вращения, шестиугольных центральных плоскостях 24-ячеечного куба. ^[u]

600-точечный 120-ячейковый многоугольник имеет все 8 различных длин хорд 120-точечного 600-ячейкового многоугольника, а также две дополнительные важные хорды: его собственные более короткие ребра и ребра его 120 вписанных правильных 5-ячеек. ^[d] Эти две дополнительные хорды придают 120-ячейковому многоугольнику его характерное изоклиническое вращение , ^[ac] в дополнение ко всем вращениям других правильных 4-ячеечных многогранников, которые он наследует. ^[14] Они также придают 120-ячейковому многоугольнику характерный большой круг: неправильный большой шестиугольник, в котором три 120-ячеечных ребра чередуются с тремя 5-ячеечными ребрами. ^[p]

Ребра 120-ячеечного не образуют правильные многоугольники большого круга в одной центральной плоскости, как это делают ребра 600-ячеечного, 24-ячеечного и 16-ячеечного тессерактов. Как и ребра 5-ячеечного и 8-ячеечного тессерактов , они образуют зигзагообразные многоугольники Петри . ^[r] Многоугольник Петри 120-ячеечного является триаконтагональным {30} зигзагообразным косым многоугольником . ^[ad]

Поскольку 120-ячейка имеет окружность из 30 ребер, она имеет 15 различных длин хорд, начиная от длины ребра и заканчивая диаметром. ^[ah] Каждый правильный выпуклый 4-мерный многогранник вписан в 120-ячейку, и 15 хорд, перечисленных в строках следующей таблицы, являются всеми различными хордами, составляющими правильные 4-мерные многогранники и их многоугольники большого круга. ^[ak]

Первое, что следует отметить в этой таблице, это то, что она имеет восемь столбцов, а не шесть; в дополнение к шести правильным выпуклым 4-многогранникам, два неправильных 4-многогранника естественным образом встречаются в последовательности вложенных 4-многогранников: 96-точечный плосконосый 24-ячейковый и 480-точечный уменьшенный 120-ячейковый. ^[c]

Второе, на что следует обратить внимание, это то, что каждая пронумерованная строка (каждая хорда) отмечена треугольником △ , квадратом ☐, символом фи 𝜙 или пентаграммой ✩. 15 хорд образуют многоугольники четырех видов: большие квадраты ☐, характерные для 16-ячеечной , большие шестиугольники и большие треугольники △, характерные для 24-ячеечной , большие десятиугольники и большие пятиугольники 𝜙, характерные для 600-ячеечной , и косые пентаграммы ✩ или декаграммы, характерные для 5-ячеечной , которые являются многоугольниками Петри, которые окружают набор центральных плоскостей и образуют многоугольники граней, но не большие многоугольники. ^[u]

Мажорные хорды ^[ak] № 1 - № 15 соединяют пары вершин, которые находятся на расстоянии 1 - 15 ребер друг от друга на многоугольнике Петри.

Аннотированная таблица хорд представляет собой полный перечень материалов для построения 120-ячеечного многогранника. Все 2-многогранники, 3-многогранники и 4-многогранники в 120-ячеечном многограннике сделаны из 15 1-многогранников в таблице.

Черные целые числа в ячейках таблицы — это количество инцидентностей хорды строки в 4-многограннике столбца. Например, в строке хорды №3 72 больших декагона 600-ячеек содержат в общей сложности 720 хорд №3 .

Красные целые числа — это количество непересекающихся 4-многогранников выше (метка столбца), которые образуют 120-ячейку. Например, 120-ячейка — это соединение 25 непересекающихся 24-ячеек (25 * 24 вершины = 600 вершин).

Зеленые целые числа — это количество различных 4-многогранников выше (метка столбца), которые можно выбрать в 120-ячейке. Например, 120-ячейка содержит 225 различных 24 - ячеек, которые имеют общие компоненты.

Синие целые числа в правом столбце — это количество инцидентностей хорды ряда в каждой вершине из 120 ячеек. Например, в строке хорды № 3 24 хорды № 3 сходятся в каждой из 600 вершин 120 ячеек, образуя двойную икосаэдрическую вершинную фигуру 2 { 3,5}. Всего в каждой вершине 120 ячеек сходятся 300 основных хорд ^{[ak] 15 различных длин.}

Отношения между внутренними многогранниками

120-ячейка является соединением всех пяти других правильных выпуклых 4-многогранников. ^[20] Все отношения между правильными 1-, 2-, 3- и 4-многогранниками происходят в 120-ячейке. ^[b] Это четырехмерная головоломка , в которой все эти многогранники являются частями. ^[21] Хотя существует много последовательностей, в которых можно построить 120-ячейку, соединяя эти части, в конечном итоге они подходят друг другу только одним способом. 120-ячейка является уникальным решением для объединения всех этих многогранников. ^[7]

Правильный 1-многогранник встречается только в 15 различных длинах в любом из многогранников-компонентов 120-ячейника. ^[ak] По теореме Александрова о единственности , выпуклые многогранники с различными формами также имеют различные метрические пространства поверхностных расстояний, поэтому каждый правильный 4-многогранник имеет свое собственное уникальное подмножество этих 15 хорд.

Только 4 из этих 15 хорд встречаются в 16-ячеечном, 8-ячеечном и 24-ячеечном многогранниках. Четыре гиперкубические хорды √ 1 , √ 2 , √ 3 и √ 4 достаточны для построения 24-ячеечного многогранника и всех его составных частей. 24-ячеечный многогранник является уникальным решением для комбинации этих 4 хорд и всех правильных многогранников, которые могут быть построены из них.

Для построения 600-ячейки требуются дополнительные 4 из 15 хорд. Четыре золотых хорды являются квадратными корнями иррациональных дробей, которые являются функциями √ 5 . 600-ячейка является уникальным решением для комбинации этих 8 хорд и всех правильных многогранников, которые могут быть построены из них. Среди новых частей, найденных в 600-ячейке, которые не встречаются в 24-ячейке, следует отметить пентагоны и икосаэдры.

Все 15 хорд и 15 других отдельных хордовых расстояний, перечисленных ниже, встречаются в 120-ячейке. Среди новых частей, обнаруженных в 120-ячейке, которые не встречаются в 600-ячейке, следует отметить правильные 5-ячейки и хорды √ 5/2 . ^[ba] Отношения между правильным 5-ячейкой ( симплексным правильным 4-многогранником) и другими правильными 4-многогранниками проявляются напрямую только в 120-ячейке. ^[i] 600-точечная 120-ячейка является соединением 120 непересекающихся 5-точечных 5-ячеек, а также соединением 5 непересекающихся 120-точечных 600-ячеек (двумя разными способами). Каждый 5-ячейковый многогранник имеет одну вершину в каждой из 5 непересекающихся 600-ячеек, и, следовательно, в каждой из 5 непересекающихся 24-ячеек, 5 непересекающихся 8-ячеек и 5 непересекающихся 16-ячеек. ^[be] Каждый 5-ячейковый многогранник представляет собой кольцо (двумя различными способами), соединяющее 5 непересекающихся экземпляров каждого из других правильных 4-многогранников. ^[y]

Геодезические прямоугольники

30 различных хорд ^[ak], найденных в 120-ячейке, встречаются как 15 пар 180°-дополнений. Они образуют 15 различных видов многоугольников большого круга, которые лежат в центральных плоскостях нескольких видов: △ плоскости, пересекающие {12} вершин в неправильном двенадцатиугольнике, ^[q] 𝜙 плоскости, пересекающие {10} вершин в правильном десятиугольнике, и ☐ плоскости, пересекающие {4} вершин в нескольких видах прямоугольников, включая квадрат.

Каждый большой круговой многоугольник характеризуется своей парой дополнительных хорд по 180°. Пары хорд образуют большие круговые многоугольники с параллельными противолежащими ребрами, поэтому каждый большой многоугольник является либо прямоугольником, либо соединением прямоугольника, с двумя хордами в качестве рёбер прямоугольника.

Каждая из 15 дополнительных пар хорд соответствует отдельной паре противостоящих многогранных сечений 120-ячейки, начиная с вершины, секции 0 _0. Соответствие заключается в том, что каждая вершина 120-ячейки окружена вершинами каждой многогранной секции на одинаковом расстоянии (длине хорды), подобно тому, как вершины многогранника окружают его центр на расстоянии его большого радиуса. ^[bf] Хорда № 1 является «радиусом» секции 1 ₀ , тетраэдрической вершинной фигуры 120-ячейки. ^[av] Хорда № 14 является «радиусом» ее конгруэнтной противостоящей секции 29 _0. Хорда № 7 является «радиусом» центральной секции 120-ячейки, в которой совпадают две противостоящие секции 15 _{0 .}

Концентрические корпуса

Ортогональная проекция 120-ячейки с использованием любых 3 из этих декартовых координатных измерений образует внешнюю оболочку скошенного додекаэдра с нормой = √ 8.
Оболочки 1, 2 и 7 представляют собой перекрывающиеся пары додекаэдров .
Оболочка 3 представляет собой пару икосододекаэдров .
Оболочки 4 и 5 представляют собой пары усеченных икосаэдров . Оболочки 6
и 8 представляют собой пары ромбоикосододекаэдров .

Многогранный граф

Рассматривая матрицу смежности вершин, представляющую многогранный граф единичного радиуса из 120 ячеек, диаметр графа равен 15, соединяя каждую вершину с ее отрицанием координат на евклидовом расстоянии 2 (ее диаметр описанной окружности), и существует 24 различных пути для их соединения вдоль ребер многогранника. Из каждой вершины имеется 4 вершины на расстоянии 1, 12 на расстоянии 2, 24 на расстоянии 3, 36 на расстоянии 4, 52 на расстоянии 5, 68 на расстоянии 6, 76 на расстоянии 7, 78 на расстоянии 8, 72 на расстоянии 9, 64 на расстоянии 10, 56 на расстоянии 11, 40 на расстоянии 12, 12 на расстоянии 13, 4 на расстоянии 14 и 1 на расстоянии 15. Матрица смежности имеет 27 различных собственных значений в диапазоне от ⁠1/φ ² √ 2⁠ ≈ 0,270, с кратностью 4, до 2, с кратностью 1. Кратность собственного значения 0 равна 18, а ранг матрицы смежности равен 582.

Вершины 120-клеточного многогранного графа можно раскрасить тремя цветами .

Граф является эйлеровым, имеющим степень 4 в каждой вершине. Его множество ребер можно разложить на два гамильтоновых цикла . ^[24]

Конструкции

120-ячейка является шестой в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-ячеечных многогранников (в порядке размера и сложности). ^[c] Она может быть разложена на десять отдельных экземпляров (или пять непересекающихся экземпляров) своего предшественника (и двойственного) 600-ячейки , ^[h] так же, как 600-ячейка может быть разложена на двадцать пять отдельных экземпляров (или пять непересекающихся экземпляров) своего предшественника 24 -ячейки , ^[bj] 24-ячейка может быть разложена на три отдельных экземпляра своего предшественника тессеракта ( 8-ячейки), а 8-ячейка может быть разложена на два непересекающихся экземпляра своего предшественника (и двойственного) 16-ячейки . ^[27] 120-ячейка содержит 675 отдельных экземпляров (75 непересекающихся экземпляров) 16-ячейки. ^[j]

Обратная процедура построения каждого из них из экземпляра его предшественника сохраняет радиус предшественника, но обычно создает последователя с меньшей длиной ребра. Длина ребра 600-ячейки составляет ~0,618 от ее радиуса (обратное золотое сечение ), но длина ребра 120-ячейки составляет ~0,270 от ее радиуса.

Двойной 600-элементный

Пять тетраэдров, вписанных в додекаэдр. Пять противолежащих тетраэдров (не показаны) также могут быть вписаны.

Поскольку 120-ячейка является двойственной для 600-ячейки, ее можно построить из 600-ячейки, поместив ее 600 вершин в центр объема каждой из 600 тетраэдрических ячеек. Из 600-ячейки единичного большого радиуса получается 120-ячейка немного меньшего большого радиуса ( ⁠φ2^​/√ 8⁠ ≈ 0,926) и длиной ребра ровно 1/4. Таким образом, единичная длина ребра 120-ячейка (с большим радиусом φ ² √ 2 ≈ 3,702) может быть построена таким образом только внутри 600-ячейки с большим радиусом 4. Единичная радиусная 120-ячейка (с длиной ребра ⁠1/φ ² √ 2⁠ ≈ 0,270) можно построить таким образом только внутри 600-ячеечной ячейки большого радиуса ⁠√ 8/φ2^​⁠ ≈ 1,080.

Один из пяти отдельных кубов, вписанных в додекаэдр (пунктирные линии). Два противостоящих тетраэдра (не показаны) вписаны в каждый куб, так что десять отдельных тетраэдров (по одному из каждой 600-ячейки в 120-ячейке) вписаны в додекаэдр. ^[at]

И наоборот, ячейка с единичным радиусом 120 может быть построена непосредственно за пределами ячейки с 600 радиусами немного меньшего радиуса ⁠φ2^​/√ 8⁠ ≈ 0,926, помещая центр каждой додекаэдрической ячейки в одну из 120 вершин 600-ячеечной ячейки. 120-ячейка, координаты которой приведены выше, имеет большой радиус √ 8 = 2 √ 2 ≈ 2,828 и длину ребра ⁠2/φ2^​⁠ = 3− √ 5 ≈ 0,764 может быть построено таким образом сразу за пределами 600-ячейки с большим радиусом φ ² , что меньше √ 8 в том же соотношении ≈ 0,926; оно находится в золотом сечении к длине ребра 600-ячейки, так что это должно быть φ. 120-ячейка с длиной ребра 2 и большим радиусом φ ² √ 8 ≈ 7,405, заданная Коксетером ^[3], может быть построена таким образом сразу за пределами 600-ячейки с большим радиусом φ ⁴ и длиной ребра φ ³ .

Таким образом, ячейка единичного радиуса 120 может быть построена из ее предшественника — ячейки единичного радиуса 600 — за три возвратно-поступательных шага.

Вращения ячеек вписанных дуалов

Поскольку 120-ячейка содержит вписанные 600-ячейки, она содержит свою собственную двойственную ячейку того же радиуса. 120-ячейка содержит пять непересекающихся 600-ячеек (десять перекрывающихся вписанных 600-ячеек, из которых мы можем выбрать пять непересекающихся 600-ячеек двумя разными способами), поэтому ее можно рассматривать как соединение пяти собственных двойственных (двумя способами). Вершины каждой вписанной 600-ячейки являются вершинами 120-ячейки, и (дуально) каждый центр додекаэдрической ячейки является тетраэдрическим центром ячейки в каждой из вписанных 600-ячеек.

В додекаэдрические ячейки 120-ячеечной структуры вписаны тетраэдрические ячейки 600-ячеечной структуры. ^[29] Так же, как 120-ячеечная структура является соединением пяти 600-ячеечных структур (двумя способами), додекаэдр является соединением пяти правильных тетраэдров (двумя способами). Так же, как два противостоящих тетраэдра могут быть вписаны в куб, а пять кубов могут быть вписаны в додекаэдр, десять тетраэдров в пяти кубах могут быть вписаны в додекаэдр: два противостоящих набора по пять, причем каждый набор покрывает все 20 вершин, а каждая вершина находится в двух тетраэдрах (по одному из каждого набора, но, очевидно, не в противостоящей паре куба). ^[30] Это показывает, что 120-ячейка содержит, среди своих многочисленных внутренних особенностей, 120 соединений из десяти тетраэдров , каждое из которых по размерам аналогично всей 120-ячейке как соединению из десяти 600-ячеек. ^[h]

Все десять тетраэдров могут быть получены двумя хиральными вращениями по пять щелчков любого тетраэдра. В каждой додекаэдрической ячейке одна тетраэдрическая ячейка происходит из каждой из десяти 600-ячеек, вписанных в 120-ячейку. ^[bk] Поэтому вся 120-ячейка, со всеми десятью вписанными 600-ячейками, может быть получена всего из одной 600-ячейки путем вращения ее ячеек.

Увеличение

Другим следствием 120-ячеечной структуры, содержащей вписанные 600-ячеечной структуры, является то, что ее можно построить, поместив 4-пирамиды какого-либо вида на ячейки 600-ячеечной структуры. Эти тетраэдрические пирамиды должны быть в этом случае совершенно нерегулярными (с вершиной, притупленной на четыре «вершины»), но мы можем различить их форму в том, как тетраэдр лежит вписанным в додекаэдр . ^[bl]

Только 120 тетраэдрических ячеек из каждой 600-ячейки могут быть вписаны в додекаэдры 120-ячеечного; его остальные 480 тетраэдров охватывают додекаэдрические ячейки. Каждый тетраэдр, вписанный в додекаэдр, является центральной ячейкой кластера из пяти тетраэдров , с четырьмя другими, связанными гранями вокруг него, лежащими только частично внутри додекаэдра. Центральный тетраэдр связан ребрами с дополнительными 12 тетраэдрическими ячейками, также лежащими только частично внутри додекаэдра. ^[bm] Центральная ячейка связана вершинами с 40 другими тетраэдрическими ячейками, которые лежат полностью вне додекаэдра.

Орбиты Вейля

Другой метод построения использует кватернионы и икосаэдрическую симметрию орбит группы Вейля порядка 120. ^[32] Следующее описывает и 24-ячейки как веса кватернионных орбит D4 под группой Вейля W(D4): O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2} O(1000) : V1 O(0010) : V2 O(0001) : V3 ${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T'}$

$${\displaystyle T'={\sqrt {2}}\{V1\oplus V2\oplus V3\}={\begin{pmatrix}{\frac {-1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{3}}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}};}$$

С кватернионами , где — сопряжение и и , то группа Кокстера — это группа симметрии 600-ячеечной и 120-ячеечной системы порядка 14400. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle {\bar {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$ ${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$ ${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$

Учитывая , что и как обмен внутри , мы можем построить: ${\displaystyle p\in T}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$ ${\displaystyle p^{\dagger }}$ ${\displaystyle -1/\varphi \leftrightarrow \varphi }$ ${\displaystyle p}$

• курносый 24-элементный ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$
• 600- ячеечный ${\displaystyle I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T}$
• 120-ячеечный ${\displaystyle J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}$
• альтернативный курносый 24-элементный ${\displaystyle S'=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger i}T'}$
• двойной курносый 24-элементный = . ${\displaystyle T\oplus T'\oplus S'}$

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет собой 120-ячейку. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всей 120-ячейке. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. ^{[33] [34]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Вот конфигурация, расширенная с помощью k -элементов граней и k -фигур. Количество диагональных элементов равно отношению полного порядка группы Кокстера , 14400, деленного на порядок подгруппы с удалением зеркала.

Визуализация

120-ячейка состоит из 120 додекаэдрических ячеек. Для целей визуализации удобно, что додекаэдр имеет противостоящие параллельные грани (черта, которую он разделяет с ячейками тессеракта и 24 -ячейки ). Можно сложить додекаэдры лицом к лицу по прямой линии, изогнутой в 4-м направлении в большой круг с окружностью 10 ячеек. Начиная с этой начальной конструкции из десяти ячеек, можно использовать две общие визуализации: слоистую стереографическую проекцию и структуру переплетающихся колец (дискретное расслоение Хопфа ). ^[35]

Многослойная стереографическая проекция

Расположение ячеек поддается гиперсферическому описанию. ^[36] Выберите произвольный додекаэдр и назовите его «северным полюсом». Двенадцать больших круговых меридианов (длиной четыре ячейки) расходятся в трех измерениях, сходясь в пятой ячейке «южного полюса». Этот скелет составляет 50 из 120 ячеек (2 + 4 × 12).

Начиная с Северного полюса, мы можем построить 120-ячеечную структуру в 9 широтных слоях, с намеками на земную топографию 2-сферы в таблице ниже. За исключением полюсов, центроиды ячеек каждого слоя лежат на отдельной 2-сфере, а экваториальные центроиды лежат на большой 2-сфере. Центроиды 30 экваториальных ячеек образуют вершины икосододекаэдра , с меридианами (как описано выше), проходящими через центр каждой пятиугольной грани. Ячейки, помеченные как «промежуточные» в следующей таблице, не попадают на большие меридиональные окружности.

Ячейки слоев 2, 4, 6 и 8 расположены над гранями полюсной ячейки. Ячейки слоев 3 и 7 расположены непосредственно над вершинами полюсной ячейки. Ячейки слоя 5 расположены над краями полюсной ячейки.

Переплетение колец

Два переплетающихся кольца из 120 ячеек.

Два ортогональных кольца в проекции, центрированной на ячейке

120-ячеечное кольцо можно разбить на 12 непересекающихся 10-ячеечных колец большого круга, образуя дискретное/квантованное расслоение Хопфа . ^{[37] [38] [39] [40] [35]} Начиная с одного 10-ячеечного кольца, можно поместить рядом с ним другое кольцо, которое закручивается по спирали вокруг исходного кольца на один полный оборот за десять ячеек. Пять таких 10-ячеечных колец можно поместить рядом с исходным 10-ячеечным кольцом. Хотя внешние кольца «закручиваются по спирали» вокруг внутреннего кольца (и друг друга), на самом деле у них нет спирального кручения . Они все эквивалентны. Закручивание в спираль является результатом кривизны 3-сферы. Внутреннее кольцо и пять внешних колец теперь образуют шестикольцевой, 60-ячеечный сплошной тор. Можно продолжать добавлять 10-ячеечные кольца, смежные с предыдущими, но более поучительно построить второй тор, не пересекающийся с предыдущим, из оставшихся 60 ячеек, который сцепляется с первым. 120-ячеечный, как и 3-сфера, является объединением этих двух ( Клиффордовых ) торов. Если центральное кольцо первого тора является меридианным большим кругом, как определено выше, центральное кольцо второго тора является экваториальным большим кругом, который центрирован на меридианном круге. ^[41] Также обратите внимание, что спиральная оболочка из 50 ячеек вокруг центрального кольца может быть как левосторонней, так и правосторонней. Это просто вопрос разбиения ячеек в оболочке по-разному, т. е. выбора другого набора непересекающихся ( параллельных Клиффорду ) больших кругов.

Другие конструкции большого круга

Есть еще один интересный путь большого круга, который попеременно проходит через противоположные вершины ячеек, затем вдоль ребра. Этот путь состоит из 6 ребер, чередующихся с 6 хордами диаметра ячейки, образуя неправильный додекагон в центральной плоскости. ^[q] Оба этих пути большого круга имеют двойные пути большого круга в 600-ячейке . Путь лицом к лицу из 10 ячеек выше отображается в путь из 10 вершин, проходящий исключительно вдоль ребер в 600-ячейке, образуя декагон . ^[v] Чередующийся путь ячейки/ребра отображается в путь, состоящий из 12 тетраэдров, попеременно встречающихся лицом к лицу, затем вершиной к вершине (шесть треугольных бипирамид ) в 600-ячейке. Этот последний путь соответствует кольцу из шести икосаэдров, встречающихся лицом к лицу в плосконосой 24-ячейке (или икосаэдрических пирамид в 600-ячейке), образуя шестиугольник .

Существует еще один путь многоугольника большого круга, который является уникальным для 120-ячеечного и не имеет двойного аналога в 600-ячеечном. Этот путь состоит из 3 ребер 120-ячеек, чередующихся с 3 вписанными ребрами 5-ячеек (хорды № 8), образуя неправильный большой шестиугольник с чередующимися короткими и длинными ребрами, показанными выше. ^[p] Каждое ребро 5-ячеек проходит через объем трех додекаэдрических ячеек (в кольце из десяти связанных гранями додекаэдрических ячеек) к противоположной пятиугольной грани третьего додекаэдра. Этот неправильный большой шестиугольник лежит в той же центральной плоскости (на том же большом круге), что и неправильный большой додекагон, описанный выше, но он пересекает только {6} из {12} вершин додекагона. В каждый неправильный большой додекагон в чередующихся положениях вписаны два неправильных больших шестиугольника. ^[q]

Перспективные проекции

Как и во всех иллюстрациях в этой статье, в этих визуализациях показаны только края 120-ячеечной ячейки. Все остальные хорды не показаны. Сложные внутренние части 120-ячеечной ячейки, все ее вписанные 600-ячеечные, 24-ячеечные, 8-ячеечные, 16-ячеечные и 5-ячеечные ячейки полностью невидимы на всех иллюстрациях. Зритель должен представить их.

Эти проекции используют перспективную проекцию , с определенной точки зрения в четырех измерениях, проецируя модель как 3D-тень. Поэтому грани и ячейки, которые выглядят больше, просто ближе к 4D-точке зрения.

Сравнение перспективных проекций 3D додекаэдра в 2D (внизу слева) и проекций 4D 120-ячеечного в 3D (внизу справа) демонстрирует два связанных метода перспективной проекции по размерной аналогии. Диаграммы Шлегеля используют перспективу для отображения глубины в измерении, которое было сплющено, выбирая точку обзора над определенной ячейкой, таким образом делая эту ячейку оболочкой модели, а другие ячейки кажутся меньше внутри нее. Стереографические проекции используют тот же подход, но показаны с изогнутыми краями, представляя сферический многогранник как мозаику 3-сферы . Оба эти метода искажают объект, потому что ячейки на самом деле не вложены друг в друга (они встречаются лицом к лицу), и все они имеют одинаковый размер. Существуют и другие методы перспективной проекции, такие как вращающиеся анимации выше, которые не демонстрируют этот конкретный вид искажения, а скорее какой-то другой вид искажения (как и должны все проекции).

Ортогональные проекции

Ортогональные проекции 120-ячеечной ячейки могут быть сделаны в 2D путем определения двух ортонормальных базисных векторов для определенного направления взгляда. 30-угольная проекция была сделана в 1963 году BL Chilton. ^[43]

Десятиугольная проекция H3 показывает плоскость многоугольника Ван Осса .

Трехмерные ортогональные проекции также можно создавать с помощью трех ортонормальных базисных векторов и отображать их в виде трехмерной модели, а затем проецировать определенную перспективу в трехмерном пространстве на двухмерное изображение.

Связанные многогранники и соты

ЧАС4многогранники

120-ячейник является одним из 15 правильных и однородных многогранников с одинаковой симметрией H ₄ [3,3,5]: ^[45]

{p,3,3} многогранники

120-ячейка похожа на три правильных 4-многогранника : 5-ячейка {3,3,3} и тессеракт {4,3,3} евклидова 4-пространства, а также шестиугольные соты {6,3,3} гиперболического пространства. Все они имеют тетраэдрическую вершинную фигуру {3,3}:

{5,3,p} многогранники

120-ячейка является частью последовательности 4-политопов и сот с додекаэдрическими ячейками:

Тетраэдрически уменьшенная 120-ячеистая

Поскольку 600-точечный 120-ячейковый многогранник имеет 5 непересекающихся вписанных 600-ячеек, его можно уменьшить, удалив одну из этих 120-точечных 600-ячеек, создав нерегулярный 480-точечный 4-многогранник. ^[bp]

В тетраэдрически уменьшенном додекаэдре 4 вершины усечены до равносторонних треугольников. 12 пятиугольных граней теряют вершину, становясь трапециями.

Каждая додекаэдрическая ячейка 120-ячейки уменьшается путем удаления 4 из 20 ее вершин, создавая неправильный 16-точечный многогранник, называемый тетраэдрально уменьшенным додекаэдром, потому что 4 удаленные вершины образовали тетраэдр, вписанный в додекаэдр. Поскольку вершинная фигура додекаэдра — треугольник, каждая усеченная вершина заменяется треугольником. 12 граней пятиугольника заменяются 12 трапециями, поскольку одна вершина каждого пятиугольника удаляется, а два его ребра заменяются диагональной хордой пятиугольника. ^[au] Тетраэдрально уменьшенный додекаэдр имеет 16 вершин и 16 граней: 12 граней трапеций и четыре грани равносторонних треугольников.

Поскольку вершинная фигура 120-ячеечной многогранника — тетраэдр, ^[bl] каждая усеченная вершина заменяется тетраэдром, оставляя 120 тетраэдрически уменьшенных ячеек додекаэдра и 120 правильных тетраэдрических многогранников. Правильный додекаэдр и тетраэдрически уменьшенный додекаэдр оба имеют по 30 ребер, а правильный 120-ячеечный многогранник и тетраэдрически уменьшенный 120-ячеечный многогранник оба имеют по 1200 ребер.

Уменьшенный на 480 точек 120-ячейник можно назвать тетраэдрически уменьшенным 120-ячейником, потому что его ячейки тетраэдрически уменьшены, или уменьшенным на 600 ячеек 120-ячейником, потому что удаленные вершины образовали 600-ячейку, вписанную в 120-ячейку, или даже правильным 5-ячеечным уменьшенным 120-ячейником , потому что удаление 120 вершин удаляет одну вершину из каждой из 120 вписанных правильных 5-ячеек, оставляя 120 правильных тетраэдров. ^[d]

Дэвис 120-ячеечный

120-ячейка Дэвиса , введенная Дэвисом (1985), представляет собой компактное 4-мерное гиперболическое многообразие , полученное путем идентификации противоположных граней 120-ячейки, универсальное покрытие которой дает правильные соты {5,3,3,5} 4-мерного гиперболического пространства.

Смотрите также

• Однородное семейство 4-многогранников с симметрией [5,3,3]
• 57-ячейник – абстрактный правильный 4-мерный многогранник, построенный из 57 полудодекаэдров.
• 600-ячеечный - двойственный 4-ячеечный многогранник к 120-ячеечному

Примечания

1. В 120-ячейке 3 додекаэдра и 3 пятиугольника встречаются на каждом ребре. 4 додекаэдра, 6 пятиугольников и 4 ребра встречаются на каждой вершине. Двугранный угол (между гиперплоскостями додекаэдра) равен 144°. ^[3]
2. 120-ячейка содержит экземпляры всех правильных выпуклых 1-многогранников, 2-многогранников, 3-многогранников и 4-многогранников, за исключением правильных многоугольников {7} и выше, большинство из которых не встречаются. {10} — заметное исключение, которое встречается. Различные правильные косые многоугольники {7} и выше встречаются в 120-ячейке, в частности {11}, ^[am] {15} ^[ac] и {30}. ^[v]
3. Выпуклые правильные 4-многогранники можно упорядочить по размеру как мере 4-мерного содержимого (гиперобъема) для того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности круглее своего предшественника, заключая больше 4-содержимого в том же радиусе. 4-симплекс (5-ячейка) является предельным наименьшим случаем, а 120-ячейка — наибольшим. Сложность (измеренная путем сравнения матриц конфигурации или просто числа вершин) следует тому же порядку. Это обеспечивает альтернативную числовую схему именования для правильных многогранников, в которой 120-ячейка является 600-точечным 4-многогранником: шестым и последним в восходящей последовательности, которая начинается с 5-точечного 4-многогранника.

4. 

   В триаконтаграмме {30/12}=6{5/2} шесть
   из 120 непересекающихся правильных 5-ячеек с длиной ребра √ 2,5 , которые вписаны в 120-ячейку, выглядят как шесть пентаграмм, многоугольник Клиффорда 5-ячейки . 30 вершин образуют многоугольник Петри 120-ячейки, ^[v] с 30 зигзагообразными ребрами (не показаны) и 3 вписанными большими декагонами (ребра не показаны), которые лежат параллельно Клиффорду плоскости проекции. ^[x]

   В ячейку единичного радиуса 120 вписано 120 непересекающихся правильных 5-ячеек, ^[12] с длиной ребра √ 2,5 . Никакие правильные 4-ячеечные многогранники, за исключением 5-ячеек и 120-ячеек, не содержат √ 2,5 хорд (хорда № 8). ^[e] 120-ячейка содержит 10 различных вписанных 600-ячеек, которые можно рассматривать как 5 непересекающихся 600-ячеек двумя различными способами. Каждая √ 2,5 хорда соединяет две вершины в непересекающихся 600-ячейках, и, следовательно, в непересекающихся 24-ячейках, 8-ячейках и 16-ячейках. ^[i] Как 5-ячеечные, так и 120-ячеечные ребра соединяют вершины в непересекающихся 600-ячейках. Соответствующие многогранники того же вида в непересекающихся 600-ячейках параллельны Клиффорду и отстоят друг от друга на √ 2.5 . Каждая 5-ячейка содержит одну вершину из каждой из 5 непересекающихся 600-ячеек. ^[y] .
5. Несколько экземпляров каждого из правильных выпуклых 4-мерных многогранников могут быть вписаны в любой из их больших последующих 4-мерных многогранников, за исключением наименьшего, правильного 5-мерного, который вписывается только в наибольший, 120-мерный. ^[i] Чтобы понять, каким образом 4-мерные многогранники вложены друг в друга, необходимо тщательно отличать непересекающиеся множественные экземпляры от просто отдельных множественных экземпляров вписанных 4-мерных многогранников. Например, 600-точечная 120-ячейка является выпуклой оболочкой соединения 75 8-точечных 16-ячеек, которые полностью не пересекаются: они не имеют общих вершин, и 75 * 8 = 600. Но также возможно выбрать 675 различных 16-ячеек внутри 120-ячейки, большинство пар которых имеют общие вершины, потому что две концентрические 16-ячейки одинакового радиуса могут быть повернуты относительно друг друга так, что они будут иметь общие 2 вершины (ось) или даже 4 вершины (большая квадратная плоскость), в то время как их оставшиеся вершины не будут совпадать. ^[j] В 4-пространстве любые два конгруэнтных правильных 4-многогранника могут быть концентрическими, но повернуты относительно друг друга так, что они будут иметь общее подмножество своих вершин. Только в случае 4-симплекса (5-точечного правильного 5-ячейкового) это общее подмножество вершин всегда должно быть пустым, если только это не все 5 вершин. Невозможно повернуть два концентрических 4-симплекса относительно друг друга так, чтобы некоторые, но не все их вершины совпадали: они могут быть только полностью совпадающими или полностью непересекающимися. Только 4-симплекс обладает этим свойством; 16-ячейковый и, в более широком смысле, любой больший правильный 4-многогранник может лежать повернутым относительно себя так, что пара разделяет некоторые, но не все их вершины. Интуитивно мы можем видеть, как это следует из того факта, что только 4-симплекс не обладает противолежащими вершинами (никакими 2-вершинными центральными осями), которые могли бы быть инвариантными после поворота. 120-ячейка содержит 120 полностью непересекающихся правильных 5-ячеек, которые являются его единственными отдельными вписанными правильными 5-ячейками, но любая другая вложенность правильных 4-многогранников содержит некоторое количество непересекающихся вписанных 4-многогранников и большее количество отдельных вписанных 4-многогранников.
6. (Коксетер 1973) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы обращаем соглашения Коксетера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.
7. Чтобы получить все 600 координат путем кватернионного перекрестного умножения координат этих трех 4-многогранников с меньшей избыточностью, достаточно включить только одну вершину 24-ячейки: ( √ 1/2 , √ 1/2 , 0, 0). ^[9]
8. 600 вершин 120-ячейки можно разбить на 5 непересекающихся вписанных 120-вершинных 600-ячеек двумя разными способами. ^[31] Геометрия этого 4D-разбиения размерно аналогична 3D-разбиению 20 вершин додекаэдра на 5 непересекающихся вписанных тетраэдров, что также можно сделать двумя разными способами, поскольку каждая додекаэдрическая ячейка содержит два противоположных набора из 5 непересекающихся вписанных тетраэдрических ячеек. 120-ячейка может быть разделена способом, аналогичным додекаэдру, поскольку каждая из ее додекаэдрических ячеек содержит одну тетраэдрическую ячейку из каждой из 10 вписанных 600-ячеек.
9. Существует геометрическая связь между правильным 5-ячеечным (4-симплексом) и правильным 16-ячеечным (4-ортоплексом), но она проявляется только косвенно через 3-симплекс и 5-ортоплекс . -Симплекс ограничен вершинами и гранями ( -1)-симплекса и имеет длинные диаметры (его ребра) с длиной радиуса. -Ортоплекс ограничен вершинами и гранями ( -1)-симплекса и имеет длинные диаметры (его ортогональные оси) с длиной радиуса. -Куб ограничен вершинами и гранями ( -1)-куба и имеет длинные диаметры с длиной радиуса. ^[bb] Длинные диаметры 3-куба короче осей 3-ортоплекса. Координаты 4-ортоплекса являются перестановками , а 4-пространственные координаты одной из его 16 граней (3-симплекса) являются перестановками . ^[bc] Длинные диаметры 4-куба имеют ту же длину, что и оси 4-ортоплекса. Координаты 5-ортоплекса являются перестановками , а 5-пространственные координаты одной из его 32 граней (4-симплекса) являются перестановками . ^[bd] Длинные диаметры 5-куба длиннее осей 5-ортоплекса. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\sqrt {n+1}}/{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n-1}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$ ${\displaystyle (0,0,0,\pm 1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,1)}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$ ${\displaystyle (0,0,0,0,\pm 1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,0,1)}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$
10. 120-ячейка имеет 600 вершин, симметрично распределенных на поверхности 3-сферы в четырехмерном евклидовом пространстве. Вершины находятся в антиподальных парах, а линии, проходящие через антиподальные пары вершин, определяют 300 лучей [или осей] 120-ячейки. Мы будем называть любой набор из четырех взаимно ортогональных лучей (или направлений) базисом . 300 лучей образуют 675 базисов, причем каждый луч встречается в 9 базисах и не ортогонален своим 27 различным компаньонам в этих базисах и ни одному другому лучу. Лучи и базисы составляют геометрическую конфигурацию , которая на языке конфигураций записывается как 300 ₉ 675 _4, чтобы указать, что каждый луч принадлежит 9 базисам, а каждый базис содержит 4 луча. ^[28] Каждый базис соответствует отдельной 16-ячейке, содержащей четыре ортогональные оси и шесть ортогональных больших квадратов. Из 675 отдельных 16-ячеек можно выбрать 75 полностью непересекающихся 16-ячеек, содержащих все 600 вершин 120-ячейки. ^[e]
11. 120-ячейка может быть построена как соединение 5 непересекающихся 600-ячеек, ^[h] или 25 непересекающихся 24-ячеек, или 75 непересекающихся 16-ячеек, или 120 непересекающихся 5-ячеек. За исключением случая 120 5-ячеек, ^[e] это не количество всех различных правильных 4-многогранников, которые могут быть найдены вписанными в 120-ячейку, а только количество полностью непересекающихся вписанных 4-многогранников, которые при соединении образуют выпуклую оболочку 120-ячейки. 120-ячейка содержит 10 различных 600-ячеек, 225 различных 24-ячеек и 675 различных 16-ячеек. ^[j]
12. Все 3-сферические изоклины одной и той же окружности являются прямо конгруэнтными окружностями. Обычный большой круг является изоклиной окружности ; простые вращения многогранников единичного радиуса происходят на 2𝝅 изоклинах. Двойные вращения могут иметь изоклины, отличные от окружности. Характерное вращение правильного 4-политопа — это изоклиническое вращение, в котором центральные плоскости, содержащие его ребра, являются инвариантными плоскостями вращения. 16-ячеечный и 24-ячеечный реберные вращения совершаются на изоклинах окружности 4𝝅. 600-ячеечный реберные вращения совершаются на изоклинах окружности 5𝝅. ${\displaystyle 2\pi r}$ ${\displaystyle 2\pi r}$
13. Изоклина — это замкнутая, кривая, винтовая большая окружность во всех четырех измерениях. В отличие от обычной большой окружности она не лежит в одной центральной плоскости, но, как и любая большая окружность, при рассмотрении внутри искривленного 3-мерного пространства граничной поверхности 4-политопа она является прямой линией , геодезической . И обычные большие окружности, и изоклинные большие окружности являются винтовыми в том смысле, что параллельные связки больших окружностей связаны и закручиваются по спирали друг вокруг друга, но ни одна из них на самом деле не скручена (у них нет внутреннего кручения). Их кривизна не является их собственной, а свойством естественной кривизны 3-сферы, в пределах которой искривленного пространства они являются конечными (замкнутыми) прямолинейными сегментами. ^[l] Чтобы избежать путаницы, мы всегда ссылаемся на изоклину как таковую и оставляем термин большой круг для обычного большого круга на плоскости.
14. Изоклинное ^[o] вращение — это равноугловое двойное вращение в двух полностью ортогональных инвариантных центральных плоскостях вращения одновременно. Каждое дискретное изоклинное вращение имеет два характерных угла дуги (длины хорды), свой угол поворота и свой угол изоклины . ^[t] На каждом шаге приращения вращения от вершины к соседней вершине каждая инвариантная плоскость вращения поворачивается на угол поворота, а также наклоняется вбок (как подбрасывание монеты) на равный угол поворота. ^[an] Таким образом, каждая вершина поворачивается по большой окружности на один прирост угла поворота, в то время как одновременно весь большой круг поворачивается вместе с полностью ортогональным большим кругом на равный прирост угла поворота. ^[aq] Произведение этих двух одновременных и равных приращений вращения большого круга представляет собой общее смещение каждой вершины на приращение угла изоклины (длину хорды изоклины). Таким образом, угол поворота измеряет смещение вершины в системе отсчета движущегося большого круга, а также боковое смещение движущегося большого круга (расстояние между многоугольником большого круга и смежным многоугольником большого круга параллельно Клиффорду, к которому приводит его вращение) в неподвижной системе отсчета. Длина хорды изоклины — это полное смещение вершины в неподвижной системе отсчета, которая является косой хордой между двумя смежными многоугольниками большого круга (расстояние между их соответствующими вершинами во вращении).
15. Для указания разделения между двумя плоскостями в 4-мерном пространстве требуются два угла. ^[11] Если два угла идентичны, то две плоскости называются изоклинными (также параллельными Клиффорду ) и пересекаются в одной точке. При двойных вращениях точки поворачиваются внутри инвариантных центральных плоскостей вращения на некоторый угол, а вся инвариантная центральная плоскость вращения также наклоняется вбок (в ортогональной инвариантной центральной плоскости вращения) на некоторый угол. Поэтому каждая вершина пересекает винтовую гладкую кривую, называемую изоклиной ^[м], между двумя точками в разных центральных плоскостях, при этом пересекая обычную большую окружность в каждой из двух ортогональных центральных плоскостей (поскольку плоскости наклоняются относительно своих исходных плоскостей). Если два ортогональных угла идентичны, то расстояние, пройденное по каждой большой окружности, одинаково, и двойное вращение называется изоклинным (также смещением Клиффорда ). Вращение, при котором изоклинные центральные плоскости сближаются, называется изоклинным вращением. ^[n]
16. Инвариантная центральная плоскость характерного изоклинического вращения 120-ячейки ^[ac] содержит неправильный большой шестиугольник {6} с чередующимися ребрами двух разных длин: 3 120-ячейковых ребра длины 𝜁 = √ 0.𝜀 (хорды #1) и 3 вписанных правильных 5-ячейковых ребра длины √ 2.5 (хорды #8). Это, соответственно, самое короткое и самое длинное ребро любого правильного 4-го многогранника. ^[ae] Каждый неправильный большой шестиугольник полностью ортогонален другому неправильному большому шестиугольнику. ^[af] 120-ячейка содержит 400 различных неправильных больших шестиугольников (200 полностью ортогональных пар), которые можно разбить на 100 непересекающихся неправильных больших шестиугольников (дискретное расслоение 120-ячейки) четырьмя различными способами. Каждое расслоение имеет свое особое левое (и правое) изоклиническое вращение в 50 парах полностью ортогональных инвариантных центральных плоскостей. Два неправильных больших шестиугольника занимают одну и ту же центральную плоскость, в чередующихся положениях, так же как два больших пятиугольника занимают большую десятиугольную плоскость. Два неправильных больших шестиугольника образуют неправильный большой додекагон, составной большой круговой многоугольник 120-ячейки, который проиллюстрирован отдельно. ^[q]

17. 

    120-ячейка имеет 200 центральных плоскостей, каждая из которых пересекает 12 вершин, образуя неправильный двенадцатиугольник с чередующимися ребрами двух разных длин. В двенадцатиугольник вписаны два правильных больших шестиугольника (черные), ^[ax] два неправильных больших шестиугольника ( красные ), ^[p] и четыре равносторонних больших треугольника (показан только один, зеленым ).

    120-ячейка имеет неправильный додекагон {12}, многоугольник с большим кругом из 6 ребер (хорды #1, обозначенные 𝜁 ), чередующихся с 6 диаметрами ячеек додекаэдра ( хорды #4 ). ^[at] Неправильный большой додекагон содержит два неправильных больших шестиугольника ( красные ), вписанных в чередующихся положениях. ^[p] Два правильных больших шестиугольника с ребрами третьего размера ( √ 1 , хорда #5) также вписаны в додекагон. ^[ax] Двенадцать правильных шестиугольных ребер (хорды #5), шесть ребер диаметра ячейки двенадцатиугольника (хорды #4) и шесть 120-ячеечных ребер двенадцатиугольника (хорды #1) являются хордами одного и того же большого круга, но другие 24 зигзагообразных ребра (хорды #1, не показаны), которые соединяют шесть ребер #4 двенадцатиугольника, не лежат в этой плоскости большого круга. Плоскости неправильного большого додекагона двенадцатиугольника, его плоскости неправильного большого шестиугольника, его плоскости правильного большого шестиугольника и его плоскости равностороннего большого треугольника являются одним и тем же набором плоскостей додекагона. 120-ячейка содержит 200 таких {12} центральных плоскостей (100 полностью ортогональных пар), тех же 200 центральных плоскостей, каждая из которых содержит шестиугольник , которые находятся в каждой из 10 вписанных 600-ячеек. ^[aw]
18. 5-ячеечный, 8-ячеечный и 120-ячеечный все имеют тетраэдрические вершинные фигуры. В 4-ячеистом многограннике с тетраэдрической вершинной фигурой путь вдоль ребер не лежит на обычной большой окружности в одной центральной плоскости: каждое последующее ребро лежит в другой центральной плоскости, чем предыдущее ребро. В 120-ячеечном 30-реберный окружной путь вдоль ребер следует зигзагообразному косому многоугольнику Петри, который не является большой окружностью. Однако существует 15-хордовый окружной путь, который является истинной геодезической большой окружностью через эти 15 вершин: но это не обычная «плоская» большая окружность окружности 2𝝅𝑟, это винтовая изоклина ^[m] , которая изгибается по окружности в двух полностью ортогональных центральных плоскостях одновременно, окружая через четыре измерения, а не ограничиваясь двумерной плоскостью. ^[ab] Набор косых хорд изоклины называется ее многоугольником Клиффорда . ^[ag]
19. В изоклинических вращениях 120-ячеечной системы угол поворота составляет 12° (1/30 окружности), а не дугу 15,5~° хорды ребра #1. Независимо от того, какие центральные плоскости являются инвариантными плоскостями поворота, любой изоклинический поворот 120-ячеечной системы на 12° приведет большой многоугольник в каждой центральной плоскости к конгруэнтному большому многоугольнику в параллельной Клиффорду центральной плоскости, которая находится на расстоянии 12°. Смежные параллельные Клиффорду большие многоугольники (любого вида) полностью не пересекаются, а их ближайшие вершины соединены двумя ребрами 120-ячеечной системы (хорды #1 с длиной дуги 15,5~°). Угол поворота 12° не является дугой какой-либо хорды вершина-к-вершине в 120-ячеечной системе. Это происходит только в виде двух равных углов между соседними параллельными центральными плоскостями Клиффорда , ^[o] , и это разделение между соседними плоскостями вращения во всех различных изоклинических вращениях 120-ячейки (не только в ее характерном вращении).
20. Каждый класс дискретного изоклинного вращения ^[n] характеризуется его углами вращения и изоклины и тем, какой набор параллельных Клиффорду центральных плоскостей является его инвариантными плоскостями вращения. Характеристическое изоклинное вращение 4-политопа — это класс дискретного изоклинного вращения, в котором набор инвариантных плоскостей вращения содержит ребра 4-политопа; существует отчетливое левое (и правое) вращение для каждого такого набора параллельных Клиффорду центральных плоскостей (каждое расслоение Хопфа реберных плоскостей). Если ребра 4-политопа образуют правильные большие окружности, угол поворота характеристического вращения — это просто угол дуги ребра (реберная хорда — это просто хорда вращения). Но в правильном 4-политопе с тетраэдрической вершинной фигурой ^[r] ребра не образуют правильные большие окружности, они образуют неправильные большие окружности в сочетании с другой хордой. Например, ребра хорды #1 120-ячейки являются ребрами неправильного большого додекагона, который также имеет ребра хорды #4. ^[q] В таком 4-многограннике угол поворота не является углом дуги ребра; на самом деле, он не обязательно является дугой какой-либо вершинной хорды. ^[s]
21. √ 2 ребра и 4𝝅 характеристические вращения ^[l] 16-ячейки лежат в центральных плоскостях большого квадрата ☐; вращения этого типа являются выражением группы симметрии . √ 1 ребра, √ 3 хорды и 4𝝅 характеристические вращения 24-ячейки лежат в центральных плоскостях большого треугольника (большого шестиугольника) △; вращения этого типа являются выражением группы симметрии. Ребра и 5𝝅 характеристические вращения 600-ячейки лежат в центральных плоскостях большого пятиугольника (большого десятиугольника) 𝜙; эти хорды являются функциями √ 5 , и вращения этого типа являются выражением группы симметрии . Многоугольники и характеристические вращения правильной 5-ячейки не лежат в одной центральной плоскости; они описывают косую пентаграмму ✩ или большую косую полиграмму и образуют только многоугольники граней, но не центральные многоугольники; вращения этого типа являются выражениями группы симметрии. ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle H_{4}}$ ${\displaystyle A_{4}}$

22. 

    В триаконтаграмме {30/9}=3{10/3} мы видим 120-ячеечный многоугольник Петри (на окружности 30-угольника, с не показанными 120-ячеечными ребрами) как соединение трех параллельных Клиффорду 600-ячеечных больших декагонов (видимых как три непересекающихся {10/3} декаграммы), которые спирально вращаются вокруг друг друга. 600-ячеечные ребра (хорды #3) соединяют вершины, которые находятся на расстоянии 3 600-ячеечных ребер друг от друга (на большом круге) и 9 120-ячеечных ребер друг от друга (на многоугольнике Петри). Три непересекающихся {10/3} больших декагона с 600-ячеечными ребрами очерчивают одно спиральное кольцо из 30-тетраэдра Бурдейка–Коксетера вписанного 600-ячеечного.

    120-ячеечная и 600-ячеечная обе имеют 30-угольные многоугольники Петри. ^[ai] Это две отдельные скошенные 30-угольные спирали, состоящие из 30 120-ячеечных ребер (хорды № 1) и 30 600-ячеечных ребер (хорды № 3) соответственно, но они встречаются в полностью ортогональных парах, которые закручиваются вокруг одной и той же оси большого круга 0-угольника. Спираль Петри 120-ячеечной извивается ближе к оси, чем спираль Петри 600-ячеечной , потому что ее 30 ребер короче, чем 30 ребер 600-ячеечной (и они зигзагообразны под менее острыми углами). Двойная пара ^[ai] этих спиралей Петри разных радиусов, имеющих общую ось, не имеет общих вершин; они полностью не пересекаются. ^[al] 120-ячеистая спираль Петри (в отличие от 600-ячеистой спирали Петри) закручивается вокруг оси 0-го угла 9 раз (в отличие от 11 раз) в ходе одной круговой орбиты, образуя косую {30/9}=3{10/3} полиграмму (в отличие от косой {30/11} полиграммы ). ^[am]
23. В 600-ячеечных § Декагоны и пентадекаграммы см. иллюстрацию триаконтаграммы {30/6}=6{5} .
24. В 3 больших десятиугольника, параллельных Клиффорду, каждого винтового многоугольника Петри 120-ячейки ^[d] вписано 6 больших пятиугольников ^[w] , в которые, по-видимому, вписаны 6 пентаграмм (правильные 5-ячейки), но пентаграммы наклонены (не параллельны плоскости проекции); каждая 5-ячейка на самом деле имеет вершины в 5 различных центральных плоскостях десятиугольника-пентагона в 5 полностью непересекающихся 600-ячейках.
25. 120 правильных 5-ячеек полностью не пересекаются. Каждая 5-ячейка содержит два отдельных пятиугольника Петри своих ребер #8, пятиугольные контуры, каждый из которых связывает 5 непересекающихся 600-ячеек вместе в отдельном изоклиническом вращении, характерном для 5-ячейки. Но вершины двух непересекающихся 5-ячеек не связаны ребрами 5-ячеек, поэтому каждая отдельная цепь хорд #8 ограничена одной 5-ячейкой, и в 120-ячейке нет других контуров ребер 5-ячеек (хорд #8).
26. Каждая черная или белая изоклина пентадекаграммы действует как правая изоклина в отдельном правом изоклинном вращении и как левая изоклина в отдельном левом изоклинном вращении, но изоклины не обладают присущей им хиральностью. ^[м] Ни одна изоклина не является одновременно правой и левой изоклиной одного и того же дискретного лево-правого вращения (одного и того же расслоения).
27. Характерное изоклиническое вращение 120-ячейки в инвариантных плоскостях, в которых лежат ее ребра (хорды #1), переводит эти ребра в подобные ребра в параллельных центральных плоскостях Клиффорда. Поскольку изоклиническое вращение ^[n] является двойным вращением (в двух полностью ортогональных инвариантных центральных плоскостях одновременно), на каждом шаге инкрементного вращения от вершины к соседней вершине вершины перемещаются между центральными плоскостями по винтовым изоклинам большого круга, а не по обычным большим кругам, ^[m] по хорде изоклины, которая в этом конкретном вращении является хордой #4 с длиной дуги 44,5~°. ^[ar]
28. Характерная изоклина ^[m] 120-ячеечной ячейки является косой пентадекаграммой из 15 хорд #4. Последовательные хорды #4 каждой пентадекаграммы лежат в разных △ центральных плоскостях, которые наклонены изоклинно друг к другу на 12°, что составляет 1/30 большого круга (но не дуги 120-ячеечного ребра, хорды #1). ^[s] Это означает, что две плоскости разделены двумя равными углами в 12°, ^[o] и они заняты смежными параллельными большими многоугольниками Клиффорда (неправильными большими шестиугольниками), соответствующие вершины которых соединены косыми хордами #4. Последовательные вершины каждой пентадекаграммы являются вершинами в полностью непересекающихся 5-ячейках. Каждая пентадекаграмма является хордовым путем #4 ^[r], посещающим 15 вершин, принадлежащих трем различным 5-ячейкам. Две пентадекаграммы, показанные в проекции {30/8}=2{15/4} ^[ac], посещают шесть 5-клеток, которые появляются как шесть непересекающихся пентаграмм в проекции {30/12}=6{5/2}. ^[d]

29. 

    В триаконтаграмме {30/8}=2{15/4} видны
    2 непересекающиеся изоклины пентадекаграммы : черная и белая изоклина (показана здесь как оранжевая и слабо-желтая) характерного изоклинного вращения 120-ячейки. ^[z] Ребра пентадекаграммы представляют собой хорды № 4 ^[aa], соединяющие вершины, которые находятся на расстоянии 8 вершин друг от друга на 30-вершинной окружности этой проекции, зигзагообразного многоугольника Петри. ^[ab]

    Характерное изоклиническое вращение ^[t] 120-ячеечной структуры происходит в инвариантных плоскостях ее 1200 ребер ^[r] и ее вписанных регулярных 5-ячеечных противолежащих 1200 ребер . ^[p] Существует четыре различных характерных правых (и левых) изоклинических вращения, каждая пара слева-справа соответствует дискретному расслоению Хопфа . ^[13] В каждом вращении все 600 вершин вращаются по винтовым изоклинам из 15 вершин, следуя геодезической окружности ^[m] с 15 хордами #4, которые образуют пентадекаграмму {15/4}. ^[ab]

30. 

    Многоугольник Петри 120-ячейки представляет собой правильный косой триаконтагон {30}. ^[ah] 30 рёбер хорды #1 не все лежат на одном и том же многоугольнике большого круга {30}, а они расположены группами по 6 (равномерно разнесённых по окружности) в 5 параллельных Клиффорду {12} многоугольниках большого круга. ^[q]

    120-ячейка содержит 80 различных 30-угольных многоугольников Петри из своих 1200 ребер и может быть разделена на 20 непересекающихся 30-угольных многоугольников Петри. ^[ai] 30-угольник Петри закручивается вокруг своей 0-угольной большой оси окружности 9 раз в ходе одной круговой орбиты и может рассматриваться как составная триаконтаграмма {30/9}=3{10/3} 600-ячейковых ребер (хорды №3), связывающих пары вершин, которые находятся на расстоянии 9 вершин друг от друга на многоугольнике Петри. ^[v] {30/9}-грамма (с ее ребрами хорды №3) является альтернативной последовательностью тех же 30 вершин, что и 30-угольник Петри (с ее ребрами хорды №1).
31. Каждая хорда √ 2.5 охватывается 8 зигзагообразными ребрами 30-угольника Петри, ^[ad] ни одно из которых не лежит в большой окружности неправильного большого шестиугольника. Поочередно хорда √ 2.5 охватывается 9 зигзагообразными ребрами, одно из которых (над своей серединой) лежит в той же большой окружности. ^[p]
32. Хотя полностью ортогональные большие многоугольники перпендикулярны и связаны (подобно смежным звеньям в замкнутой цепи), они также параллельны и лежат точно друг напротив друга в 4-мерном многограннике в плоскостях, которые не пересекаются, за исключением одной точки — общего центра двух связанных окружностей.
33. Хорда-траектория изоклины ^{[m] может быть названа} многоугольником Клиффорда 4-политопа , поскольку она представляет собой косую полиграммную форму вращательных окружностей, пересекаемых вершинами 4-политопа при его характерном смещении Клиффорда . ^[o]
34. Окружность из 30 ребер 120-ячейки следует косому многоугольнику Петри, а не большому круговому многоугольнику. Многоугольник Петри любого 4-многогранника представляет собой зигзагообразную спираль, пролегающую через искривленное 3-пространство поверхности 4-многогранника. ^[aj] 15 пронумерованных хорд 120-ячейки возникают как расстояние между двумя вершинами в этом 30-вершинном винтовом кольце. ^[ak] Эти 15 различных пифагорейских расстояний через 4-пространство варьируются от длины ребра 120-ячейки, которая связывает любые две ближайшие вершины в кольце (хорда № 1), до длины оси 120-ячейки (диаметра), которая связывает любые две антиподальные (наиболее удаленные) вершины в кольце (хорда № 15).
35. Правильный косой 30-угольник является многоугольником Петри 600-ячейки и его дуальным 120-ячейкой. Многоугольники Петри 120-ячейки встречаются в 600-ячейке как дуальные 30-ячейным спиральным кольцам Бурдейка–Коксетера (многоугольники Петри 600-ячейки): ^[am] соединение их 30 тетраэдрических центров ячеек вместе дает многоугольники Петри дуальной 120-ячейки, как заметил Рольфдитер Франк (около 2001 г.). Таким образом, он обнаружил, что множество вершин 120-ячейки разбивается на 20 непересекающихся многоугольников Петри. Этот набор из 20 непересекающихся параллельных косых многоугольников Клиффорда является дискретным расслоением Хопфа 120-ячеечного многоугольника (так же, как их 20 двойственных 30-ячеечных колец являются дискретным расслоением 600-ячеечного многоугольника ). ^[v]
36. Многоугольник Петри 3-политопа (многогранника) с треугольными гранями (например, икосаэдра) можно рассматривать как линейную полосу граней, соединенных ребрами, согнутую в кольцо. Внутри этой круговой полосы треугольников, соединенных ребрами (10 в случае икосаэдра), многоугольник Петри можно выделить как косой многоугольник с ребрами, зигзагообразными (не круговыми) через 2-пространство поверхности многогранника: попеременно изгибаясь влево и вправо и слаломно вокруг оси большого круга, которая проходит через треугольники, но не пересекает ни одной вершины. Многоугольник Петри 4-политопа (полихорона) с тетраэдрическими ячейками (например, 600-ячейки) можно рассматривать как линейную спираль ячеек, соединенных гранями, согнутую в кольцо: спиральное кольцо Бурдейка–Коксетера . Внутри этой круговой спирали тетраэдров, соединенных гранями (30 в случае 600-ячеечного), косой многоугольник Петри можно выделить как спираль ребер, зигзагообразных (не окружных) через 3-мерное пространство поверхности полихорона: попеременно изгибающихся влево и вправо и закручивающихся вокруг оси большого круга, которая проходит через тетраэдры, но не пересекает ни одной вершины.
37. Сама 120-ячейка содержит больше хорд, чем 15 хорд, пронумерованных #1 - #15, но дополнительные хорды встречаются только внутри 120-ячейки, а не как ребра любого из шести правильных выпуклых 4-многогранников или их характерных больших колец окружности. 15 главных хорд так пронумерованы, потому что хорда # n соединяет две вершины, которые находятся на расстоянии n длин ребер на многоугольнике Петри. Существует 30 различных 4-пространственных хордовых расстояний между вершинами 120-ячейки (15 пар 180°-дополнений), включая # 15 - диаметр 180° (и его дополнение - хорду 0°). В этой статье мы называем 15 ненумерованных минорных хорд по их углам дуги, например, 41,4~°, который при длине √ 0,5 попадает между хордами №3 и №4.
38. "В точке контакта [элементы правильного многогранника и элементы его двойственного, в который он вписан каким-либо образом] лежат в полностью ортогональных подпространствах касательной гиперплоскости к сфере [взаимного движения], поэтому их единственной общей точкой является сама точка контакта... Фактически, [различные] радиусы ₀ 𝑹, ₁ 𝑹, ₂ 𝑹, ... определяют многогранники... вершины которых являются центрами элементов 𝐈𝐈 ₀ , 𝐈𝐈 ₁ , 𝐈𝐈 ₂ , ... исходного многогранника." ^[16]

39. 

    Многоугольник Петри вписанных 600 ячеек можно увидеть в этой проекции на плоскость триаконтаграммы {30/11}, 30-граммовой хорды #11. 600-ячеечная Петри представляет собой спиральное кольцо, которое обвивается вокруг своей оси 11 раз. Эта проекция вдоль оси кольцевого цилиндра показывает 30 вершин, отстоящих друг от друга на 12° вокруг круглого поперечного сечения цилиндра, с хордами #11, соединяющими каждую 11-ю вершину на окружности. Ребра 600 ячеек (хорды #3), которые являются ребрами многоугольника Петри, не показаны на этой иллюстрации, но их можно было бы нарисовать по окружности, соединяя каждую 3-ю вершину.

    Многоугольник Петри из 600 ячеек представляет собой спиральное кольцо , которое закручивается вокруг своей оси большого круга 0-угольника 11 раз в ходе одной круговой орбиты. Спроецированный на плоскость, полностью ортогональную плоскости 0-угольника, многоугольник Петри из 600 ячеек можно рассматривать как триаконтаграмму {30/11} из 30 хорд #11, связывающих пары вершин, которые находятся на расстоянии 11 вершин друг от друга на окружности проекции. ^[17] {30/11}-грамма (с ее ребрами хорд #11) представляет собой альтернативную последовательность тех же 30 вершин, что и 30-угольник Петри (с ее ребрами хорд #3).
40. При изоклиническом вращении каждая инвариантная плоскость параллельна по Клиффорду плоскости, к которой она движется, и они не пересекаются в любой момент времени (кроме центральной точки). При простом вращении инвариантная плоскость пересекает плоскость, к которой она движется, по прямой и движется к ней, вращаясь вокруг этой прямой.
41. Плоскость, в которой вся инвариантная плоскость вращается (наклоняется вбок), (не полностью) ортогональна обеим полностью ортогональным инвариантным плоскостям, а также параллельна Клиффорду им обеим. ^[af]
42. Изоклинный поворот на 90 градусов двух полностью ортогональных плоскостей сближает их. При таком повороте жесткого 4-политопа все 6 ортогональных плоскостей поворачиваются на 90 градусов, а также наклоняются вбок на 90 градусов к своей полностью ортогональной (параллельной Клиффорду) плоскости. ^[18] Соответствующие вершины двух полностью ортогональных больших многоугольников находятся на расстоянии √ 4 (180°) друг от друга; большие многоугольники (параллельные Клиффорду многогранники) находятся на расстоянии √ 4 (180°) друг от друга; но две полностью ортогональные плоскости находятся на расстоянии 90° друг от друга в двух ортогональных углах, которые их разделяют. ^[o] Если изоклиническое вращение продолжается еще на 90°, каждая вершина завершает вращение на 360°, и каждый большой многоугольник возвращается в свою исходную плоскость, но в другой ориентации (оси поменялись местами): он был перевернут «вверх ногами» на поверхности 4-политопа (который теперь «наизнанку»). Продолжение через второе изоклиническое вращение на 360° (через четыре изоклинических шага 90° на 90°, вращение на 720°) возвращает все на исходное место и ориентацию.
43. Проще всего визуализировать это неправильно , потому что полностью ортогональные большие окружности параллельны Клиффорду и не пересекаются (кроме центральной точки). Также не пересекаются инвариантная плоскость и плоскость, в которую она движется. Инвариантная плоскость наклоняется вбок в ортогональной центральной плоскости, которая не является ее полностью ортогональной плоскостью, но параллельна ей по Клиффорду. Она вращается вместе со своей полностью ортогональной плоскостью, но не в ней. Она параллельна по Клиффорду своей полностью ортогональной плоскости и плоскости, в которую она движется, и не пересекает их; плоскость, в которой она вращается , ортогональна всем этим плоскостям и пересекает их все. ^[ao] В характеристическом вращении 120-ячеечной системы ^[ac] каждая инвариантная плоскость вращения параллельна по Клиффорду своей полностью ортогональной плоскости, но не смежна с ней; она сначала достигает некоторой другой (ближайшей) параллельной плоскости. Но если изоклиническое вращение, проходящее через последовательные параллельные плоскости Клиффорда, продолжить на 90°, вершины переместятся на 180°, а наклонная плоскость вращения достигнет своей (исходной) полностью ортогональной плоскости. ^[ap]
44. Хорда изоклины характеристического вращения 120-ячейки ^[ac] является хордой № 4 угла дуги 44,5° (большее ребро неправильного большого двенадцатиугольника), поскольку при этом повороте изоклины на два равных угла поворота по 12° ^[s] каждая вершина перемещается в другую вершину, отстоящую на 4 длины ребра на многоугольнике Петри, а круговой геодезический путь, по которому она вращается (ее изоклина) ^[m], не пересекает ни одну из более близких вершин.
45. Дробные длины хорд квадратного корня задаются в виде десятичных дробей, где:
           𝚽 ≈ 0,618 — обратное золотое сечение ⁠1/φ⁠
           𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽 ² = ⁠1/φ2^​⁠ ≈ 0,382
           𝜀 = 𝚫 ² /2 = ⁠1/2φ ⁴⁠ ≈ 0,073
    , а длина ребра из 120 ячеек равна:
           𝛇 = √ 𝜀 = ⁠1/√ 2 φ ²⁠ ≈ 0,270
    Например:
           𝛇 = √ 0,𝜀 = √ 0,073~ ≈ 0,270
46. В додекаэдрической ячейке 120-ячейки единичного радиуса длина ребра ( хорда № 1 120-ячейки) равна ⁠1/φ ² √ 2⁠ ≈ 0,270. Восемь оранжевых вершин лежат в декартовых координатах (±φ ³ √ 8 , ±φ ³ √ 8 , ±φ ³ √ 8 ) относительно начала координат в центре ячейки. Они образуют куб (пунктирные линии) с длиной ребра ⁠1/φ √ 2⁠ ≈ 0,437 (диагональ пентагона и хорда №2 120-ячейки). Диагонали граней куба (не показан) с длиной ребра ⁠1/φ⁠ ≈ 0,618 — ребра тетраэдрических ячеек, вписанных в куб (ребра 600-ячеечной ячейки и хорда № 3 120-ячеечной ячейки). Диаметр додекаэдра равен ⁠√ 3/φ √ 2⁠ ≈ 0,757 (диагональ куба и хорда №4 120-ячейки).
47. Диагональ пятиугольника грани (хорда №2) находится в золотом отношении φ ≈ 1,618 к ребру пятиугольника грани (ребру из 120 ячеек, хорде №1). ^[at]
48. Хорда #2 соединяет вершины, которые находятся на расстоянии 2 длин ребер друг от друга: вершины тетраэдрической вершинной фигуры 120-ячейки, вторая часть 120-ячейки, начинающаяся с вершины, обозначенной 1 ₀ . Хорды ​​#2 являются ребрами этого тетраэдра, а хорды #1 — его большими радиусами. Хорды ​​#2 также являются диагональными хордами пятиугольных граней 120-ячейки. ^[au]
49. 120-ячейка содержит десять 600-ячеек, которые можно разделить на пять полностью непересекающихся 600-ячеек двумя различными способами. ^[h] Все десять 600-ячеек занимают один и тот же набор из 200 неправильных больших центральных плоскостей додекагона. ^[q] В 120-ячейке ровно 400 правильных шестиугольников (по два в каждой центральной плоскости додекагона), и каждая из десяти 600-ячеек содержит свое собственное отличное подмножество из 200 из них (по одному из каждой центральной плоскости додекагона). Каждая 600-ячейка содержит только один из двух противолежащих правильных шестиугольников, вписанных в любую центральную плоскость додекагона, так же как она содержит только один из двух противолежащих тетраэдров, вписанных в любую додекаэдрическую ячейку. Каждая 600-ячейка не пересекается с 4 другими 600-ячейками и делит шестиугольники с 5 другими 600-ячейками. ^[bo] Каждая непересекающаяся пара 600-ячеек занимает противоположную пару непересекающихся больших шестиугольников в каждой центральной плоскости додекагона. Каждая непересекающаяся пара 600-ячеек пересекается в 16 шестиугольниках, которые составляют 24-ячейку. 120-ячейка содержит в 9 раз больше различных 24-ячеек (225), чем непересекающихся 24-ячеек (25). ^[j] Каждая 24-ячейка встречается в 9 600-ячейках, отсутствует только в одной 600-ячейке и является общей для двух 600-ячеек.

50. 

    Триаконтаграмма {30/5}=5{6} , 120-ячейковый косой 30-угольник Петри как соединение 5 больших шестиугольников.

    Каждое большое ребро шестиугольника является осью зигзага из 5 120-ячеечных ребер. Многоугольник Петри из 120 ячеек представляет собой винтовой зигзаг из 30 120-ячеечных ребер, закручивающийся вокруг оси большого круга 0-угольника , которая не пересекает ни одной вершины. ^[v] В каждый многоугольник Петри вписано 5 больших шестиугольников в пяти различных центральных плоскостях. ^[aw]
51. Многоугольник Петри 5-ячеечной структуры — пентаграмма {5/2}. Многоугольник Петри 120-ячеечной структуры — триаконтагон {30} , и одна из его многочисленных проекций на плоскость — триаконтаграмма {30/12}=6{5/2}. ^[ad] Каждая 120-ячеечная 6{5/2}-грамма Петри полностью ортогональна шести 5-ячеечным {5/2}-граммам Петри, которые принадлежат шести из 120 непересекающихся правильных 5-ячеек, вписанных в 120-ячеечную структуру. ^[d]
52. Сумма квадратов длин всех различных хорд любого правильного выпуклого n-мерного многогранника единичного радиуса равна квадрату числа вершин. ^[19]
53. Додекаэдры появляются как видимые элементы в 120-ячеечном многограннике, но они также встречаются в 600-ячеечном многограннике как внутренние многогранники. ^[22]
54. Грани -симплекса больше граней -ортоплекса. Для длины ребер 5-клеточного, 16-клеточного и 8-клеточного кристаллов относятся как к к . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
55. Каждая 3-грань 4-ортоплекса, тетраэдр, переставляющий , и его полностью ортогональная 3-грань, переставляющая , включают все 8 вершин 4-ортоплекса. Уникально, что 4-ортоплекс также является 4- демикубом , половиной вершин 4-куба. Эта связь между 4-симплексом, 4-ортоплексом и 4-кубом уникальна для . Полностью ортогональные 3-симплексные грани 4-ортоплекса представляют собой пару 3-демикубов, которые занимают чередующиеся вершины полностью ортогональных 3-кубов в том же 4-кубе. Спроецированные ортогонально на ту же 3-гиперплоскость, две 3-грани будут двумя тетраэдрами, вписанными в тот же 3-куб. (В более общем смысле, полностью ортогональные многогранники являются зеркальными отражениями друг друга.) ${\displaystyle (0,0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,-1)}$ ${\displaystyle n=4}$
56. Каждая 4-грань 5-ортоплекса, 4-симплексная (5-ячеечная) перестановка и ее полностью ортогональная 4-гранная перестановка включают все 10 вершин 5-ортоплекса. ${\displaystyle (0,0,0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,0,-1)}$
57. Ни одна пара вершин любой из 120 5-ячеек (ни одна большая двуугольная центральная плоскость 5-ячейки ) не встречается ни в одной из 675 16-ячеек (675 декартовых базисных множеств 6 ортогональных центральных плоскостей ). ^[j]
58. В искривленном 3-мерном пространстве поверхности 120-ячейки каждая из 600 вершин окружена 15 парами многогранных сечений, каждое из которых находится на «радиальном» расстоянии одной из 30 различных хорд. Вершина на самом деле не находится в центре многогранника, поскольку она смещена в четвертом измерении из гиперплоскости сечения, так что вершина вершины и окружающий ее базовый многогранник образуют многогранную пирамиду . Характерная хорда радиальна вокруг вершины, как и боковые ребра пирамиды.
59. Изоклинные вращения сводят плоскости, параллельные Клиффорду, друг к другу, поскольку плоскости вращения наклоняются вбок, как подбрасываемые монеты. ^[n] Мост хорды № 4 ^[aa] важен в изоклинном вращении в правильных больших шестиугольниках ( характерное вращение 24-ячеечной системы ), в котором инвариантные плоскости вращения являются подмножеством тех же 200 центральных плоскостей додекагона, что и характерное вращение 120-ячеечной системы (в неправильных больших шестиугольниках). ^[ac] В каждой дуге 12° ^[ar] характерного вращения 24-ячеечной системы 120-ячеечной системы каждая вершина правильного большого шестиугольника смещается в другую вершину в параллельном Клиффорду правильном большом шестиугольнике, который находится на расстоянии хорды № 4. Соседние параллельные Клиффорду правильные большие шестиугольники имеют шесть пар соответствующих вершин, соединенных хордами № 4. Шесть хорд #4 являются ребрами шести отдельных больших прямоугольников в шести непересекающихся центральных плоскостях двенадцатиугольников, которые взаимно параллельны Клиффорду.
60. На этой иллюстрации показан только один из трех связанных неправильных больших двенадцатиугольников, которые лежат в трех различных △ центральных плоскостях. Два из них (не показаны) лежат в параллельных Клиффорду (непересекающихся) плоскостях додекагона и не имеют общих вершин. Синий центральный прямоугольник со сторонами #4 и #11 лежит в третьей плоскости додекагона, не параллельной Клиффорду ни одной из двух непересекающихся плоскостей додекагона и пересекающей их обе; он имеет две общие вершины ( ось √ 4 прямоугольника) с каждой из них. Каждая плоскость додекагона содержит два неправильных больших шестиугольника в чередующихся положениях (не показаны). ^[q] Таким образом, каждая хорда #4 большого прямоугольника, показанного на рисунке, является мостом между двумя параллельными Клиффорду неправильными большими шестиугольниками, которые лежат в двух плоскостях додекагона, которые не показаны. ^[bg]
61. Правильная 5-ячейка имеет только двуугольные центральные плоскости, пересекающие две вершины. 120-ячейка со 120 вписанными правильными 5-ячейками содержит большие прямоугольники, более длинные стороны которых являются этими двуугольниками, ребрами вписанных 5-ячеек длины √ 2,5 . Три непересекающихся прямоугольника встречаются в одной {12} центральной плоскости, где шесть #8 √ 2,5 хорд принадлежат шести непересекающимся 5-ячейкам. 12 ₀ сечений и 18 ₀ сечений являются правильными тетраэдрами с длиной ребра √ 2,5 , ячейками правильных 5-ячеек. Десять треугольных граней правильной 5-ячейки лежат в этих сечениях; каждое из трех √ 2,5 ребер грани лежит в другой {12} центральной плоскости.
62. В 120-ячейке каждая 24-ячейка принадлежит двум разным 600-ячейкам. ^[25] 120-ячейка содержит 225 отдельных 24-ячеек и может быть разделена на 25 непересекающихся 24-ячеек, поэтому она является выпуклой оболочкой соединения 25 24-ячеек. ^[26]
63. 10 тетраэдров в каждом додекаэдре перекрываются, но 600 тетраэдров в каждой 600-ячейке не перекрываются, поэтому каждый из 10 должен принадлежать к разным 600-ячейкам.
64. Каждая 120-ячеечная вершинная фигура на самом деле является низкой тетраэдрической пирамидой, неправильной 5-ячеечной пирамидой с основанием в виде правильного тетраэдра.
65. Как мы видели в 600-ячеечной модели , эти 12 тетраэдров принадлежат (попарно) 6 икосаэдрическим кластерам из двадцати тетраэдрических ячеек, которые окружают каждый кластер из пяти тетраэдрических ячеек.
66. 24-ячейка содержит 16 шестиугольников. В 600-ячейке с 25 24-ячейками каждая 24-ячейка не пересекается с 8 24-ячейками и пересекает каждую из других 16 24-ячеек в шести вершинах, которые образуют шестиугольник. ^[42] 600-ячейка содержит 25・16/2 = 200 таких шестиугольников.
67. Каждый правильный большой шестиугольник разделяется двумя 24-ячейками в том же 600-ячейке, ^[bn] и каждая 24-ячейка разделяется двумя 600-ячейками. ^[bj] Каждый правильный шестиугольник разделяется четырьмя 600-ячейками.
68. Уменьшение 600-точечного 120-ячейника до 480-точечного 4-политопа путем удаления одной из его 600-ячеек аналогично уменьшению 120-точечного 600-ячейника путем удаления одной из его 5 непересекающихся вписанных 24-ячеек, создавая 96-точечный плосконосый 24-ячейник . Аналогично, 8-ячейковый тессеракт можно рассматривать как 16-точечный уменьшенный 24-ячейник, из которого удален один 8-точечный 16-ячейник.

Цитаты

1. NW Johnson : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Коксетера , стр.249
2. Матила Гика, Геометрия искусства и жизни (1977), стр.68
3. Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I(ii); «120-клеточная».
4. Dechant 2021, стр. 18, примечание 5.7 , объясняет, почему нет. ^[e]
5. Dechant 2021, Аннотация; «[В]сякая 3D-корневая система допускает построение соответствующей 4D-корневой системы с помощью «теоремы индукции». В этой статье мы подробно рассмотрим икосаэдрический случай H3 → H4 и выполним вычисления явно. Алгебра Клиффорда используется для выполнения групповых теоретических вычислений на основе теоремы Версора и теоремы Картана-Дьедонне... проливающих свет на геометрические аспекты корневой системы H4 (600-ячейковой), а также других связанных многогранников и их симметрий... включая построение плоскости Кокстера, которая используется для визуализации дополнительных пар инвариантных многогранников.... Таким образом, этот подход представляет собой более систематический и общий способ выполнения вычислений, касающихся групп, в частности групп отражений и корневых систем, в алгебраической структуре Клиффорда».
6. Математика и ее история , Джон Стиллвелл, 1989, 3-е издание 2010, ISBN 0-387-95336-1 
7. Стиллвелл 2001.
8. Coxeter 1973, стр. 156–157, §8.7 Декартовы координаты.
9. Mamone, Pileio & Levitt 2010, стр. 1442, Таблица 3.
10. Mamone, Pileio & Levitt 2010, стр. 1433, §4.1; Декартова 4-координатная точка (w,x,y,z) — это вектор в 4D-пространстве из (0,0,0,0). Четырехмерное реальное пространство — это векторное пространство: любые два вектора можно сложить или умножить на скаляр, чтобы получить другой вектор. Кватернионы расширяют векторную структуру 4D-реального пространства, допуская умножение двух 4D-векторов и согласно ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{1}}$ ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{2}}$
    $${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}}$$
11. Ким и Роте 2016, стр. 7, §6 Углы между двумя плоскостями в 4-мерном пространстве; «В четырех (и более) измерениях нам нужны два угла, чтобы зафиксировать относительное положение между двумя плоскостями. (В более общем смысле, k углов определяются между k -мерными подпространствами.)».
12. Коксетер 1973, стр. 304, Таблица VI (iv): 𝐈𝐈 = {5,3,3}.
13. Mamone, Pileio & Levitt 2010, стр. 1438–1439, §4.5 Регулярные выпуклые 4-многогранники, Таблица 2, Операции симметрии; в группе симметрии 𝛢 ₄ операция [15]𝑹 _q3,q3 представляет собой 15 различных вращательных смещений, которые составляют класс пентадекаграммных изоклинных вращений отдельной 5-ячейки ; в группе симметрии 𝛨 ₄ операция [1200]𝑹 _q3,q13 представляет собой 1200 различных вращательных смещений, которые составляют класс пентадекаграммных изоклинных вращений 120-ячейки, характерное вращение 120-ячейки.
14. Mamone, Pileio & Levitt 2010, стр. 1438–1439, §4.5 Регулярные выпуклые 4-многогранники, таблица 2, группа симметрии 𝛨 ₄ ; 120-ячейка имеет 7200 различных вращательных смещений (и 7200 отражений), которые можно сгруппировать как 25 различных изоклинных вращений.
15. Coxeter 1973, стр. 300–301, Таблица V:(v) Упрощенные сечения {5,3,3} (ребро 2φ ⁻² √2 [радиус 4]), начинающиеся с вершины; Таблица Коксетера содержит 16 неточечных сечений, обозначенных 1 ₀ − 16 ₀ , многогранников, чьи последовательно увеличивающиеся «радиусы» на 3-сфере (в столбце 2 la ) являются следующими хордами в нашей нотации: ^[ak] #1, #2, #3, 41.4~°, #4, 49.1~°, 56.0~°, #5, 66.1~°, 69.8~°, #6, 75.5~°, 81.1~°, 84.5~°, #7, 95.5~°, ..., #15. Остальные отдельные хорды встречаются как более длинные «радиусы» второго набора из 16 противостоящих многогранных сечений (в столбце a для (30− i ) ₀ ), в котором перечислены #15, #14, #13, #12, 138,6~°, #11, 130,1~°, 124~°, #10, 113,9~°, 110,2~°, #9, #8, 98,9~°, 95,5~°, #7, 84,5~°, ..., или, по крайней мере, они встречаются среди 180°-дополнений всех этих хорд, перечисленных Кокстером. Полный упорядоченный набор из 30 различных хорд: 0°, #1, #2, #3, 41.4~°, #4, 49.1~°, 56~°, #5, 66.1~°, 69.8~°, #6, 75.5~°, 81.1~°, 84.5~°, #7, 95.5~°, #8, #9, 110.2°, 113.9°, #10, 124°, 130.1°, #11, 138.6°, #12, #13, #14, #15. Хорды ​​также встречаются среди длин ребер многогранных сечений (в столбце 2 lb , где перечислены только: #2, .., #3, .., 69.8~°, .., .., #3, .., .., #5, #8, .., .., .., #7, ..., поскольку кратные длины ребер неправильных многогранных сечений не указаны).
16. Коксетер 1973, стр. 147, §8.1 Простые усечения общего правильного многогранника.
17. Садок 2001, стр. 577–578, §2.5 Симметрия 30/11: пример другого вида симметрии.
18. Ким и Роте 2016, стр. 8–10, Связь с параллелизмом Клиффорда.
19. Copher 2019, стр. 6, §3.2 Теорема 3.4.
20. Коксетер 1973, стр. 269, Соединения; «Примечательно, что вершины {5, 3, 3} включают вершины всех остальных пятнадцати правильных многогранников в четырех измерениях».
21. Шлеймер и Сегерман 2013.
22. Коксетер 1973, стр. 298, Таблица V: (iii) Разделы {3,3,5}, начинающиеся с вершины.
23. Coxeter 1973, стр. 300–301, Таблица V:(v) Упрощенные сечения {5,3,3} (ребро 2φ ⁻² √2 [радиус 4]), начинающиеся с вершины; таблица Коксетера содержит 16 неточечных сечений, обозначенных как 1 ₀ − 16 ₀ , но 14 ₀ и 16 ₀ являются конгруэнтными противолежащими сечениями, а 15 ₀ противостоит само себе; имеется 29 неточечных сечений, обозначенных как 1 ₀ − 29 ₀ , в 15 противолежащих парах.
24. Карло Х. Секвин (июль 2005 г.). Симметричные гамильтоновы многообразия на регулярных 3D и 4D многогранниках. Mathartfun.com. стр. 463–472. ISBN 9780966520163. Получено 13 марта 2023 г. .
25. van Ittersum 2020, стр. 435, §4.3.5 Две 600-ячейки, описывающие 24-ячейку.
26. Денни и др. 2020, стр. 5, §2 Маркировка H4.
27. Коксетер 1973, стр. 305, Таблица VII: Регулярные соединения в четырех измерениях.
28. Waegell & Aravind 2014, стр. 3–4, §2 Геометрия 120-ячейника: лучи и основания.
29. Салливан 1991, стр. 4–5, Додекаэдр.
30. Коксетер и др. 1938, стр. 4; «Точно так же, как тетраэдр может быть вписан в куб, так и куб может быть вписан в додекаэдр. Взаимно-поступательным движением это приводит к октаэдру, описанному около икосаэдра. Фактически, каждая из двенадцати вершин икосаэдра делит ребро октаэдра в соответствии с «золотым сечением ». Учитывая икосаэдр, описанный октаэдр может быть выбран пятью способами, давая соединение пяти октаэдров , которое подпадает под наше определение звездчатого икосаэдра . (Взаимное соединение пяти кубов, вершины которых принадлежат додекаэдру, является звездчатым триаконтаэдром .) Другой звездчатый икосаэдр может быть сразу выведен, путем звездообразования каждого октаэдра в звездчатом октаэдр , таким образом образуя соединение десяти тетраэдров . Далее, мы можем выбрать один тетраэдр из каждой звездчатой ​​октаэдрической формы, чтобы получить соединение из пяти тетраэдров , которое все еще имеет всю вращательную симметрию икосаэдра (т. е. икосаэдрическую группу), хотя и потеряло отражения. Отражая эту фигуру в любой плоскости симметрии икосаэдра, мы получаем дополнительный набор из пяти тетраэдров. Эти два набора из пяти тетраэдров являются энантиоморфными, т. е. не прямо конгруэнтными, но связанными как пара обуви. [Такая] фигура, которая не имеет плоскости симметрии (так что она энантиоморфна своему зеркальному отображению), называется хиральной .
31. Вегелл и Аравинд 2014, стр. 5–6.
32. Koca, Al-Ajmi & Ozdes Koca 2011, стр. 986–988, 6. Двойственный курносому 24-клеточному.
33. Коксетер 1973, §1.8 Конфигурации.
34. Коксетер 1991, стр. 117.
35. Sullivan 1991, стр. 15, Другие свойства 120-клеточной системы.
36. Шлеймер и Сегерман 2013, с. 16, §6.1. Слои додекаэдров.
37. Coxeter 1970, стр. 19–23, § 9. 120-ячеечная и 600-ячеечная.
38. Шлеймер и Сегерман, 2013, стр. 16–18, §6.2. Кольца додекаэдров.
39. Банчофф 2013.
40. Zamboj 2021, стр. 6–12, §2 Математическое обоснование.
41. Zamboj 2021, стр. 23–29, §5 Торы Хопфа, соответствующие окружностям на B ² .
42. Денни и др. 2020, стр. 438.
43. Чилтон 1964.
44. Dechant 2021, стр. 18–20, 6. Самолет Коксетера.
45. Денни и др. 2020.

Ссылки

• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Довер.
• Коксетер, HSM (1991). Правильные комплексные многогранники (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press.
• Коксетер, Х. С. М. (1995). Шерк, Ф. Артур; МакМаллен, Питер; Томпсон, Энтони К.; Вайс, Азия Ивич (ред.). Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера (2-е изд.). Wiley-Interscience Publication. ISBN 978-0-471-01003-6.
  • (Документ 22) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Документ 23) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Coxeter, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Коксетер, Х. С. М.; Дю Валь, Патрик ; Флатер, Х. Т.; Петри, Дж. Ф. (1938). Пятьдесят девять икосаэдров . Том 6. Исследования Университета Торонто (Математическая серия).
• Коксетер, HSM (1970), «Скрученные соты», Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics , 4 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество
• Стиллвелл, Джон (январь 2001 г.). «История 120-клеточной» (PDF) . Уведомления AMS . 48 (1): 17–25.
• JH Conway и MJT Guy : Четырехмерные архимедовы многогранники , Труды коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
• NW Johnson : Теория однородных многогранников и сот , докторская диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий), Марко Мёллер, докторская диссертация 2004 г. [1] Архивировано 22.03.2005 на Wayback Machine
• Дэвис, Майкл В. (1985), «Гиперболическое 4-многообразие», Труды Американского математического общества , 93 (2): 325–328, doi :10.2307/2044771, ISSN  0002-9939, JSTOR  2044771, MR  0770546
• Denney, Tomme; Hooker, Da'Shay; Johnson, De'Janeke; Robinson, Tianna; Butler, Majid; Claiborne, Sandernishe (2020). «Геометрия многогранников H4». Advances in Geometry . 20 (3): 433–444. arXiv : 1912.06156v1 . doi : 10.1515/advgeom-2020-0005. S2CID  220367622.
• Штейнбах, Питер (1997). «Золотые поля: случай для семиугольника». Mathematics Magazine . 70 (февраль 1997 г.): 22–31. doi :10.1080/0025570X.1997.11996494. JSTOR  2691048.
• Кофер, Джессика (2019). «Суммы и произведения квадратов хорд правильных многогранников». arXiv : 1903.06971 [math.MG].
• Миядзаки, Кодзи (1990). «Первичные гипергеодезические многогранники». Международный журнал космических структур . 5 (3–4): 309–323. doi :10.1177/026635119000500312. S2CID  113846838.
• ван Иттерсум, Клара (2020). «Группы симметрии правильных многогранников в трех и четырех измерениях». TUDelft .
• Mamone, Salvatore; Pileio, Giuseppe; Levitt, Malcolm H. (2010). «Ориентационные схемы выборки на основе четырехмерных многогранников». Симметрия . 2 (3): 1423–1449. Bibcode : 2010Symm....2.1423M. doi : 10.3390/sym2031423 .
• Салливан, Джон М. (1991). «Создание и визуализация четырехмерных многогранников». Журнал Mathematica . 1 (3): 76–85.
• Waegell, Mordecai; Aravind, PK (10 сентября 2014 г.). «Доказательства четности теоремы Кохена–Шпеккера на основе 120-ячеечной модели». Foundations of Physics . 44 (10): 1085–1095. arXiv : 1309.7530v3 . Bibcode : 2014FoPh...44.1085W. doi : 10.1007/s10701-014-9830-0. S2CID  254504443.
• Zamboj, Michal (8 января 2021 г.). «Синтетическая конструкция расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». Journal of Computational Design and Engineering . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236v2 . doi : 10.1093/jcde/qwab018.
• Садок, Жан-Франсуа (2001). «Спирали и упаковки спиралей, полученные из многогранника {3,3,5}». European Physical Journal E. 5 : 575–582. doi :10.1007/s101890170040. S2CID  121229939.
• Чилтон, Б. Л. (сентябрь 1964 г.). «О проекции правильного многогранника {5,3,3} на правильный триаконтагон». Канадский математический вестник . 7 (3): 385–398. doi : 10.4153/CMB-1964-037-9 .
• Шлеймер, Сол; Сегерман, Генри (2013). «Загадка 120-клеточной модели». Notices Amer. Math. Soc . 62 (11): 1309–1316. arXiv : 1310.3549 . doi :10.1090/noti1297. S2CID  117636740.
• Banchoff, Thomas F. (2013). "Торические разложения правильных многогранников в 4-пространстве". В Senechal, Marjorie (ред.). Shaping Space . Springer New York. стр. 257–266. doi :10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8.
• Koca, Mehmet; Ozdes Koca, Nazife; Al-Barwani, Muataz (2012). "Snub 24-Cell Derived from the Coxeter-Weyl Group W(D4)". Int. J. Geom. Methods Mod. Phys . 09 (8). arXiv : 1106.3433 . doi :10.1142/S0219887812500685. S2CID  119288632.
• Koca, Mehmet; Al-Ajmi, Mudhahir; Ozdes Koca, Nazife (2011). «Кватернионное представление плосконосого 24-клеточного и его дуального многогранника, полученного из корневой системы E8». Линейная алгебра и ее приложения . 434 (4): 977–989. arXiv : 0906.2109 . doi : 10.1016/j.laa.2010.10.005 . ISSN  0024-3795. S2CID  18278359.
• Дешант, Пьер-Филипп (2021). «Спиноры Клиффорда и индукция корневой системы: H4 и Великая антипризма». Достижения в прикладной алгебре Клиффорда . 31 (3). Springer Science and Business Media. arXiv : 2103.07817 . doi : 10.1007/s00006-021-01139-2 .
• Ким, Хойна; Роте, Гюнтер (2016). «Проверка конгруэнтности множеств точек в 4 измерениях». arXiv : 1603.07269 [cs.CG].
• Перес-Грасиа, Альба; Томас, Федерико (2017). «О факторизации Кэли 4D-вращений и ее приложениях» (PDF) . Adv. Appl. Clifford Algebras . 27 : 523–538. doi :10.1007/s00006-016-0683-9. hdl : 2117/113067 . S2CID  12350382.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «120-ячеечная». MathWorld .
• Ольшевский, Джордж. "Hecatonicosachoron". Глоссарий гиперпространства . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 г.
  • Выпуклая однородная полихора на основе гекатоникосохорона (120-клеточного) и гексакосихорона (600-клеточного) - Модель 32, Георгий Ольшевский.
• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихоры) o3o3o5x - hi».
• Der 120-Zeller (120-ячеечный) Правильные многогранники Марко Мёллера в R ⁴ (немецкий)
• 120-cell explorer – Бесплатная интерактивная программа, которая позволяет вам узнать о ряде 120-клеточных симметрий. 120-клеточная проекция проецируется в 3 измерения, а затем визуализируется с помощью OpenGL.
• Построение Гипердодекаэдра
• Анимация на YouTube строительства 120-ячеечного Джан Марко Тодеско.