Пользователь:Титус III

Обновление, 07.05.2022

Идентификации I. Роджерса-Селберга Mod 7

${\displaystyle A(q)={\frac {(q^{3},q^{4},q^{7};q^{7})_{\infty }}{(q^{2};q^{2})_{\infty }}}={\frac {f(-q^{3},-q^{4})}{f(-q^{2},-q^{4})}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{7n})(1-q^{7n-3})(1-q^{7n-4})}{(1-q^{2n})}}}$

${\displaystyle B(q)={\frac {(q^{2},q^{5},q^{7};q^{7})_{\infty }}{(q^{2};q^{2})_{\infty }}}={\frac {f(-q^{2},-q^{5})}{f(-q^{2},-q^{4})}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{7n})(1-q^{7n-2})(1-q^{7n-5})}{(1-q^{2n})}}}$

${\displaystyle C(q)={\frac {(q,q^{6},q^{7};q^{7})_{\infty }}{(q^{2};q^{2})_{\infty }}}\,={\frac {f(-q,-q^{6})}{f(-q^{2},-q^{4})}}\,=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{7n})(1-q^{7n-1})(1-q^{7n-6})}{(1-q^{2n})}}}$

II. Идентификации Бейли Мод 9

${\displaystyle A(q)={\frac {(q^{4},q^{5},q^{9};q^{9})_{\infty }}{(q^{3};q^{3})_{\infty }}}={\frac {f(-q^{4},-q^{5})}{f(-q^{3},-q^{6})}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{9n})(1-q^{9n-4})(1-q^{9n-5})}{(1-q^{3n})}}}$

${\displaystyle B(q)={\frac {(q^{2},q^{7},q^{9};q^{9})_{\infty }}{(q^{3};q^{3})_{\infty }}}={\frac {f(-q^{2},-q^{7})}{f(-q^{3},-q^{6})}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{9n})(1-q^{9n-2})(1-q^{9n-7})}{(1-q^{3n})}}}$

${\displaystyle C(q)={\frac {(q,q^{8},q^{9};q^{9})_{\infty }}{(q^{3};q^{3})_{\infty }}}\,={\frac {f(-q,-q^{8})}{f(-q^{3},-q^{6})}}\,=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{9n})(1-q^{9n-1})(1-q^{9n-8})}{(1-q^{3n})}}}$

III. Идентификации Rogers Mod 14

${\displaystyle A(q)={\frac {(q^{6},q^{8},q^{14};q^{14})_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\,={\frac {f(-q^{6},-q^{8})}{f(-q,-q^{2})}}\,=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{14n})(1-q^{14n-6})(1-q^{14n-8})}{(1-q^{n})}}}$

${\displaystyle B(q)={\frac {(q^{4},q^{10},q^{14};q^{14})_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}={\frac {f(-q^{4},-q^{10})}{f(-q,-q^{2})}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{14n})(1-q^{14n-4})(1-q^{14n-10})}{(1-q^{n})}}}$

${\displaystyle C(q)={\frac {(q^{2},q^{12},q^{14};q^{14})_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}={\frac {f(-q^{2},-q^{12})}{f(-q,-q^{2})}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{14n})(1-q^{14n-2})(1-q^{14n-12})}{(1-q^{n})}}}$

IV. Идентификация Dyson Mod 27

${\displaystyle A(q)={\frac {(q^{12},q^{15},q^{27};q^{27})_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}={\frac {f(-q^{12},-q^{15})}{f(-q,-q^{2})}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{27n})(1-q^{27n-12})(1-q^{27n-15})}{(1-q^{n})}}}$

${\displaystyle B(q)={\frac {(q^{9},q^{18},q^{27};q^{27})_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}={\frac {f(-q^{9},-q^{18})}{f(-q,-q^{2})}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{27n})(1-q^{27n-9})(1-q^{27n-18})}{(1-q^{n})}}}$

${\displaystyle C(q)={\frac {(q^{6},q^{21},q^{27};q^{27})_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\,={\frac {f(-q^{6},-q^{21})}{f(-q,-q^{2})}}\,=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{27n})(1-q^{27n-6})(1-q^{27n-21})}{(1-q^{n})}}}$

${\displaystyle D(q)={\frac {(q^{3},q^{24},q^{27};q^{27})_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}\,={\frac {f(-q^{3},-q^{24})}{f(-q,-q^{2})}}\,=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{27n})(1-q^{27n-3})(1-q^{27n-24})}{(1-q^{n})}}}$

Обновление, 11/5/2012

Это похоже на обновление от 11/3/2012. Пусть,

${\displaystyle m={\frac {12}{n-1}}}$

быть положительным целым числом для некоторого нечетного числа n . Таким образом, есть только 4 возможности: . Учитывая стандартные тета-функции Рамануджана , тогда, ${\displaystyle n=3,5,7,13}$ ${\displaystyle \phi (q),\;\psi (q),\;f(-q)}$

${\displaystyle \left({\frac {\phi (-q^{2})\phi (-q^{6n})}{\phi (-q^{6})\phi (-q^{2n})}}\right)^{m}\,+\,q^{3}\left({\frac {\psi (q)\psi (q^{3n})}{\psi (q^{3})\psi (q^{n})}}\right)^{m}-\,q^{3}\left({\frac {\psi (-q)\psi (-q^{3n})}{\psi (-q^{3})\psi (-q^{n})}}\right)^{m}-\,2mq^{2}\left({\frac {f(-q^{2})f(-q^{6n})}{f(-q^{6})f(-q^{2n})}}\right)^{m}=1}$

Например, для n = 5, следовательно, m = 3, имеем,

${\displaystyle \left({\frac {\phi (-q^{2})\phi (-q^{30})}{\phi (-q^{6})\phi (-q^{10})}}\right)^{3}\,+\,q^{3}\left({\frac {\psi (q)\psi (q^{15})}{\psi (q^{3})\psi (q^{5})}}\right)^{3}-\,q^{3}\left({\frac {\psi (-q)\psi (-q^{15})}{\psi (-q^{3})\psi (-q^{5})}}\right)^{3}-\,6q^{2}\left({\frac {f(-q^{2})f(-q^{30})}{f(-q^{6})f(-q^{10})}}\right)^{3}=1}$

и так далее для остальных трех n .

--------------КОНЕЦ--------------

Обновление, 11/4/2012

Определять,

${\displaystyle h_{k}=(-1)^{k-1}q^{k(3k-25)/50}\,{\frac {f(-q^{2k},-q^{25-2k})}{f(-q^{k},-q^{25-k})}},\;\;{\text{for}}\;k=1,...,12.}$

(Заметим, как обычно, что четные индексы h_k имеют отрицательный знак.) Оказывается, что соответствующие пары h_k являются корнями многочлена, коэффициенты которого находятся в , аналогично случаю для n = 13, открытому Рамануджаном. Поскольку одна пара является константой, , то оставшиеся пять являются корнями квинтики ( что вполне естественно), заданной как, ${\displaystyle j={\frac {\eta (\tau )}{\eta (25\tau )}}}$ ${\displaystyle h_{5}h_{10}=-1}$

${\displaystyle 1+(10+10j+4j^{2}+j^{3})x+(5+15j+11j^{2}+5j^{3}+j^{4})x^{2}-2(5+5j+3j^{2}+j^{3})x^{3}+j^{2}x^{4}+x^{5}=0}$

с j как эта-частное, указанное выше. Корни тогда,

${\displaystyle [x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5}]=[h_{1}h_{7},\,h_{2}h_{11},\,h_{3}h_{4},\,h_{6}h_{8},\,h_{9}h_{12}]}$

( Примечание : Квинтика кажется мне смутно знакомой, кажется, я уже сталкивался с ней или с чем-то похожим в ходе моего исследования цепной дроби Роджерса-Рамануджана, но я не могу точно вспомнить, в каком контексте.)

Обновление 28 апреля 2022 г .: Спустя почти 10 лет я наконец-то нашла ответ на свою "заметку". Это просто EMMA LEHMER QUINTIC !

--------------КОНЕЦ--------------

Обновление, 11/3/2012

Вот обобщение одного тождества, описанного Берндтом как «...увлекательное, но не имеющее прямого доказательства» ( Ramanujan's Notebooks III , стр. 322). Пусть,

${\displaystyle k={\frac {24}{n-1}}}$

быть положительным целым числом для некоторого нечетного числа n . Конечно, есть только 6 возможностей: . Учитывая стандартные тета-функции Рамануджана , то предполагается, что, ${\displaystyle n=3,5,7,9,13,25}$ ${\displaystyle \phi (q),\;\psi (q),\;f(-q)}$

${\displaystyle {\frac {\phi ^{k}(-q^{2n})}{\phi ^{k}(-q^{2})}}+q^{3}\left({\frac {\psi ^{k}(q^{n})}{\psi ^{k}(q)}}-{\frac {\psi ^{k}(-q^{n})}{\psi ^{k}(-q)}}\right)-2kq^{2}\left({\frac {f^{k}(-q^{2n})}{f^{k}(-q^{2})}}\right)=1}$

и, как предложил Майкл Сомос, используя инволюцию Фрике ,

${\displaystyle {\frac {\phi ^{k}(-q^{2})}{\phi ^{k}(-q^{2n})}}+{\frac {1}{q^{3}}}\left({\frac {\psi ^{k}(q)}{\psi ^{k}(q^{n})}}-{\frac {\psi ^{k}(-q)}{\psi ^{k}(-q^{n})}}\right)-{\frac {2k}{q^{2}}}\left({\frac {f^{k}(-q^{2})}{f^{k}(-q^{2n})}}\right)=n^{k/2}}$

Таким образом, для n = 3 имеем:

${\displaystyle {\frac {\phi ^{12}(-q^{6})}{\phi ^{12}(-q^{2})}}+q^{3}\left({\frac {\psi ^{12}(q^{3})}{\psi ^{12}(q)}}-{\frac {\psi ^{12}(-q^{3})}{\psi ^{12}(-q)}}\right)-24q^{2}\left({\frac {f^{12}(-q^{6})}{f^{12}(-q^{2})}}\right)=1}$

и,

${\displaystyle {\frac {\phi ^{12}(-q^{2})}{\phi ^{12}(-q^{6})}}+{\frac {1}{q^{3}}}\left({\frac {\psi ^{12}(q)}{\psi ^{12}(q^{3})}}-{\frac {\psi ^{12}(-q)}{\psi ^{12}(-q^{3})}}\right)-{\frac {24}{q^{2}}}\left({\frac {f^{12}(-q^{2})}{f^{12}(-q^{6})}}\right)=3^{6}}$

и так далее для остальных пяти n , со случаем n = 7, приведенным на странице 322, который послужил вдохновением для этого обобщения. У меня нет строгого доказательства для этого "семейства", но с помощью Mathematica можно легко увидеть , что предлагаемое равенство действительно справедливо для сотен десятичных знаков.

--------------КОНЕЦ--------------

Обновление, 11/2/2012

Похоже, Рамануджан упустил некоторые аспекты тета-коэффициентов при p = 13.

I. Случай p = 7

Для иллюстрации определим частные для p = 7 как:

${\displaystyle h_{k}=(-1)^{k-1}q^{k(3k-7)/14}\,{\frac {f(-q^{2k},-q^{7-2k})}{f(-q^{k},-q^{7-k})}}}$

следовательно,

${\displaystyle h_{1}={\frac {f(-q^{2},-q^{5})}{q^{2/7}f(-q,-q^{6})}}={\frac {1}{q^{2/7}}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{7n-2})(1-q^{7n-5})}{(1-q^{7n-1})(1-q^{7n-6})}}}$

${\displaystyle h_{2}={\frac {-f(-q^{3},-q^{4})}{q^{1/7}f(-q^{2},-q^{5})}}={\frac {-1}{q^{1/7}}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{7n-3})(1-q^{7n-4})}{(1-q^{7n-2})(1-q^{7n-5})}}}$

${\displaystyle h_{3}={\frac {q^{3/7}f(-q,-q^{6})}{f(-q^{3},-q^{4})}}={\frac {1}{q^{-3/7}}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{7n-1})(1-q^{7n-6})}{(1-q^{7n-3})(1-q^{7n-4})}}}$

функции, весьма аналогичные цепной дроби Роджерса–Рамануджана . (Обратите внимание , что индекс четности отрицателен .) Учитывая функцию Дедекинда эта , пусть, ${\displaystyle h_{k}}$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$

${\displaystyle c=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (7\tau )}}\right)^{4}}$

затем Рамануджан обнаружил, что 3 корня кубического уравнения,

${\displaystyle x^{3}-(57+14c+c^{2})x^{2}-(289+126c+19c^{2}+c^{3})x+1=0}$

являются,

${\displaystyle x_{1}={h_{1}}^{7},\;\;x_{2}={h_{2}}^{7},\;\;x_{3}={h_{3}}^{7}}$

Обратите внимание также на другое применение коэффициента эта : ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&j(\tau )={\frac {(y^{2}+5y+1)^{3}(y^{2}+13y+49)}{y}}\\&j(\tau )-1728={\frac {(y^{4}+14y^{3}+63y^{2}+70y-7)^{2}}{y}}\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle y={\frac {7^{2}}{c}}.}$

II. Случай p = 13

Оказывается, что при p = 13 13-я степень аналогичных тета-частных представляет собой 6 корней секстики .

Определять,

${\displaystyle h_{k}=(-1)^{k-1}q^{k(-13+3k)/26}\,{\frac {f(-q^{2k},-q^{13-2k})}{f(-q^{k},-q^{13-k})}}}$

следовательно,

${\displaystyle h_{1}={\frac {f(-q^{2},-q^{11})}{q^{5/13}f(-q,-q^{12})}},\;\;h_{2}={\frac {-f(-q^{4},-q^{9})}{q^{7/13}f(-q^{2},-q^{11})}},\;\;h_{3}={\frac {f(-q^{6},-q^{7})}{q^{6/13}f(-q^{3},-q^{10})}}}$

${\displaystyle h_{4}={\frac {-f(-q^{5},-q^{8})}{q^{2/13}f(-q^{4},-q^{9})}},\;\;h_{5}={\frac {q^{5/13}f(-q^{3},-q^{10})}{f(-q^{5},-q^{8})}},\;\;h_{6}={\frac {-q^{15/13}f(-q,-q^{12})}{f(-q^{6},-q^{7})}}}$

(Как и прежде, четные индексы отрицательны .) Пусть , ${\displaystyle h_{k}}$

${\displaystyle d=\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (13\tau )}}\right)^{2}}$

Рамануджан открыл, что 3 корня кубического уравнения,

${\displaystyle d={\frac {y^{3}+y^{2}-4y+1}{y(1-y)}}}$

являются,

${\displaystyle y_{1}=h_{1}h_{5},\;\;y_{2}=h_{2}h_{3},\;\;y_{3}=h_{4}h_{6}}$

Примечание: Кстати, — известное уравнение для и подобных корней. ${\displaystyle y^{3}+y^{2}-4y+1=0}$ ${\displaystyle y=2\cos(2\pi /13)+2\cos(10\pi /13)}$

Однако если можно найти модульное уравнение между, скажем, , то мы можем исключить , и иметь уравнение только относительно и . После некоторых усилий с использованием алгоритма целочисленных отношений Mathematica я обнаружил, что, пусть, ${\displaystyle h_{1},h_{5}}$ ${\displaystyle h_{5}}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle u=h_{1},\,v=h_{5},\,x=h_{1}h_{5}}$

затем,

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}v^{2}(uv-1)^{5}(u^{13}+v^{13})&=1-7x+19x^{2}-27x^{3}+35x^{4}-68x^{5}+100x^{6}-84x^{7}\\&+69x^{8}-86x^{9}+70x^{10}-29x^{11}+11x^{12}-4x^{13}+x^{14}\end{aligned}}}$

(Такое же отношение существует и между другими парами.) Исключая , получаем секстику в , ${\displaystyle h_{5}}$ ${\displaystyle z=h_{1}^{13}}$

${\displaystyle z^{6}+P_{1}z^{5}+P_{2}z^{4}+P_{3}z^{3}+P_{4}z^{2}+P_{5}z-1=0}$

где — полиномы в эта-частном степеней 7, 13, 18, 20, 15 соответственно. Явно, первый из них — это ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&=-(h_{1}^{13}+h_{2}^{13}+h_{3}^{13}+h_{4}^{13}+h_{5}^{13}+h_{6}^{13})\\&=d^{7}+13d^{6}+91d^{5}+377d^{4}+962d^{3}+1040d^{2}-845d-4083\end{aligned}}}$

хотя остальные слишком утомительны для записи. Тогда можно убедиться, что 6 корней секстики на самом деле . ${\displaystyle z_{i}=h_{i}^{13}}$

(P.S. Я не вижу ни этой секстики, ни модулярной связи между в «Записных книжках» Рамануджана III , запись 8, страница 372, где обсуждаются тета-частные для p = 13. Но я нахожу удовлетворительным, что результаты для p = 7 можно распространить на следующее «лакунарное» простое число p = 13.) ${\displaystyle h_{i}}$

----------- Конец -----------

Обновление, 23.09.2012

В тетради Рамануджана IV (записи 51-72, стр. 207-237) есть 23 модулярных уравнения Рамануджана PQ . Однако, похоже, он пропустил простые порядки p = 11,13. Поскольку эта-функция Дедекинда равна , для удобства я буду использовать вместо этого. ${\displaystyle \eta (\tau )=q^{1/24}f(-q)}$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$

И. п = 2

Для сравнения Рамануджан нашел модульные соотношения между и для n = 3, 5, 7, 9, 13, 25. Например, он нашел, ${\displaystyle P'={\tfrac {f(-q)}{f(-q^{n})}}}$ ${\displaystyle Q'={\tfrac {f(-q^{2})}{f(-q^{2n})}}}$

1. Определим , тогда, ${\displaystyle P={\tfrac {\eta (t)}{\eta (13t)}},\;Q={\tfrac {\eta (2t)}{\eta (26t)}},\;V_{k}={\big (}{\tfrac {Q}{P}}{\big )}^{k}+{\big (}{\tfrac {P}{Q}}{\big )}^{k}}$

${\displaystyle PQ+{\tfrac {13}{PQ}}=V_{3}-4V_{1}}$

II. р = 11

Но существуют также соотношения между и для n = 2, 3 (и 5, 7, 13?) с первыми двумя как, ${\displaystyle P'={\tfrac {f(-q)}{f(-q^{n})}}}$ ${\displaystyle Q'={\tfrac {f(-q^{11})}{f(-q^{11n})}}}$

1. Определим , тогда, ${\displaystyle P={\tfrac {\eta (t)}{\eta (2t)}},\;Q={\tfrac {\eta (11t)}{\eta (22t)}},\;R_{k}=(PQ)^{k}+({\tfrac {2}{PQ}})^{k}}$

${\displaystyle R_{5}+11R_{3}+44R_{1}={\big (}{\tfrac {Q}{P}}{\big )}^{6}-{\big (}{\tfrac {P}{Q}}{\big )}^{6}}$

2. Определим , тогда, ${\displaystyle P={\tfrac {\eta (t)}{\eta (3t)}},\;Q={\tfrac {\eta (11t)}{\eta (33t)}},\;S_{k}=(PQ)^{k}+({\tfrac {3}{PQ}})^{k}}$

${\displaystyle S_{5}+11(S_{4}+6S_{3}+23S_{2}+63S_{1}+126)={\big (}{\tfrac {Q}{P}}{\big )}^{6}+{\big (}{\tfrac {P}{Q}}{\big )}^{6}}$

3. Для сравнения определим , тогда, ${\displaystyle P={\tfrac {\eta (t)}{\eta (33t)}},\;Q={\tfrac {\eta (3t)}{\eta (11t)}},\;T_{k}=({\tfrac {P}{Q}})^{k}-({\tfrac {3Q}{P}})^{k}}$

${\displaystyle T_{5}+2T_{4}+3T_{3}-8T_{2}+9T_{1}=(PQ)^{3}-({\tfrac {11}{PQ}})^{3}}$

Номер 3 соответствует уровню 33 личности Сомоса.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

III. р = 13

Аналогично существуют модульные соотношения между и для n = 2, 3, 5, 7, причем первые два из них следующие: ${\displaystyle P'={\tfrac {f(-q)}{f(-q^{n})}}}$ ${\displaystyle Q'={\tfrac {f(-q^{13})}{f(-q^{13n})}}}$

1. Определим , тогда, ${\displaystyle P={\tfrac {\eta (t)}{\eta (2t)}},\;Q={\tfrac {\eta (13t)}{\eta (26t)}},\;U_{k}={\big (}{\tfrac {Q}{P}}{\big )}^{k}-{\big (}{\tfrac {P}{Q}}{\big )}^{k}}$

${\displaystyle U_{7}-13U_{5}+52U_{3}-78U_{1}=(PQ)^{6}+{\big (}{\tfrac {2}{PQ}})^{6}}$

2. Определим , тогда, ${\displaystyle P={\tfrac {\eta (t)}{\eta (3t)}},\;Q={\tfrac {\eta (13t)}{\eta (39t)}},\;V_{k}={\big (}{\tfrac {Q}{P}}{\big )}^{k}+{\big (}{\tfrac {P}{Q}}{\big )}^{k}}$

${\displaystyle V_{7}+13(-V_{6}+4V_{5}-2V_{4}-19V_{3}+28V_{2}+17V_{1}-50)=(PQ)^{6}+{\big (}{\tfrac {3}{PQ}})^{6}}$

Я не знаю, существует ли тождество p = 17, подобное приведенным выше.

--------------КОНЕЦ--------------

Обновление, 16.09.2012

Дана эта-функция Дедекинда . Пусть p — простое число и определим , ${\displaystyle \eta (\tau )}$ ${\displaystyle m=(p-1)/2}$

1. Пусть p — простое число вида . Тогда для : ${\displaystyle p=12v+5}$ ${\displaystyle n=2,4,8,14}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{p-1}{\Big (}e^{\pi imk/12}\eta {\big (}{\tfrac {\tau +mk}{p}}{\big )}{\Big )}^{n}=-{\big (}{\sqrt {p}}\,\eta (p\tau ){\big )}^{n}}$

2. Пусть p — простое число вида . Тогда для : ${\displaystyle p=12v+11}$ ${\displaystyle n=2,6,10,14}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{p-1}{\Big (}e^{\pi imk/12}\eta {\big (}{\tfrac {\tau +mk}{p}}{\big )}{\Big )}^{n}={\big (}{\sqrt {p}}\,\eta (p\tau ){\big )}^{n}}$

Верны ли эти две многоуровневые идентичности?

--------------КОНЕЦ--------------

Обновление, 9/11/2012

В работе «Тождество для эта-функции Дедекинда, включающей две независимые комплексные переменные» , для двух комплексных чисел с мнимой частью > 0 Берндт и Харт вывели тождество: ${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle \eta ^{3}{\big (}{\tfrac {a}{3}}{\big )}\eta ^{3}{\big (}{\tfrac {b}{3}}{\big )}+i\eta ^{3}{\big (}{\tfrac {a+1}{3}}{\big )}\eta ^{3}{\big (}{\tfrac {b+1}{3}}{\big )}-\eta ^{3}{\big (}{\tfrac {a+2}{3}}{\big )}\eta ^{3}{\big (}{\tfrac {b+2}{3}}{\big )}=3^{3}\eta ^{3}(3a)\eta ^{3}(3b)}$

и заметили, что они "...не знают других примеров подобного типа". Однако, похоже, что вышеприведенное является лишь наименьшим членом бесконечного семейства кубов эта-функции Дедекинда,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{p-1}e^{2\pi ik/4}\eta ^{3}{\big (}{\tfrac {a+k}{p}}{\big )}\eta ^{3}{\big (}{\tfrac {b+k}{p}}{\big )}=p^{3}\eta ^{3}(pa)\eta ^{3}(pb)}$

где p — ЛЮБОЕ ПРОСТОЕ ЧИСЛО вида , с тождеством Харта-Берндта просто в случае . Легко проверить семейство с помощью Mathematica и увидеть, что оно справедливо для сотен десятичных цифр, но у меня нет доказательств, что это в общем случае верно. ${\displaystyle p=4n-1}$ ${\displaystyle p=3}$

--------------КОНЕЦ--------------

Обновление, 4/10/2009

Гипотеза 1. Основано на работе Саймона Плуффа о числе Пи . ^[1] (10 апреля 2009 г.)

Пусть q = e π и k имеет вид 4m + 3. Тогда верно, что

${\displaystyle {\Big (}{\frac {a}{b}}{\Big )}\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}{\Big (}{\frac {2^{k-1}}{q^{n}-1}}-{\frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}{\Big )}}$

где a,b — целые числа. (Знаменатель b оказывается числом, легко поддающимся разложению.)

Для первых нескольких k имеем:

и т. д. Кто-нибудь знает, как доказать эту гипотезу?

ОБНОВЛЕНИЕ (18 мая 2009 г.)

Оказывается, существует замкнутая формула для (a/b). Она основана на теореме 6.7 (стр. 11) из книги Линаса Вепстаса « О тождествах Рамануджана Плуффа» . ^[2]

Пусть q = e π и k = 4m-1 (обратите внимание на это незначительное изменение), тогда

${\displaystyle r\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}{\Big (}{\frac {2^{k-1}}{q^{n}-1}}-{\frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}{\Big )}}$

Где r — рациональное число, определяемое формулой,

${\displaystyle r=2^{4m-5}\sum _{j=0}^{2m}{\frac {(-1)^{j}(16^{m}+4-4^{j+1})B[2j]B[4m-2j]}{(2j)!(4m-2j)!}}}$

и B[w] — число Бернулли .

Гипотеза 2. По-прежнему основана на работе Плуффа о числе пи, но теперь включает степени k = 4m+1 . (19 мая 2009 г.)

Пусть q = e π и k имеет вид 4m+1 . Тогда верно, что,

${\displaystyle r\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}{\Big (}{\frac {2^{6m+1}+(-16)^{m}}{q^{n}-1}}-{\frac {2^{6m+1}+(-16)^{m}+(-1)^{m}}{q^{2n}-1}}+{\frac {(-1)^{m}}{q^{4n}-1}}{\Big )}}$

где r — рациональное число.

Для первых нескольких k = {1,5,9,13,...} имеем:

г = {1/24, 1/63, 164/13365, 76192/9823275,...}

и т. д. Существует ли замкнутая формула для r, когда k = 4m+1?

Ссылки :

1. Плуфф, Саймон . "Идентичности, вдохновленные записными книжками Рамануджана (часть 2)" (PDF) . Получено 10.04.2009 . {{cite web}}: Проверьте значения даты в: |accessdate=( помощь )
2. Вепстас, Линас. "О тождествах Рамануджана Плуффа" (PDF) . Получено 18.05.2009 . {{cite web}}: Проверьте значения даты в: |accessdate=( помощь )