Трилинейные координаты

В геометрии трилинейные координаты $x : y : z$ точки относительно данного треугольника описывают относительные направленные расстояния от трех сторон треугольника. Трилинейные координаты являются примером однородных координат . Отношение $x : y$ представляет собой отношение перпендикулярных расстояний из точки до сторон (продолженных при необходимости) напротив вершин $A$ и $B$ соответственно; отношение $y : z$ представляет собой отношение перпендикулярных расстояний из точки до сторон напротив вершин B $и$ C $соответственно$ ; и аналогично для $z : x$ и вершин $C$ и $A.$

На диаграмме справа трилинейные координаты указанной внутренней точки являются фактическими расстояниями ( $a'$ , $b'$ , $c'$ ), или, что эквивалентно, в форме отношения $ka' : kb' : kc'$ для любой положительной константы $k$ . Если точка находится на боковой линии опорного треугольника, ее соответствующая трилинейная координата равна 0. Если внешняя точка находится на противоположной стороне боковой линии от внутренней части треугольника, ее трилинейная координата, связанная с этой боковой линией, отрицательна. Невозможно, чтобы все три трилинейные координаты были неположительными.

Обозначение

Запись отношения для трилинейных координат часто используется вместо упорядоченной тройной записи , которая зарезервирована для троек направленных расстояний относительно определенного треугольника. Трилинейные координаты можно масштабировать на любое произвольное значение, не влияя на их отношение. Заключенная в скобки, разделенная запятыми тройная запись может вызвать путаницу, поскольку традиционно она представляет другую тройку, чем eg , но эти эквивалентные отношения представляют одну и ту же точку. $x:y:z$ $(x,y,z),$ $(a',b',c')$ $x:y:z,$ $(x,y,z)$ $(2x,2y,2z),$ $x:y:z={}\!$ $2x:2y:2z$

Примеры

Трилинейные координаты инцентра треугольника △ $ABC равны$ 1 $: 1 : 1$ ; то есть (направленные) расстояния от инцентра до боковых линий $BC, CA, AB$ пропорциональны фактическим расстояниям, обозначенным как $(r, r, r)$ , где $r$ — радиус вписанной окружности $△ ABC$ . При заданных длинах сторон $a, b, c$ имеем:

Обратите внимание, что в общем случае инцентр не совпадает с центроидом ; центроид имеет барицентрические координаты $1 : 1 : 1$ (они пропорциональны фактическим площадям треугольников $△ BGC, △ CGA, △ AGB$ , где $G$ = центроид).

Например, середина стороны $BC$ имеет трилинейные координаты в фактических расстояниях сторон для площади треугольника $Δ$ , которые в произвольно указанных относительных расстояниях упрощаются до $0 :$ $ca$ $:$ $ab$ . Координаты в фактических расстояниях сторон основания высоты от $A$ до $BC$ равны , которые в чисто относительных расстояниях упрощаются до $0 : cos$ $C$ $: cos$ $B$ . ^[1]^{: стр. 96} $(0,{\tfrac {\Delta }{b}},{\tfrac {\Delta }{c}})$ $(0,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos C,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos B),$

Формулы

Коллинеарности и параллелизмы

Трилинейные координаты позволяют использовать множество алгебраических методов в геометрии треугольника. Например, три точки

{\begin{aligned}P&=p:q:r\\U&=u:v:w\\X&=x:y:z\\\end{aligned}}

коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель

D={\begin{vmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{vmatrix}}

равно нулю. Таким образом, если $x : y : z$ — переменная точка, то уравнение прямой, проходящей через точки $P$ и $U,$ равно $D = 0$ . ^[1]^{: стр. 23} Отсюда, каждая прямая линия имеет линейное уравнение, однородное относительно $x, y, z$ . Каждое уравнение вида в действительных коэффициентах является действительной прямой линией конечных точек, если только $l$ $:$ $m$ $:$ $n$ не пропорционально $a$ $:$ $b$ $:$ $c$ , длинам сторон, в этом случае мы имеем геометрическое место точек на бесконечности. ^[1]^{: стр. 40} $lx+my+nz=0$

Двойственность этого предложения заключается в том, что линии

{\begin{aligned}p\alpha +q\beta +r\gamma &=0\\u\alpha +v\beta +w\gamma &=0\\x\alpha +y\beta +z\gamma &=0\end{aligned}}

совпадают в точке $(α, β, γ)$ тогда и только тогда, когда D $= 0.$ ^[1]^{: стр. 28}

Кроме того, если при оценке определителя $D$ используются фактические направленные расстояния , то площадь треугольника $△ PUX$ равна $KD$ , где (и где $Δ$ — площадь треугольника $△$ $ABC$ , как и выше), если треугольник $△$ $PUX$ имеет ту же ориентацию (по часовой стрелке или против часовой стрелки), что и $△$ $ABC$ , и в противном случае. $K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}$ $K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}$

Параллельные линии

Две прямые с трилинейными уравнениями параллельны тогда и только тогда, когда ^[1]^{: стр. 98, #xi} $lx+my+nz=0$ $l'x+m'y+n'z=0$

{\begin{vmatrix}l&m&n\\l'&m'&n'\\a&b&c\end{vmatrix}}=0,

где $a, b, c$ — длины сторон.

Угол между двумя линиями

Тангенсы углов между двумя прямыми с трилинейными уравнениями и определяются по формуле ^[1]^{: стр.50} $lx+my+nz=0$ $l'x+m'y+n'z=0$

\pm {\frac {(mn'-m'n)\sin A+(nl'-n'l)\sin B+(lm'-l'm)\sin C}{ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C}}.

Перпендикулярные линии

Таким образом, две прямые с трилинейными уравнениями перпендикулярны тогда и только тогда, когда $lx+my+nz=0$ $l'x+m'y+n'z=0$

ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C=0.

Высота

Уравнение высоты из вершины $A$ к стороне $BC$ имеет вид ^[1]^{: стр.98, #x}

y\cos B-z\cos C=0.

Линия в терминах расстояний от вершин

Уравнение прямой с переменными расстояниями $p, q, r$ от вершин $A, B, C,$ противоположные стороны которой $a, b, c,$ имеет вид ^[1]^{: стр. 97, #viii}

apx+bqy+crz=0.

Трилинейные координаты фактического расстояния

Трилинейки со значениями координат $a', b', c',$ являющимися фактическими перпендикулярными расстояниями до сторон, удовлетворяют ^[1]^{: стр. 11}

aa'+bb'+cc'=2\Delta

для сторон треугольника $a, b, c$ и площади $Δ$ . Это можно увидеть на рисунке в верхней части этой статьи, с внутренней точкой $P,$ разделяющей треугольник $△ ABC$ на три треугольника $△ PBC, △ PCA, △ PAB$ с соответствующими площадями ${\tfrac {1}{2}}aa',{\tfrac {1}{2}}bb',{\tfrac {1}{2}}cc'.$

Расстояние между двумя точками

Расстояние $d$ между двумя точками с фактическими расстояниями трилинейных линий $a i : b i : c i$ определяется по формуле ^[1]^{: стр. 46.}

d^{2}\sin ^{2}C=(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}+2(a_{1}-a_{2})(b_{1}-b_{2})\cos C

или более симметричным образом

d^{2}={\frac {abc}{4\Delta ^{2}}}\left(a(b_{1}-b_{2})(c_{2}-c_{1})+b(c_{1}-c_{2})(a_{2}-a_{1})+c(a_{1}-a_{2})(b_{2}-b_{1})\right).

Расстояние от точки до линии

Расстояние $d$ от точки $a' : b' : c'$ в трилинейных координатах фактических расстояний до прямой линии равно ^[1]^{: стр. 48} $lx+my+nz=0$

d={\frac {la'+mb'+nc'}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}-2mn\cos A-2nl\cos B-2lm\cos C}}}.

Квадратичные кривые

Уравнение конического сечения в переменной трилинейной точке $x : y : z$ имеет вид ^[1]^{: стр.118}

rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.

В нем нет линейных членов и постоянного члена.

Уравнение окружности радиуса $r$ с центром в координатах фактического расстояния $(a', b', c')$ имеет вид ^[1]^{: стр.287}

(x-a')^{2}\sin 2A+(y-b')^{2}\sin 2B+(z-c')^{2}\sin 2C=2r^{2}\sin A\sin B\sin C.

Циркумконики

Уравнение в трилинейных координатах $x, y, z$ любой описанной коники треугольника имеет вид ^[1]^{: стр. 192}

lyz+mzx+nxy=0.

Если параметры $l, m, n$ соответственно равны длинам сторон $a, b, c$ (или синусам противолежащих им углов), то уравнение дает описанную окружность . ^[1]^{: стр. 199}

Каждая отдельная окружность имеет свой центр, уникальный для себя. Уравнение окружности в трилинейных координатах с центром $x' : y' : z'$ имеет вид ^[1]^{: стр. 203}

yz(x'-y'-z')+zx(y'-z'-x')+xy(z'-x'-y')=0.

Инконики

Всякое коническое сечение, вписанное в треугольник, имеет уравнение в трилинейных координатах: ^[1]^{: стр. 208}

l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}\pm 2mnyz\pm 2nlzx\pm 2lmxy=0,

причем ровно один или три из неуказанных признаков являются отрицательными.

Уравнение вписанной окружности можно упростить до ^[1]^{: стр. 210, стр.214}

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0,

в то время как уравнение, например, для вневписанной окружности, примыкающей к боковому отрезку, противоположному вершине $A,$ можно записать как ^[1]^{: стр. 215}

\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0.

Кубические кривые

Многие кубические кривые легко представляются с помощью трилинейных координат. Например, стержневая самоизосопряженная кубическая $Z (U, P)$ как геометрическое место точки $X$ , такой что $P$ -изосопряженная $X$ находится на прямой $UX,$ задается детерминантным уравнением

{\begin{vmatrix}x&y&z\\qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{vmatrix}}=0.

Среди именованных кубик $Z (U, P)$ имеются следующие:

Кубик Томсона : ⁠ ⁠

Z(X(2),X(1))

, где ⁠ ⁠

X(2)

— центроид , а ⁠ ⁠ $X(1)$ — инцентр

Кубик Фейербаха : ⁠ ⁠

Z(X(5),X(1))

, где ⁠ ⁠

X(5)

— точка Фейербаха

Кубик Дарбу : ⁠ ⁠

Z(X(20),X(1))

, где ⁠ ⁠

X(20)

— точка Де Лоншана

Кубик Нойберга : ⁠ ⁠

Z(X(30),X(1))

, где ⁠ ⁠

X(30)

— точка бесконечности Эйлера .

Конверсии

Между трилинейными координатами и расстояниями от боковых линий

Для любого выбора трилинейных координат $x : y : z$ для определения местоположения точки фактические расстояния точки от боковых линий определяются как $a' = kx, b' = ky, c' = kz ,$ где $k$ можно определить по формуле, в которой $a, b, c$ — соответствующие длины сторон $BC, CA, AB$ , а $∆$ — площадь $△$ $ABC$ . $k={\tfrac {2\Delta }{ax+by+cz}}$

Между барицентрическими и трилинейными координатами

Точка с трилинейными координатами $x : y : z$ имеет барицентрические координаты $ax : by : cz$ , где $a, b, c$ — длины сторон треугольника. Наоборот, точка с барицентрическими координатами $α : β : γ$ имеет трилинейные координаты ${\tfrac {\alpha }{a}}:{\tfrac {\beta }{b}}:{\tfrac {\gamma }{c}}.$

Между декартовыми и трилинейными координатами

Для заданного опорного треугольника $△ ABC$ выразите положение вершины $B$ в терминах упорядоченной пары декартовых координат и представьте это алгебраически как вектор ⁠ ⁠, ${\vec {B}},$ используя вершину $C$ в качестве начала координат. Аналогично определим вектор положения вершины $A$ как ⁠ ⁠ ${\vec {A}}.$ Тогда любая точка $P,$ связанная с опорным треугольником $△ ABC,$ может быть определена в декартовой системе как вектор Если эта точка $P$ имеет трилинейные координаты $x$ $:$ $y$ $:$ $z$ , то формула преобразования коэффициентов $k$ $1$ и $k$ $2$ в декартовом представлении в трилинейные координаты имеет вид для длин сторон $a, b, c$ противоположных вершин $A, B, C$ , ${\vec {P}}=k_{1}{\vec {A}}+k_{2}{\vec {B}}.$

x:y:z={\frac {k_{1}}{a}}:{\frac {k_{2}}{b}}:{\frac {1-k_{1}-k_{2}}{c}},

а формула преобразования из трилинейных координат в коэффициенты в декартовом представлении имеет вид

k_{1}={\frac {ax}{ax+by+cz}},\quad k_{2}={\frac {by}{ax+by+cz}}.

В более общем случае, если выбрано произвольное начало координат, где декартовы координаты вершин известны и представлены векторами ⁠ ⁠ ${\vec {A}},{\vec {B}},{\vec {C}}$ и если точка $P$ имеет трилинейные координаты $x : y : z$ , то декартовы координаты ⁠ ⁠ ${\vec {P}}$ являются взвешенным средним декартовых координат этих вершин с использованием барицентрических координат $ax, by, cz$ в качестве весов. Следовательно, формула преобразования из трилинейных координат $x, y, z$ в вектор декартовых координат ⁠ ⁠ ${\vec {P}}$ точки задается как

{\vec {P}}={\frac {ax}{ax+by+cz}}{\vec {A}}+{\frac {by}{ax+by+cz}}{\vec {B}}+{\frac {cz}{ax+by+cz}}{\vec {C}},

где длины сторон равны

{\begin{aligned}&|{\vec {C}}-{\vec {B}}|=a,\\&|{\vec {A}}-{\vec {C}}|=b,\\&|{\vec {B}}-{\vec {A}}|=c.\end{aligned}}

Смотрите также

Теорема Морли о трисекторах#Треугольники Морли , дающие примеры многочисленных точек, выраженных в трилинейных координатах
Тройной участок
Теорема Вивиани

Ссылки

^ abcdefghijklmnopqrs Уильям Аллен Уитворт (1866) Трилинейные координаты и другие методы аналитической геометрии двух измерений: элементарный трактат, ссылка из исторических математических монографий Корнелльского университета .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Трилинейные координаты». MathWorld .
Энциклопедия центров треугольников (ETC) Кларка Кимберлинга; содержит трилинейные координаты (и барицентрические) для 64000 центров треугольников.