Модель Эрроу – Дебре

Экономическая модель

В математической экономике модель Эрроу -Дебре представляет собой теоретическую модель общего равновесия . Он утверждает, что при определенных экономических предположениях ( выпуклость предпочтений , совершенная конкуренция и независимость спроса) должен существовать такой набор цен, при котором совокупное предложение будет равняться совокупному спросу на каждый товар в экономике. ^[1]

Эта модель занимает центральное место в теории общего (экономического) равновесия и часто используется в качестве общего справочника для других микроэкономических моделей. Он был предложен Кеннетом Эрроу , Жераром Дебре в 1954 году ^[1] и Лайонелом В. Маккензи независимо в 1954 году ^[2] с последующими улучшениями в 1959 году. ^{[3] [4]}

Модель AD является одной из наиболее общих моделей конкурентной экономики и важной частью теории общего равновесия , поскольку ее можно использовать для доказательства существования общего равновесия (или вальрасовского равновесия ) в экономике. В целом равновесий может быть много.

Эрроу (1972) и Дебре (1983) были отдельно удостоены Нобелевской премии по экономике за разработку модели. Маккензи, однако, не был награжден. ^[5]

Официальное заявление

Содержание обеих теорем [фундаментальных теорем экономики благосостояния] — это старые убеждения в экономике. Эрроу и Дебре недавно подошли к этому вопросу с помощью методов, допускающих доказательства.

-  Жерар Дебре, Равновесие оценки и оптимум Парето (1954).

Это утверждение совершенно верно; когда-то были убеждения, теперь были знания. Но на карту было поставлено нечто большее. Великие ученые меняют наше представление о мире, о том, кто мы такие. Модель Эрроу-Дебре, изложенная в «Теории стоимости», изменила базовое мышление и быстро стала стандартной моделью теории цен. Это «эталонная» модель в финансах, международной торговле, государственных финансах, транспорте и даже макроэкономике... Довольно быстро она уже не была «такой, какая она есть» у Маршалла, Хикса и Самуэльсона; скорее, в Теории ценности оно стало «таким, какое оно есть».

-  Хьюго Зонненшайн, выступления на конференции Дебре, Беркли, 2005 г.

Этот раздел следует за презентацией в ^[6] , основанной на. ^[7]

Интуитивное описание модели Эрроу – Дебре.

Модель Эрроу-Дебре моделирует экономику как комбинацию трех типов агентов: домохозяйств, производителей и рынка. Домохозяйства и производители заключают сделки с рынком, а не друг с другом напрямую.

Домохозяйства обладают дарами (наборами товаров, с которых они начинаются), которые можно назвать «наследством». Для математической ясности все домохозяйства должны вначале продать все свои активы на рынке. Если они хотят сохранить часть капитала, им придется позже выкупить их на рынке. Пожертвованиями могут быть рабочее время, использование земли, тонны кукурузы и т. д.

Домохозяйства обладают пропорциональными владениями производителей, которых можно рассматривать как акционерные общества . Прибыль, полученная производителем, делится между домохозяйствами пропорционально тому, сколько акций каждое домохозяйство имеет для производителя . Право собственности устанавливается вначале, и домохозяйства не могут продавать, покупать, создавать или выбрасывать их. ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$

Домохозяйства получают бюджет как сумму доходов от продажи капитала и дивидендов от прибыли производителей.

Домохозяйства обладают предпочтениями в отношении наборов товаров, что, согласно данным предположениям, делает их максимизаторами полезности . Домохозяйства выбирают план потребления с максимальной полезностью, которую они могут себе позволить, используя свой бюджет.

Производители способны превращать одни наборы товаров в другие наборы товаров. У производителей нет отдельных функций полезности. Напротив, все они просто максимизируют прибыль.

Рынок способен только «выбирать» вектор рыночных цен, который представляет собой список цен на каждый товар, который принимает каждый производитель и домохозяйство (торгового поведения нет — каждый производитель и домашнее хозяйство являются ценополучателями ) . Рынок не имеет никакой полезности или прибыли. Вместо этого рынок стремится выбрать такой вектор рыночных цен, чтобы, хотя каждое домохозяйство и производитель максимизировали свою собственную полезность и прибыль, их планы потребления и планы производства «гармонизировались». То есть « рынок очищается ». Другими словами, рынок играет роль « вальрасовского аукциониста ».

Настройка обозначений

Обычно мы записываем индексы агентов в виде верхних индексов, а индексы векторных координат — в виде нижних индексов.

полезные обозначения для действительных векторов

• ${\displaystyle x\succeq y}$если ${\displaystyle \forall n,x_{n}\geq y_{n}}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{N}}$множество таких, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\succeq 0}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{N}}$множество таких, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\succ 0}$
• ${\displaystyle \Delta _{N}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:x_{1},...,x_{N}\geq 0,\sum _{n\in 1:N}x_{n}=1\right\}}$является N-симплексом . Мы часто называем его ценовым симплексом , поскольку иногда мы масштабируем вектор цены так, чтобы он лежал на нем.

рынок

• Товары индексируются как . Вот количество товаров, которые существуют в экономике. Это конечное число. ${\displaystyle n\in 1:N}$ ${\displaystyle N}$
• Вектор цен представляет собой вектор длины , где каждая координата представляет собой цену товара. Цены могут быть нулевыми или положительными. ${\displaystyle p=(p_{1},...,p_{N})\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle N}$

домохозяйства

• Домохозяйства индексируются как . ${\displaystyle i\in I}$
• Каждое домашнее хозяйство начинается с приобретения товаров . ${\displaystyle r^{i}\in \mathbb {R} _{+}^{N}}$
• Каждое домашнее хозяйство начинается с кортежа собственности производителей . Собственники удовлетворяют . ${\displaystyle \alpha ^{i,j}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}\alpha ^{i,j}=1\quad \forall j\in J}$
• Бюджет, который получает домохозяйство, представляет собой сумму его дохода от продажи имущества по рыночной цене плюс прибыль от владения производителями:
  $${\displaystyle M^{i}(p)=\langle p,r^{i}\rangle +\sum _{j\in J}\alpha ^{i,j}\Pi ^{j}(p)}$$
  ( означает деньги ) ${\displaystyle M}$
• Каждое домохозяйство имеет набор возможностей потребления . ${\displaystyle CPS^{i}\subset \mathbb {R} _{+}^{N}}$
• Каждое домохозяйство имеет отношение предпочтения по отношению к . ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$
• При предположениях о (сделанных в следующем разделе) каждое отношение предпочтения представимо функцией полезности по теоремам Дебре . Таким образом, вместо максимизации предпочтений мы можем эквивалентно утверждать, что домохозяйство максимизирует свою полезность. ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle u^{i}:CPS^{i}\to [0,1]}$
• План потребления — это вектор в , записанный как . ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle x^{i}}$
• ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$является ли набор планов потребления по крайней мере столь же предпочтительным, как . ${\displaystyle x^{i}}$
• Бюджетное множество — это набор планов потребления, которые он может себе позволить:
  $${\displaystyle B^{i}(p)=\{x^{i}\in CPS^{i}:\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\}}$$
  .
• Для каждого вектора цен домохозяйство имеет вектор спроса на товары, как . Эта функция определяется как решение задачи максимизации ограничений. Это зависит как от экономики, так и от первоначального распределения. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D^{i}(p)\in \mathbb {R} _{+}^{N}}$
  $${\displaystyle D^{i}(p):=\arg \max _{x^{i}\in B^{i}(p)}u^{i}(x^{i})}$$
  Возможно, не для всех оно четко определено . Однако мы будем использовать достаточно допущений, чтобы он был четко определен при векторах равновесных цен. ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

продюсеры

• Производители индексируются как . ${\displaystyle j\in J}$
• У каждого производителя есть набор производственных возможностей . Обратите внимание, что вектор предложения может иметь как положительные, так и отрицательные координаты. Например, обозначает производственный план, в котором 1 единица товара 1 используется для производства 1 единицы товара 2. ${\displaystyle PPS^{j}}$ ${\displaystyle (-1,1,0)}$
• План производства — это вектор в формате , записанный как . ${\displaystyle PPS^{j}}$ ${\displaystyle y^{j}}$
• Для каждого вектора цен производитель имеет вектор предложения товаров, как . Эта функция будет определена как решение задачи максимизации ограничений. Это зависит как от экономики, так и от первоначального распределения. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S^{j}(p)\in \mathbb {R} ^{N}}$
  $${\displaystyle S^{j}(p):=\arg \max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle }$$
  Возможно, не для всех оно четко определено . Однако мы будем использовать достаточно допущений, чтобы он был четко определен при векторах равновесных цен. ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$
• Прибыль​​
  $${\displaystyle \Pi ^{j}(p):=\langle p,S^{j}(p)\rangle =\max _{y^{j}\in PPS^{j}}\langle p,y^{j}\rangle }$$

агрегаты

• совокупное потребление возможность набор . ${\displaystyle CPS=\sum _{i\in I}CPS^{i}}$
• совокупный производственный возможность набор . ${\displaystyle PPS=\sum _{j\in J}PPS^{j}}$
• совокупный фонд ${\displaystyle r=\sum _{i}r^{i}}$
• совокупный спрос ${\displaystyle D(p):=\sum _{i}D^{i}(p)}$
• совокупное предложение ${\displaystyle S(p):=\sum _{j}S^{j}(p)}$
• избыточный спрос ${\displaystyle Z(p)=D(p)-S(p)-r}$

вся экономика

• Экономика — это кортеж . То есть это кортеж, определяющий товары, потребительские предпочтения, наборы потребительских возможностей и наборы производственных возможностей производителей. ${\displaystyle (N,I,J,CPS^{i},\succeq ^{i},PPS^{j})}$
• Экономика с начальным распределением — это экономика вместе с кортежем начального распределения для экономики. ${\displaystyle (r^{i},\alpha ^{i,j})_{i\in I,j\in J}}$
• Состояние экономики представляет собой совокупность цен, планов потребления и планов производства для каждого домохозяйства и производителя : . ${\displaystyle ((p_{n})_{n\in 1:N},(x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$
• Состояние осуществимо тогда и только тогда, когда каждый , каждый и . ${\displaystyle x^{i}\in CPS^{i}}$ ${\displaystyle y^{j}\in PPS^{j}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r}$
• Набор возможных производственных возможностей при наличии обеспеченности равен . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle PPS_{r}:=\{y\in PPS:y+r\succeq 0\}}$
• Учитывая экономику с распределением, состояние, соответствующее вектору цен, равно . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p,(D^{i}(p))_{i\in I},(S^{j}(p))_{j\in J})}$
• В экономике с распределением вектор цен является вектором равновесных цен для экономики с начальным распределением, если и только если ${\displaystyle p}$
  $${\displaystyle Z(p)_{n}{\begin{cases}\leq 0{\text{ if }}p_{n}=0\\=0{\text{ if }}p_{n}>0\end{cases}}}$$
  То есть, если товар не бесплатен, то предложение точно равно спросу, а если товар бесплатен, то предложение равно спросу или превышает его (мы допускаем избыточное предложение бесплатного товара).
• Состояние является состоянием равновесия тогда и только тогда, когда оно соответствует вектору равновесных цен.

Предположения

Введение искусственного ограничения

Функции не обязательно четко определены для всех векторов цен . Например, если производитель 1 способен превращать единицы товара 1 в единицы товара 2, и мы имеем , то производитель может создавать планы с бесконечной прибылью, таким образом , и не определено. ${\displaystyle D^{i}(p),S^{j}(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\sqrt {(t+1)^{2}-1}}}$ ${\displaystyle p_{1}/p_{2}<1}$ ${\displaystyle \Pi ^{j}(p)=+\infty }$ ${\displaystyle S^{j}(p)}$

Следовательно, мы определяем « ограниченный рынок » как тот же рынок, за исключением того, что существует универсальная верхняя граница , так что каждый производитель обязан использовать план производства , а каждое домохозяйство должно использовать план потребления . Обозначьте соответствующие количества на ограниченном рынке тильдой. Так, например, выглядит функция избыточного спроса на ограниченном рынке. ^[8] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \|y^{j}\|\leq C}$ ${\displaystyle \|x^{i}\|\leq C}$ ${\displaystyle {\tilde {Z}}(p)}$

${\displaystyle C}$выбирается «достаточно большим» для экономики, чтобы ограничение не действовало в условиях равновесия (см. следующий раздел). В частности, выбирается достаточно большим, чтобы: ${\displaystyle C}$

• Для любого плана потребления, такого как , план является настолько «экстравагантным», что даже если все производители будут координировать свои действия, они все равно не смогут удовлетворить спрос. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\succeq 0,\|x\|=C}$
• Для любого перечня производственных планов хозяйства если , то для каждого . Другими словами, для любого достижимого производственного плана при данном запасе индивидуальный производственный план каждого производителя должен находиться строго в пределах ограничения. ${\displaystyle (y^{j}\in PPS^{j})_{j\in J}}$ ${\displaystyle \sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0}$ ${\displaystyle \|y^{j}\|<C}$ ${\displaystyle j\in J}$ ${\displaystyle r}$

Любое требование выполнимо.

• Определим набор достижимых планов совокупного производства как , тогда при предположениях для производителей, приведенных выше (особенно допущении «нет сколь угодно большого бесплатного обеда»), ограничено для любого (доказательство опущено). Таким образом, первое требование выполнено. ${\displaystyle PPS_{r}=\left\{\sum _{j\in J}y^{j}:y^{j}\in PPS^{j}{\text{ for each }}j\in J,{\text{ and }}\sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0\right\}}$ ${\displaystyle PPS_{r}}$ ${\displaystyle r\succeq 0}$
• Определим множество достижимых индивидуальных производственных планов , которые будут тогда при предположениях для производителей, приведенных выше (особенно допущении «отсутствия сколь угодно больших преобразований»), ограниченным для любого (доказательство опущено). Таким образом, второе требование является выполнимым. ${\displaystyle PPS_{r}^{j}:=\{y^{j}\in PPS^{j}:y^{j}{\text{ is a part of some attainable production plan under endowment }}r\}}$ ${\displaystyle PPS_{r}^{j}}$ ${\displaystyle j\in J,r\succeq 0}$

Оба требования вместе подразумевают, что ограничение не является реальным ограничением, когда планы производства и планы потребления являются « внутренними » по отношению к ограничению.

• При любом ценовом векторе , если , то существует и равен . Другими словами, если производственный план ограниченного производителя находится внутри искусственного ограничения, то неограниченный производитель выберет тот же производственный план. Это доказывается использованием второго требования к . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|{\tilde {S}}^{j}(p)\|<C}$ ${\displaystyle S^{j}(p)}$ ${\displaystyle {\tilde {S}}^{j}(p)}$ ${\displaystyle C}$
• Если все , то ограниченные и неограниченные домохозяйства имеют одинаковый бюджет. Теперь, если у нас также есть , то существует и равно . Другими словами, если план потребления домохозяйства с ограничениями находится внутри искусственного ограничения, то домохозяйство без ограничений выберет тот же план потребления. Это доказывается использованием первого требования к . ${\displaystyle S^{j}(p)={\tilde {S}}^{j}(p)}$ ${\displaystyle \|{\tilde {D}}^{i}(p)\|<C}$ ${\displaystyle D^{i}(p)}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}^{i}(p)}$ ${\displaystyle C}$

Эти два положения подразумевают, что равновесие для ограниченного рынка является равновесием для неограниченного рынка:

Теорема  :  Если – вектор равновесной цены для ограниченного рынка, то он также является вектором равновесной цены для неограниченного рынка. Кроме того, у нас есть . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}^{i}(p)=D^{i}(p),{\tilde {S}}^{j}(p)=S^{j}(p)}$

Существование общего равновесия

В качестве последней части конструкции определим закон Вальраса :

• Неограниченный рынок удовлетворяет закону Вальраса в том случае, если все определены, и , то есть ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S^{j}(p),D^{i}(p)}$ ${\displaystyle \langle p,Z(p)\rangle =0}$
  $${\displaystyle \sum _{j\in J}\langle p,S^{j}(p)\rangle +\langle p,r\rangle =\sum _{i\in I}\langle p,D^{i}(p)\rangle }$$
• Ограниченный рынок удовлетворяет закону Вальраса при iff . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle =0}$

Закон Вальраса можно интерпретировать с обеих сторон:

• Что касается домохозяйств, то это говорит о том, что совокупные расходы домохозяйств равны совокупной прибыли и совокупному доходу от продажи пожертвований. Другими словами, каждое домохозяйство тратит весь свой бюджет.
• Со стороны производителей это означает, что совокупная прибыль плюс совокупные затраты равны совокупному доходу.

Теорема  —  удовлетворяет слабому закону Вальраса: для всех ${\displaystyle {\tilde {Z}}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

$${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle \leq 0}$$

а если , то для некоторых . ${\displaystyle \langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle <0}$ ${\displaystyle {\tilde {Z}}(p)_{n}>0}$ ${\displaystyle n}$

Эскиз доказательства

Если общая величина избыточного спроса равна нулю, то каждое домохозяйство израсходовало весь свой бюджет. В противном случае некоторые домохозяйства могут тратить только часть своего бюджета. Следовательно, потребительский набор этого домохозяйства находится на границе ограничения, то есть . Мы выбрали (в предыдущем разделе) настолько большую величину, что даже если все производители будут координировать свои действия, они все равно не смогут удовлетворить спрос. Следовательно, существует такой товар , что ${\displaystyle \|{\tilde {D}}^{i}(p)\|=C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}^{i}(p)_{n}>{\tilde {S}}(p)_{n}+r_{n}}$

Теорема  .  Для ограниченного рынка существует равновесный вектор цен, и в этот момент ограниченный рынок удовлетворяет закону Вальраса.

Эскиз доказательства

По определению равновесия, если — вектор равновесной цены для ограниченного рынка, то в этот момент ограниченный рынок удовлетворяет закону Вальраса. ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\tilde {Z}}}$непрерывно, поскольку все они непрерывны. ${\displaystyle {\tilde {S}}^{j},{\tilde {D}}^{i}}$

Определить функцию

$${\displaystyle f(p)={\frac {\max(0,p+\gamma {\tilde {Z}}(p))}{\sum _{n}\max(0,p_{n}+\gamma {\tilde {Z}}(p)_{n})}}}$$

на ценовом симплексе, где – фиксированная положительная константа. ${\displaystyle \gamma }$

По слабому закону Вальраса эта функция корректно определена. По теореме Брауэра о неподвижной точке у него есть неподвижная точка. Согласно слабому закону Вальраса, эта фиксированная точка является рыночным равновесием.

Обратите внимание, что приведенное выше доказательство не дает итерационного алгоритма нахождения какого-либо равновесия, поскольку нет гарантии, что функция является сжатием . Это неудивительно, поскольку нет никакой гарантии (без дополнительных предположений), что любое рыночное равновесие является устойчивым равновесием. ${\displaystyle f}$

Следствие  .  Для неограниченного рынка существует равновесный вектор цен, и в этот момент неограниченный рынок удовлетворяет закону Вальраса.

Роль выпуклости

Четверть оборота выпуклого единичного круга оставляет точку  (0,0) неподвижной, но перемещает каждую точку невыпуклого единичного круга .

В 1954 году Маккензи и пара Эрроу и Дебре независимо доказали существование общего равновесия, применив теорему Какутани о неподвижных точках непрерывной функции из компактного выпуклого множества в себя. В подходе Эрроу – Дебре выпуклость важна, поскольку такие теоремы о неподвижной точке неприменимы к невыпуклым множествам. Например, поворот единичной окружности на 90 градусов лишен неподвижных точек, хотя этот поворот представляет собой непрерывное преобразование компакта в самого себя; хотя единичный круг и компактен, он невыпуклый. Напротив, то же вращение, примененное к выпуклой оболочке единичного круга, оставляет точку  (0,0) фиксированной. Обратите внимание: теорема Какутани не утверждает, что существует ровно одна неподвижная точка. Отражение единичного диска по оси Y оставляет фиксированным вертикальный сегмент, так что это отражение имеет бесконечное количество фиксированных точек.

Невыпуклость в крупных экономиках

Предположение о выпуклости исключало множество приложений, которые обсуждались в Журнале политической экономии с 1959 по 1961 год Фрэнсисом М. Бэтором, М. Дж. Фарреллом , Тьяллингом Купмансом и Томасом Дж. Ротенбергом. ^[9] Росс М. Старр  (1969) доказал существование экономического равновесия , когда некоторые потребительские предпочтения не обязательно должны быть выпуклыми . ^[9] В своей статье Старр доказал, что «выпуклая» экономика имеет общее равновесие, которое близко аппроксимируется «квазиравновесиями» исходной экономики; В доказательстве Старра использовалась теорема Шепли-Фолкмана . ^[10]

Теорема Удзавы об эквивалентности

( Uzawa , 1962) ^[11] показали, что существование общего равновесия в экономике, характеризующейся непрерывной функцией избыточного спроса, удовлетворяющей закону Вальраса, эквивалентно теореме Брауэра о фиксированной точке. Таким образом, использование теоремы Брауэра о неподвижной точке необходимо для доказательства существования равновесия в целом. ^[12]

Фундаментальные теоремы экономики благосостояния

В экономике благосостояния одной из возможных задач является поиск оптимального по Парето плана экономики.

Интуитивно можно рассматривать проблему экономики благосостояния как проблему, с которой сталкивается генеральный планировщик всей экономики: учитывая начальный капитал для всего общества, планировщик должен выбрать осуществимый генеральный план планов производства и потребления . Генеральный планировщик имеет широкую свободу в выборе генерального плана, но любой разумный планировщик должен согласиться с тем, что если чью-то полезность можно увеличить, в то время как полезность всех остальных не уменьшится, то это лучший план. То есть следует соблюдать порядок Парето. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$

Определите порядок Парето на множестве всех планов с помощью iff for all . ${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})}$ ${\displaystyle ((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})\succeq ((x'^{i})_{i\in I},(y'^{j})_{j\in J})}$ ${\displaystyle x^{i}\succeq ^{i}x'^{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

Тогда мы говорим, что план эффективен по Парето относительно начального запаса , если он выполним и не существует другого осуществимого плана, который был бы строго лучше в порядке Парето. ${\displaystyle r}$

В общем, существует целый континуум эффективных по Парето планов для каждого стартового капитала . ${\displaystyle r}$

Итак, у нас есть две фундаментальные теоремы экономики благосостояния: ^[13]

Первая фундаментальная теорема экономики благосостояния  :  любое состояние рыночного равновесия является эффективным по Парето.

Эскиз доказательства

Гиперплоскость цен разделяет достижимое производство и потребление, лучшее по Парето. То есть гиперплоскость отделяет и , где множество всех , таких что , и . То есть это совокупность всех возможных планов потребления, которые являются строго лучшими по Парето. ${\displaystyle \langle p^{*},q\rangle =\langle p^{*},D(p^{*})\rangle }$ ${\displaystyle r+PPS_{r}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}x'^{i}}$ ${\displaystyle \forall i\in I,x'^{i}\in CPS^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}}$

Достижимое производство находится на нижней стороне гиперплоскости цен, тогда как потребление, лучшее по Парето, находится строго на верхней стороне гиперплоскости цен. Таким образом, любой план, лучший по Парето, недостижим.

• Любой план потребления, лучший по Парето, должен стоить как минимум столько же для каждого домохозяйства и стоить дороже хотя бы для одного домохозяйства.
• Любой достижимый производственный план должен приносить максимум равную прибыль каждому производителю.

Вторая фундаментальная теорема экономики благосостояния  .  Для любого совокупного запаса средств и любого Парето-эффективного государства, достижимого с использованием этого запаса, существует такое распределение запасов и частной собственности производителей, что данное состояние является состоянием рыночного равновесия для некоторого вектора цен. . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{r^{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{\alpha ^{i,j}\}_{i\in I,j\in J}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

Идея доказательства: любой оптимальный по Парето план потребления отделяется гиперплоскостью от множества достижимых планов потребления. Наклон гиперплоскости будет равновесной ценой. Убедитесь, что при таких ценах каждый производитель и домохозяйство найдут данное состояние оптимальным. Убедитесь, что закон Вальраса выполняется, и что расходы соответствуют доходам плюс прибыли, и поэтому можно обеспечить каждое домашнее хозяйство именно необходимым бюджетом.

Доказательство

Поскольку состояние достижимо, мы имеем . Равенство не обязательно выполняется, поэтому мы определяем набор достижимых совокупных показателей потребления . Любой совокупный потребительский набор внутри достижим, а любой внешний — нет. ${\displaystyle \sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r}$ ${\displaystyle V:=\{r+y-z:y\in PPS,z\succeq 0\}}$ ${\displaystyle V}$

Найдите рыночную цену . ${\displaystyle p}$

Определить как множество всех , таких, что , и . То есть это совокупность всех возможных планов потребления, которые являются строго лучшими по Парето. Поскольку каждое из них выпукло и каждое предпочтение выпукло, множество также выпукло. ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle \sum _{i\in I}x'^{i}}$ ${\displaystyle \forall i\in I,x'^{i}\in CPS^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle U_{++}}$

Теперь, поскольку состояние является Парето-оптимальным, множество должно быть недостижимо при заданных запасах. То есть не пересекается с . Поскольку оба множества выпуклые, между ними существует разделяющая гиперплоскость. ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle V}$

Пусть гиперплоскость определяется как , где , и . Знак выбран такой, что и . ${\displaystyle \langle p,q\rangle =c}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{N},p\neq 0}$ ${\displaystyle c=\sum _{i\in I}\langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle p,U_{++}\rangle \geq c}$ ${\displaystyle \langle p,r+PPS\rangle \leq c}$

Требовать: . ${\displaystyle p\succ 0}$

Предположим, что нет, тогда существует такое, что . Тогда если достаточно велико, но мы также имеем противоречие. ${\displaystyle n\in 1:N}$ ${\displaystyle p_{n}<0}$ ${\displaystyle \langle p,r+0-ke_{n}\rangle >c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r+0-ke_{n}\in V}$

По конструкции у нас есть , и . Теперь мы утверждаем: . ${\displaystyle \langle p,\sum _{i\in I}x^{i}\rangle =c}$ ${\displaystyle \langle p,V\rangle \leq c}$ ${\displaystyle \langle p,U_{++}\rangle >c}$

Пусть для каждого домохозяйства набор планов потребления для него не хуже , а набор планов потребления для него строго лучше . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle U_{++}^{i}(x^{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i}}$

Ввиду локальной ненасыщенности замкнутое полупространство содержит . ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle \langle p,q\rangle \geq \langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle U_{+}^{i}(x^{i})}$

Ввиду непрерывности , открытое полупространство содержит . ${\displaystyle \succeq ^{i}}$ ${\displaystyle \langle p,q\rangle >\langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle U_{++}^{i}(x^{i})}$

Сложив их, получим, что открытое полупространство содержит . ${\displaystyle \langle p,q\rangle >c}$ ${\displaystyle U_{++}}$

Утверждение (закон Вальраса): ${\displaystyle \langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle =c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle }$

Поскольку производство достижимо, мы имеем , и поскольку , мы имеем . ${\displaystyle r+\sum _{j}y^{j}\succeq \sum _{i}x^{i}}$ ${\displaystyle p\succ 0}$ ${\displaystyle \langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \geq \langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle }$

По построению разделяющей гиперплоскости также имеем , следовательно, имеем равенство. ${\displaystyle \langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \leq c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle }$

Утверждение: при цене каждый производитель максимизирует прибыль при цене , ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle y^{j}}$

Если существует такой план производства, при котором один производитель может получить более высокую прибыль , то ${\displaystyle y'^{j}}$ ${\displaystyle \langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,y^{j}\rangle }$

$${\displaystyle \langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y^{j}\rangle =c}$$

но тогда у нас была бы точка на другой стороне разделяющей гиперплоскости, что нарушало бы нашу конструкцию. ${\displaystyle r+PPS}$

Утверждение: при цене и бюджете домохозяйство максимизирует полезность при . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i}}$

В противном случае существуют такие, что и . Затем рассмотрим совокупный потребительский набор . Это есть , но также удовлетворяет . Но это противоречит предыдущему утверждению о том, что . ${\displaystyle x'^{i}}$ ${\displaystyle x'^{i}\succ ^{i}x^{i}}$ ${\displaystyle \langle p,x'^{i}\rangle \leq \langle p,x^{i}\rangle }$ ${\displaystyle q':=\sum _{i'\in I,i'\neq i}x^{i}+x'^{i}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle \langle p,q'\rangle \leq \sum \langle p,x^{i}\rangle =c}$ ${\displaystyle \langle p,U_{++}\rangle >c}$

По закону Вальраса совокупный доход и прибыль от пожертвований в точности равны совокупным расходам. Осталось распределить их так, чтобы каждое домохозяйство получало ровно столько, сколько было в его бюджете. Это тривиально. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \langle p,x^{i}\rangle }$

Вот жадный алгоритм, позволяющий это сделать: сначала распределите все запасы товара 1 среди домохозяйства 1. Если домохозяйство 1 может достичь своего бюджета до того, как распределит все его, то переходите к домохозяйству 2. В противном случае начните распределять все запасы товара 2, и т. д. Аналогично и с собственностью производителей.

Выпуклость против строгой выпуклости

Предположения о строгой выпуклости можно ослабить до выпуклости. Эта модификация превращает функции спроса и предложения из точечных функций в множественные функции (или «соответствия»), а также применение теоремы Брауэра о неподвижной точке к теореме Какутани о неподвижной точке.

Эта модификация аналогична обобщению минимаксной теоремы на существование равновесий Нэша .

Две фундаментальные теоремы экономики благосостояния остаются в силе без изменений.

Равновесие против «квазиравновесия»

Определение рыночного равновесия предполагает, что каждое домохозяйство максимизирует полезность при условии соблюдения бюджетных ограничений. То есть,

$${\displaystyle {\begin{cases}\max _{x^{i}}u^{i}(x^{i})\\\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {\begin{cases}u^{i}(x^{i})\geq u_{0}^{i}\\\min _{x^{i}}\langle p,x^{i}\rangle \end{cases}}}$$

Разрыв двойственности^[14][15][15] ${\displaystyle u_{0}^{i}}$

Расширения

Учет стратегических переговоров

В модели все производители и домохозяйства являются « получателями цен », то есть они просто совершают сделки с рынком, используя вектор цен . В частности, не моделируются такие модели поведения, как картель, монополия, потребительская коалиция и т. д. Предельная теорема Эджворта показывает, что при некоторых более строгих предположениях домохозяйства не могут добиться большего, чем снижение цены на пределе бесконечно большой экономики. ${\displaystyle p}$

Настраивать

Подробно мы продолжаем рассматривать экономическую модель домашних хозяйств и производителей, но рассматриваем другой метод планирования производства и распределения товаров, чем рыночная экономика. Ее можно интерпретировать как модель «социалистической» экономики.

• Нет денег, рынка и частной собственности производителей.
• Поскольку мы упразднили частную собственность, деньги и мотив прибыли, нет смысла отличать одного производителя от другого. Следовательно, вместо того, чтобы каждый производитель планировал индивидуально , создается впечатление, что все общество имеет одного великого производителя, производящего продукцию . ${\displaystyle y^{j}\in PPS^{j}}$ ${\displaystyle y\in PPS}$
• Домохозяйства по-прежнему имеют те же предпочтения и возможности, но у них больше нет бюджетов.
• Производители не производят, чтобы максимизировать прибыль, поскольку прибыли нет. Все домохозяйства собираются вместе, чтобы создать государство — план производства и потребления для всей экономики — со следующими ограничениями: ${\displaystyle ((x_{i})_{i\in I},y)}$
  $${\displaystyle x^{i}\in CPS^{i},y\in PPS,y\succeq \sum _{i}(x^{i}-r^{i})}$$
• Любое непустое подмножество домохозяйств может исключить все остальные домохозяйства, сохраняя при этом контроль над производителями.

Таким образом, эта экономика представляет собой кооперативную игру , в которой каждое домохозяйство является игроком, и из теории кооперативных игр мы имеем следующие понятия:

• Блокирующая коалиция — это непустое подмножество домохозяйств, в котором существует строго лучший по Парето план, даже если они устранят все остальные домохозяйства.
• Государство является ядром государства тогда и только тогда, когда нет блокирующих коалиций.
• Ядро экономики – это совокупность основных состояний.

Поскольку мы предположили, что любое непустое подмножество домохозяйств может устранить все остальные домохозяйства, сохраняя при этом контроль над производителями, единственными состояниями, которые могут быть реализованы, являются основные состояния. Государство, которое не является основным государством, немедленно столкнется с возражениями со стороны коалиции домохозяйств.

Нам понадобится еще одно предположение о том , что это конус , т. е. для любого . Это предположение исключает два пути, по которым экономика может стать тривиальной. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle k\cdot PPS\subset PPS}$ ${\displaystyle k\geq 0}$

• Проклятие бесплатного обеда. В этой модели целое доступно любой непустой коалиции, даже коалиции из одного человека. Следовательно, если ни у кого нет никаких средств, но при этом есть некоторый «бесплатный обед» , тогда (предполагая, что предпочтения монотонны) каждое домохозяйство хотело бы забрать все себе, и, следовательно, не существует *никакого* основного состояния. Интуитивно картина мира представляет собой комитет эгоистичных людей, налагающий вето на любой план, который не отдает себе весь бесплатный обед. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle y\succ 0}$ ${\displaystyle y}$
• Предел роста: рассмотрим общество с двумя товарами. Одно — «труд», другое — «еда». Домохозяйства имеют в качестве запаса только труд, но потребляют они только еду. Выглядит как пандус с плоской вершиной. Таким образом, затрачивая 0–1 тысячу часов труда, вы производите 0–1 тысячу кг еды линейно, но при дальнейшем труде еды не производится. Теперь предположим, что каждое домохозяйство наделено 1 тысячой часов труда. Понятно, что каждое домохозяйство сразу же заблокирует любое другое домохозяйство, поскольку всегда лучше одному использовать все для себя. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle PPS}$

Основные результаты (Дебре и Шарф, 1963 г.)

Предположение  :  Рыночное равновесие является ключевым состоянием.

Доказательство

Определите ценовую гиперплоскость . Поскольку это опорная гиперплоскость и выпуклый конус, ценовая гиперплоскость проходит начало координат. Таким образом . ${\displaystyle \langle p,q\rangle =\langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle }$ ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle \langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle =\langle p,\sum _{i}x^{i}-r^{i}\rangle =0}$

Поскольку – общая прибыль, и каждый производитель может получить по крайней мере нулевую прибыль (т. е. ), это означает, что прибыль равна нулю для каждого производителя. Следовательно, бюджет каждого домохозяйства формируется именно за счет продажи пожертвований. ${\displaystyle \sum _{j}\langle p,y^{j}\rangle }$ ${\displaystyle 0\in PPS^{j}}$

$${\displaystyle \langle p,x^{i}\rangle =\langle p,r^{i}\rangle }$$

Благодаря максимизации полезности каждое домохозяйство уже делает столько, сколько могло бы. Следовательно, мы имеем . ${\displaystyle \langle p,U_{++}^{i}(x^{i})\rangle >\langle p,r^{i}\rangle }$

В частности, для любой коалиции и любого производственного плана, лучшего по Парето, мы имеем ${\displaystyle I'\subset I}$ ${\displaystyle x'^{i}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I'}\langle p,x'^{i}\rangle >\sum _{i\in I'}\langle p,r^{i}\rangle }$$

и, следовательно, точка лежит выше гиперплоскости цены, что делает ее недостижимой. ${\displaystyle \sum _{i\in I'}x'^{i}-r^{i}}$

В статье Дебре и Скарфа они определили особый способ подхода к бесконечно большой экономике путем «воспроизведения домохозяйств». То есть для любого положительного целого числа определите экономику, в которой существуют домохозяйства, которые имеют точно такой же набор возможностей потребления и предпочтения, что и домохозяйство . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle i}$

Обозначим план потребления -го экземпляра домохозяйства . Определите план, который будет справедливым тогда и только тогда, когда для любого и . ${\displaystyle x^{i,k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i,k}\sim ^{i}x^{i,k'}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle k,k'\in K}$

В общем, состояние будет довольно сложным, поскольку каждая реплика будет обрабатываться по-разному. Однако основные состояния значительно проще: они справедливы и одинаково относятся к каждому экземпляру.

Предложение  :  Любое основное государство является справедливым.

Доказательство

Мы используем «коалицию аутсайдеров».

Рассмотрим основное состояние . Определите средние распределения . ${\displaystyle x^{i,k}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}:={\frac {1}{K}}\sum _{k\in K}x^{i,k}}$

Это достижимо, поэтому мы имеем ${\displaystyle K\sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in PPS}$

Предположим, что существует какое-либо неравенство, то есть некоторое , тогда в силу выпуклости предпочтений имеем , где – домохозяйство типа , к которому относятся с наихудшим обращением . ${\displaystyle x^{i,k}\succ ^{i}x^{i,k'}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}\succ ^{i}x^{i,k'}}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle i}$

Теперь определите «коалицию проигравших», состоящую из домохозяйств каждого типа, с которыми обращаются хуже всех, и предложите распределить их в соответствии с . Это лучше по Парето для коалиции, а так как она коническая, то мы также имеем , поэтому план достижим. Противоречие. ${\displaystyle {\bar {x}}^{i}}$ ${\displaystyle PP}$ ${\displaystyle \sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in PPS}$

Следовательно, при изучении основных государств достаточно рассмотреть один план потребления для каждого типа домохозяйств. Теперь определим набор всех основных состояний экономики с повторениями на каждое домохозяйство. Это ясно , поэтому мы можем определить предельный набор основных состояний . ${\displaystyle C_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C_{1}\supset C_{2}\supset \cdots }$ ${\displaystyle C:=\cap _{K=1}^{\infty }C_{K}}$

Мы видели, что это содержит набор рыночных равновесий для исходной экономики. Обратное верно при небольших дополнительных предположениях: ^[16] ${\displaystyle C}$

(Дебре и Шарф, 1963)  —  Если — многоугольный конус, или если каждый имеет непустую внутреннюю часть относительно , ​​то — это набор рыночных равновесий для исходной экономики. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle C}$

Предположение о том, что конус является многоугольным или каждый из них имеет непустую внутреннюю часть, необходимо, чтобы избежать технической проблемы «квазиравновесия». Без предположения мы можем доказать только то, что содержится в множестве квазиравновесий. ${\displaystyle PPS}$ ${\displaystyle CPS^{i}}$ ${\displaystyle C}$

Учет невыпуклости

Предположение о том, что множества производственных возможностей выпуклы, является сильным ограничением, поскольку подразумевает отсутствие эффекта масштаба. Аналогичным образом мы можем рассмотреть невыпуклые множества возможностей потребления и невыпуклые предпочтения. В таких случаях функции спроса и предложения могут быть разрывными относительно вектора цен, поэтому общее равновесие может не существовать. ${\displaystyle S^{j}(p),D^{i}(p)}$

Однако мы можем «выпуклить» экономику, найти для нее равновесие, тогда по теореме Шепли-Фолкмана-Старра это будет приблизительное равновесие для исходной экономики.

Подробно, учитывая любую экономику, удовлетворяющую всем данным предположениям, за исключением выпуклости и , мы определяем «выпуклую экономику» как ту же экономику, за исключением того, что ${\displaystyle PPS^{j},CPS^{i}}$ ${\displaystyle \succeq ^{i}}$

• ${\displaystyle PPS'^{j}=\mathrm {Conv} (PPS^{j})}$
• ${\displaystyle CPS'^{i}=\mathrm {Conv} (CPS^{i})}$
• ${\displaystyle x\succeq '^{i}y}$если . ${\displaystyle \forall z\in CPS^{i},y\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))\implies x\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))}$

где обозначает выпуклую оболочку . ${\displaystyle \mathrm {Conv} }$

При этом любое общее равновесие для овыпуклой экономики является также приблизительным равновесием для исходной экономики. То есть, если – вектор равновесной цены для выпуклой экономики, то ^[17] ${\displaystyle p^{*}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d(D'(p^{*})-S'(p^{*}),D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\\d(r,D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle d(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle PPS^{j},CPS^{i}}$

Выпуклая экономика может не удовлетворять этим предположениям. Например, множество замкнуто, но его выпуклая оболочка не замкнута. Сделав дальнейшее предположение, что овыпуклая экономика также удовлетворяет этим предположениям, мы обнаруживаем, что исходная экономика всегда имеет приблизительное равновесие. ${\displaystyle \{(x,0):x\geq 0\}\cup \{(x,y):xy=1,x>0\}}$

Учет времени, пространства и неопределенности

Товары в модели Эрроу-Дебре полностью абстрактны. Таким образом, хотя его обычно представляют как статический рынок, его можно использовать для моделирования времени, пространства и неопределенности путем разделения одного товара на несколько, каждый из которых зависит от определенного времени, места и состояния мира. Например, «яблоки» можно разделить на «яблоки в Нью-Йорке в сентябре, если апельсины будут в наличии» и «яблоки в Чикаго в июне, если апельсины недоступны».

Учитывая некоторые базовые товары, полный рынок Эрроу-Дебре представляет собой рынок, на котором существует отдельный товар для каждого будущего времени, для каждого места поставки, для каждого рассматриваемого состояния мира, для каждого базового товара.

В финансовой экономике термин «Эрроу-Дебре» чаще всего относится к ценной бумаге Эрроу-Дебре . Каноническая ценная бумага Эрроу-Дебре - это ценная бумага, по которой выплачивается одна числовая единица, если достигается определенное состояние мира, и ноль в противном случае (цена такой ценной бумаги является так называемой « государственной ценой »). Таким образом, любой деривативный контракт, расчетная стоимость которого является функцией базового актива, стоимость которого на дату контракта неопределенна, может быть разложен на линейную комбинацию ценных бумаг Эрроу – Дебре.

Со времени работы Бридена и Лизенбергера в 1978 году ^[18] большое количество исследователей использовали варианты извлечения цен Эрроу-Дебре для различных приложений в финансовой экономике . ^[19]

Учет существования денег

Здесь не предлагается никакой теории денег, и предполагается, что экономика работает без помощи товара, выступающего в качестве средства обмена.

-  Жерар Дебре, Теория стоимости: аксиоматический анализ экономического равновесия (1959).

Для чистого теоретика на данный момент наиболее интересным и сложным аспектом денег является то, что им не может быть места в экономике Эрроу-Дебре. Это обстоятельство также должно иметь большое значение для макроэкономистов, но это случается редко.

-  Фрэнк Хан , Основы денежной теории (1987).

Обычно экономисты рассматривают функции денег как расчетной единицы, средства сбережения, средства обмена и стандарта отсрочки платежа. Однако это несовместимо с полным рынком Эрроу-Дебре, описанным выше. На полноценном рынке происходит только разовая сделка на рынке «в начале времени». После этого домохозяйства и производители просто выполняют запланированное производство, потребление и поставки товаров до скончания веков. Следовательно, нет смысла хранить ценности или средства обмена. Это относится не только к полному рынку Эрроу-Дебре, но и к моделям (например, с рынками условных товаров и договорами страхования Эрроу), которые различаются по форме, но математически эквивалентны ему. ^[20]

Вычисление общего равновесия

Скарф (1967) ^[21] был первым алгоритмом, вычисляющим общее равновесие. Обзоры см. в Scarf (2018) ^[22] и Kubler (2012) ^{[23] .}

Количество равновесий

Определенные экономики с определенными векторами обеспеченности могут иметь бесконечно равновесные векторы цен. Однако «в общем» экономика имеет лишь конечное число векторов равновесных цен. Здесь «в общем» означает «во всех точках, кроме замкнутого множества нулевой меры Лебега», как в теореме Сарда . ^{[24] [25]}

Таких теорем общности существует множество. Одним из примеров является следующее: ^{[26] [27]}

Родовой характер  .  Для любого строго положительного распределения обеспеченности и любого строго положительного вектора цен определите избыточный спрос, как и раньше. ${\displaystyle r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle Z(p,r^{1},...,r^{I})}$

Если на всех , ${\displaystyle p,r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

• ${\displaystyle Z(p,r^{1},...,r^{I})}$четко определен,
• ${\displaystyle Z}$является дифференцируемым,
• ${\displaystyle \nabla _{p}Z}$имеет , ${\displaystyle (N-1)}$

тогда для любого распределения обеспеченности в общем случае существует лишь конечное число состояний равновесия . ${\displaystyle r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$ ${\displaystyle p^{*}\in \mathbb {R} _{++}^{N}}$

Доказательство (эскиз)

Определите «равновесное многообразие» как множество решений задачи . По закону Вальраса одно из ограничений является избыточным. Согласно предположениям, имеющим Rank , никакие ограничения больше не являются избыточными. Таким образом, равновесное многообразие имеет размерность , равную пространству всех распределений строго положительных наделений . ${\displaystyle Z=0}$ ${\displaystyle \nabla _{p}Z}$ ${\displaystyle (N-1)}$ ${\displaystyle N\times I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{N\times I}}$

В силу непрерывности проекция замкнута. Таким образом, по теореме Сарда проекция из равновесного многообразия на критична только на множестве меры 0. Осталось проверить, что прообраз проекции в общем случае не просто дискретен, но и конечен. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{N\times I}}$

Смотрите также

• Модель (экономика)
• Неполные рынки
• Биржевой рынок Эрроу-Дебре — более простая рыночная модель, в которой есть только домохозяйства (которые могут быть как покупателями, так и продавцами), но нет производителей.
• Рынок Фишера — еще более простая модель рынка, на которой есть только покупатели; общее количество каждого товара задано, и каждый покупатель приходит только с денежным бюджетом.
• Список статей о ценах на активы
• Финансовая экономика § Основная экономика

Рекомендации

1. Эрроу, К.Дж.; Дебре, Г. (1954). «Существование равновесия для конкурентоспособной экономики». Эконометрика . 22 (3): 265–290. дои : 10.2307/1907353. JSTOR  1907353.
2. Маккензи, Лайонел В. (1954). «О равновесии в модели мировой торговли Грэма и других конкурентных системах». Эконометрика . 22 (2): 147–161. дои : 10.2307/1907539. JSTOR  1907539.
3. Маккензи, Лайонел В. (1959). «О существовании общего равновесия в конкурентной экономике». Эконометрика . 27 (1): 54–71. дои : 10.2307/1907777. JSTOR  1907777.
4. Изложение доказательства см. Такаяма, Акира (1985). Математическая экономика (2-е изд.). Лондон: Издательство Кембриджского университета. стр. 265–274. ISBN 978-0-521-31498-5.
5. Дюппе, Тилль; Вайнтрауб, Э. Рой (31 декабря 2014 г.). Нахождение равновесия. Принстон: Издательство Принстонского университета. дои : 10.1515/9781400850129. ISBN 978-1-4008-5012-9.
6. Старр, Росс М. (2011). Теория общего равновесия: Введение (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521533867.
7. Эрроу, К.Дж. (1962). «Лекции по теории конкурентного равновесия». Неопубликованные конспекты лекций, прочитанных в Северо-Западном университете.
8. Техника ограниченного рынка описана в (Starr 2011), раздел 18.2. Этот метод использовался в оригинальной публикации Эрроу и Дебре (1954).
9. Старр, Росс М. (1969), «Квазиравновесия на рынках с невыпуклыми предпочтениями (Приложение 2: Теорема Шепли – Фолкмана, стр. 35–37)», Econometrica , 37 (1): 25–38 , CiteSeerX 10.1.1.297.8498 , doi : 10.2307/1909201, JSTOR  1909201 .
10. Старр, Росс М. (2008). «Теорема Шепли – Фолкмана». В Дюрлауфе, Стивен Н.; Блюм, Лоуренс Э. (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва . Том. 4 (Второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. стр. 317–318. дои : 10.1057/9780230226203.1518. ISBN 978-0-333-78676-5.
11. Удзава, Хирофуми (1962). «Теорема существования Вальраса и теорема Брауэра о неподвижной точке».季刊 理論経済学. 13 (1): 59–62. дои : 10.11398/экономика1950.13.1_59.
12. (Старр 2011), раздел 18.4.
13. (Старр 2011), Глава 19
14. Дебре, Жерар (1 января 1959). Теория стоимости: аксиоматический анализ экономического равновесия. Издательство Йельского университета. ISBN 978-0-300-01559-1.
15. Arrow, Кеннет Дж. (2007). Общий конкурентный анализ. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-85497-1. ОКЛК  817224321.
16. (Старр, 2011) Теорема 22.2.
17. (Старр 2011), Теорема 25.1
18. Бриден, Дуглас Т.; Литценбергер, Роберт Х. (1978). «Цены условных требований государства, заложенных в ценах опционов». Журнал бизнеса . 51 (4): 621–651. дои : 10.1086/296025. JSTOR  2352653. S2CID  153841737.
19. Алмейда, Кайо; Висенте, Хосе (2008). «Важны ли варианты процентных ставок для оценки процентного риска?» (PDF) . Серия рабочих документов № 179, Центральный банк Бразилии .
20. (Старр, 2011) Упражнение 20.15.
21. Шарф, Герберт (сентябрь 1967 г.). «Приближение фиксированных точек непрерывного картографирования». SIAM Journal по прикладной математике . 15 (5): 1328–1343. дои : 10.1137/0115116. ISSN  0036-1399.
22. Шарф, Герберт Э. (2018), «Вычисление общего равновесия», Новый экономический словарь Пэлгрейва , Лондон: Palgrave Macmillan UK, стр. 1973–1984, doi : 10.1057/978-1-349-95189-5_451, ISBN 978-1-349-95188-8, получено 6 января 2023 г.
23. Кублер, Феликс (2012), «Вычисление общего равновесия (новые разработки)», Новый экономический словарь Пэлгрейва, версия 2012 г. , Бейзингсток: Пэлгрейв Макмиллан, doi : 10.1057/9781137336583.0296, ISBN 9781137336583, получено 6 января 2023 г.
24. Дебре, Жерар (июнь 2000 г.), «Стивен Смейл и экономическая теория общего равновесия», Сборник статей Стивена Смейла , World Scientific Publishing Company, стр. 243–258, doi : 10.1142/9789812792815_0025, ISBN 978-981-02-4991-5, получено 6 января 2023 г.
25. Смейл, Стив (1981-01-01), «Глава 8 Глобальный анализ и экономика», Справочник по математической экономике , том. 1, Elsevier, стр. 331–370 , получено 6 января 2023 г.
26. Дебре, Жерар (декабрь 1984 г.). «Экономическая теория в математическом режиме». Скандинавский экономический журнал . 86 (4): 393–410. дои : 10.2307/3439651. ISSN  0347-0520. JSTOR  3439651.
27. (Старр 2011) Раздел 26.3

дальнейшее чтение

• Атрейя, Картик Б. (2013). «Современный макроэкономический подход и модель Эрроу – Дебре – Маккензи». Большие идеи в макроэкономике: нетехнический взгляд . Кембридж: MIT Press. стр. 11–46. ISBN 978-0-262-01973-6.
• Геанакоплос, Джон (1987). «Модель общего равновесия Эрроу – Дебре». Нью-Пэлгрейв: Экономический словарь . Том. 1. С. 116–124.
• Такаяма, Акира (1985). Математическая экономика (2-е изд.). Лондон: Издательство Кембриджского университета. стр. 255–284. ISBN 978-0-521-31498-5.
• Дюппе, Тилль (2012). «Стрела и Дебре дегомогенизированы». Журнал истории экономической мысли . 34 (4): 491–514. CiteSeerX  10.1.1.416.2120 . дои : 10.1017/s1053837212000491. S2CID  15771197.

Внешние ссылки

• Заметки о модели экономики Эрроу – Дебре – Маккензи, профессор Ким К. Бордер Калифорнийский технологический институт
• «Основная теорема» финансов; Часть II. Профессор Марк Рубинштейн , Школа бизнеса Хааса ^{[ мертвая ссылка ]}