Лемма Бореля – Кантелли.

Теорема о вероятности

В теории вероятностей лемма Бореля - Кантелли представляет собой теорему о последовательностях событий . В общем, это результат теории меры . Она названа в честь Эмиля Бореля и Франческо Паоло Кантелли , которые сформулировали лемму в первые десятилетия 20 века. ^{[1] [2]} Связанный результат, иногда называемый второй леммой Бореля–Кантелли , является частичным обращением первой леммы Бореля–Кантелли. Лемма утверждает, что при определенных условиях вероятность события будет равна нулю или единице. Соответственно, это самая известная из класса подобных теорем, известных как законы нуля или единицы. Другие примеры включают закон нуля-единицы Колмогорова и закон нуля-единицы Хьюитта-Сэвиджа .

Формулировка леммы для вероятностных пространств

Пусть E ₁ , E ₂ ,... — последовательность событий в некотором вероятностном пространстве . Лемма Бореля – Кантелли гласит: ^{[3] [4]}

Лемма Бореля – Кантелли  —  Если сумма вероятностей событий { En _} конечна

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty ,}$$

тогда вероятность того, что их произойдет бесконечно много, равна 0, т. е.

$${\displaystyle \Pr \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0.}$$

Здесь «lim sup» обозначает предельную верхнюю границу последовательности событий, а каждое событие представляет собой набор результатов. То есть lim sup  En — это набор результатов, которые происходят бесконечно много раз в бесконечной последовательности событий _{( En} ) . Явно,

$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }E_{k}.}$$

Множество lim sup  En иногда обозначается { En _{io }} , где «io» означает «бесконечно часто». Таким образом _, теорема утверждает, что если сумма вероятностей событий En конечна, то множество всех исходов, «повторяющихся» бесконечное число раз, должно происходить с нулевой вероятностью. Обратите внимание, что никаких предположений о независимости не требуется.

Пример

Предположим, ( X _n ) — последовательность случайных величин с Pr ( X _n = 0) = 1/ n ² для каждого n . Вероятность того, что X _n = 0 произойдет для бесконечного числа n, эквивалентна вероятности пересечения бесконечного числа [ X _n = 0] событий. Пересечение бесконечного числа таких событий представляет собой совокупность общих для всех них результатов. Однако сумма ΣPr( X _n = 0) сходится к π ² /6 ≈ 1,645 < ∞, и поэтому лемма Бореля–Кантелли утверждает, что набор исходов, которые являются общими для бесконечного числа таких событий, происходит с вероятностью, равной нулю. Следовательно, вероятность того, что X _n = 0 произойдет для бесконечного числа n, равна 0. Почти наверняка (т. е. с вероятностью 1), X _n отличен от нуля для всех, кроме конечного числа  n .

Доказательство

Пусть ( En ₎ — последовательность событий в некотором вероятностном пространстве .

Последовательность событий невозрастающая: ${\textstyle \left\{\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right\}_{N=1}^{\infty }}$

$${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\supseteq \bigcup _{n=2}^{\infty }E_{n}\supseteq \cdots \supseteq \bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\supseteq \bigcup _{n=N+1}^{\infty }E_{n}\supseteq \cdots \supseteq \limsup _{n\to \infty }E_{n}.}$$

По непрерывности свыше,

$${\displaystyle \Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})=\lim _{N\to \infty }\Pr \left(\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right).}$$

По субаддитивности

$${\displaystyle \Pr \left(\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)\leq \sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n}).}$$

По исходному предположению, поскольку ряд сходится, ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})<\infty .}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})}$

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n})=0,}$$

^[5]

Пространства общего измерения

Для общих пространств с мерой лемма Бореля–Кантелли принимает следующий вид:

Лемма Бореля – Кантелли для пространств с мерой. Пусть µ —  (  положительная) мера на множестве X с σ-алгеброй F , и пусть ( _An ) — последовательность в F. Если

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty ,}$$

затем

$${\displaystyle \mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0.}$$

Обратный результат

Связанный результат, иногда называемый второй леммой Бореля-Кантелли , является частичным обращением первой леммы Бореля-Кантелли. Лемма гласит: Если события En независимы и сумма вероятностей En стремится к бесконечности, _то вероятность того, что произойдет бесконечное число из них, равна 1. То есть: [ ₄ ^]

Вторая лемма Бореля – Кантелли  .  Если и события независимы, то ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})=\infty }$ ${\displaystyle (E_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})=1.}$

Предположение о независимости можно ослабить до попарной независимости , но в этом случае доказательство усложняется.

Теорема о бесконечной обезьяне следует из второй леммы.

Пример

Лемму можно применить для получения теоремы о покрытии ^в Rn . В частности (Stein 1993, лемма X.2.1), если E _j представляет собой набор измеримых по Лебегу подмножеств компактного множества в R ⁿ такой, что

$${\displaystyle \sum _{j}\mu (E_{j})=\infty ,}$$

F _j

$${\displaystyle F_{j}=E_{j}+x_{j}}$$

$${\displaystyle \lim \sup F_{j}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}=\mathbb {R} ^{n}}$$

Доказательство

Предположим, что и события независимы. Достаточно показать, что событие, что En _не произошло для бесконечного числа значений n , имеет вероятность 0. Это просто означает, что достаточно показать, что ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(E_{n})=\infty }$ ${\displaystyle (E_{n})_{n=1}^{\infty }}$

$${\displaystyle 1-\Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})=0.}$$

Отмечая, что:

$${\displaystyle {\begin{aligned}1-\Pr(\limsup _{n\to \infty }E_{n})&=1-\Pr \left(\{E_{n}{\text{ i.o.}}\}\right)=\Pr \left(\{E_{n}{\text{ i.o.}}\}^{c}\right)\\&=\Pr \left(\left(\bigcap _{N=1}^{\infty }\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)^{c}\right)=\Pr \left(\bigcup _{N=1}^{\infty }\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)\\&=\Pr \left(\liminf _{n\to \infty }E_{n}^{c}\right)=\lim _{N\to \infty }\Pr \left(\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right),\end{aligned}}}$$

${\textstyle \Pr \left(\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)=0}$ ${\displaystyle (E_{n})_{n=1}^{\infty }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(\bigcap _{n=N}^{\infty }E_{n}^{c}\right)&=\prod _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n}^{c})\\&=\prod _{n=N}^{\infty }(1-\Pr(E_{n})).\end{aligned}}}$$

сходимостибесконечных произведений ${\textstyle \sum _{n=N}^{\infty }\Pr(E_{n})}$

Аналог

Другой родственный результат — это так называемый аналог леммы Бореля–Кантелли . Это аналог леммы в том смысле, что она дает необходимое и достаточное условие для того, чтобы limsup был равен 1, путем замены предположения о независимости совершенно другим предположением, которое монотонно возрастает для достаточно больших индексов. Эта лемма гласит: ${\displaystyle (A_{n})}$

Позвольте быть таким, что , и пусть обозначает дополнение . Тогда вероятность того, что произойдет бесконечное число событий (т. е. произойдет хотя бы одно событие), равна единице тогда и только тогда, когда существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что ${\displaystyle (A_{n})}$ ${\displaystyle A_{k}\subseteq A_{k+1}}$ ${\displaystyle {\bar {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle (t_{k})}$

$${\displaystyle \sum _{k}\Pr(A_{t_{k+1}}\mid {\bar {A}}_{t_{k}})=\infty .}$$

Этот простой результат может быть полезен в таких задачах, как, например, связанные с вероятностью достижения случайного процесса, сутью которого обычно является выбор последовательности . ${\displaystyle (t_{k})}$

Кочен – Стоун

Пусть - последовательность событий с и Тогда существует положительная вероятность того, что они происходят бесконечно часто. ${\displaystyle (A_{n})}$ ${\textstyle \sum \Pr(A_{n})=\infty }$ ${\textstyle \liminf _{k\to \infty }{\frac {\sum _{1\leq m,n\leq k}\Pr(A_{m}\cap A_{n})}{\left(\sum _{n=1}^{k}\Pr(A_{n})\right)^{2}}}<\infty .}$ ${\displaystyle A_{n}}$

Смотрите также

• Закон нуля-единицы Леви
• Куратовская конвергенция
• Теорема о бесконечных обезьянах

Рекомендации

1. Э. Борель, «Деномбративные вероятности и арифметические приложения» Ренд. Цирк. Мат. Палермо (2) 27 (1909), стр. 247–271.
2. Ф. П. Кантелли, «Сулла вероятностей ограничена частотой», Атти Аккад. Наз. Линцеи 26:1 (1917), стр. 39–45.
3. Кленке, Ахим (2006). Теория вероятности . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-1-84800-047-6.
4. Ширяев, Альберт Н. (2016). Вероятность-1: Том 1. Тексты для аспирантов по математике. Том. 95. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. дои : 10.1007/978-0-387-72206-1. ISBN 978-0-387-72205-4.
5. «Ромик, Дэн. Конспект лекций по теории вероятностей, осень 2009 г., Калифорнийский университет в Дэвисе» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 июня 2010 г.

• Прохоров, А.В. (2001) [1994], «Лемма Бореля – Кантелли», Энциклопедия математики , EMS Press
• Феллер, Уильям (1961), Введение в теорию вероятностей и ее применение , John Wiley & Sons.
• Стейн, Элиас (1993), Гармонический анализ: методы с действительными переменными, ортогональность и осциллирующие интегралы , Princeton University Press.
• Брюсс, Ф. Томас (1980), «Аналог леммы Бореля Кантелли», J. Appl. Вероятно. , 17 : 1094–1101, doi : 10.2307/3213220, JSTOR  3213220, S2CID  250344204.
• Дарретт, Рик. «Вероятность: теория и примеры». Расширенная серия Даксбери, третье издание, Thomson Brooks/Cole, 2005.

Внешние ссылки

• Планетное математическое доказательство. См. простое доказательство леммы Бореля Кантелли.