Функция Чандрасекара–Кендалла

Осесимметричные собственные функции

Функции Чандрасекара–Кендалла являются собственными функциями оператора ротора , выведенными Субраманьяном Чандрасекаром и П.К. Кендаллом в 1957 году при попытке решить задачу о магнитных полях без учета сил . ^{[1] [2]} Функции были выведены обоими независимо, и они решили опубликовать свои выводы в одной статье.

Если уравнение бессилового магнитного поля записать в виде , где — магнитное поле, а — бессиловой параметр, с предположением о бездивергентном поле, , то наиболее общее решение для осесимметричного случая имеет вид ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\lambda \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =0}$

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times (\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} )+\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} }$

где — единичный вектор, а скалярная функция удовлетворяет уравнению Гельмгольца , т.е. ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda ^{2}\psi =0.}$

Такое же уравнение появляется и в потоках Бельтрами из гидродинамики, где вектор завихренности параллелен вектору скорости, т. е . . ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

Вывод

Взяв ротор уравнения и используя это же уравнение, получаем ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\lambda \mathbf {H} }$

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {H} )=\lambda ^{2}\mathbf {H} }$.

В векторном тождестве мы можем положить, поскольку оно является соленоидальным, что приводит к векторному уравнению Гельмгольца , ${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {H} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {H} )-\nabla ^{2}\mathbf {H} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {H} +\lambda ^{2}\mathbf {H} =0}$.

Каждое решение вышеприведенного уравнения не является решением исходного уравнения, но обратное верно. Если — скалярная функция, удовлетворяющая уравнению , то три линейно независимых решения векторного уравнения Гельмгольца задаются как ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda ^{2}\psi =0}$

${\displaystyle \mathbf {L} =\nabla \psi ,\quad \mathbf {T} =\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} ,\quad \mathbf {S} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times \mathbf {T} }$

где — фиксированный единичный вектор. Поскольку , можно найти, что . Но это то же самое, что и исходное уравнение, поэтому , где — полоидальное поле, а — тороидальное поле. Таким образом, подставляя в , мы получаем наиболее общее решение в виде ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {S} =\lambda \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {S} +\mathbf {T} )=\lambda (\mathbf {S} +\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {S} +\mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times (\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} )+\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} .}$

Цилиндрические полярные координаты

Взяв единичный вектор в направлении, т.е. , с периодичностью в направлении с исчезающими граничными условиями при , решение дается выражением ^{[3] [4]} ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {e} _{z}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r=a}$

${\displaystyle \psi =J_{m}(\mu _{j}r)e^{im\theta +ikz},\quad \lambda =\pm (\mu _{j}^{2}+k^{2})^{1/2}}$

где — функция Бесселя, , целые числа и определяются граничным условием Собственные значения для должны рассматриваться отдельно. Поскольку здесь , мы можем считать направление тороидальным, а направление — полоидальным, в соответствии с соглашением. ${\displaystyle J_{m}}$ ${\displaystyle k=\pm 2\pi n/L,\ n=0,1,2,\ldots }$ ${\displaystyle m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$ ${\displaystyle \mu _{j}}$ ${\displaystyle ak\mu _{j}J_{m}'(\mu _{j}a)+m\lambda J_{m}(\mu _{j}a)=0.}$ ${\displaystyle m=n=0}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {e} _{z}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta }$

Смотрите также

• Полоидально-тороидальное разложение
• Теорема Вольтьера

Ссылки

1. Чандрасекар, Субраманьян (1956). «О магнитных полях без силы». Труды Национальной академии наук . 42 (1): 1–5. doi : 10.1073/pnas.42.1.1 . ISSN  0027-8424. PMC 534220.  PMID 16589804  .
2. Чандрасекар, Субраманьян; Кендалл, ПК (сентябрь 1957 г.). «О свободных от силы магнитных полях». The Astrophysical Journal . 126 (1): 1–5. Bibcode :1957ApJ...126..457C. doi :10.1086/146413. ISSN  0004-637X. PMC 534220 . PMID  16589804. 
3. Монтгомери, Дэвид; Тернер, Лиф; Вахала, Джордж (1978). «Трехмерная магнитогидродинамическая турбулентность в цилиндрической геометрии». Физика жидкостей . 21 (5): 757–764. doi :10.1063/1.862295.
4. Йошида, З. (1991-07-01). «Дискретные собственные состояния плазмы, описываемые функциями Чандрасекара–Кендалла». Progress of Theoretical Physics . 86 (1): 45–55. doi : 10.1143/ptp/86.1.45 . ISSN  0033-068X.