В математике теорема Кэли –Бахараха — это утверждение о кубических кривых (плоских кривых степени три) в проективной плоскости P 2 . Исходная форма гласит:
Более внутренняя форма теоремы Кэли–Бахараха выглядит следующим образом:
Похожий результат о конических сечениях впервые доказал французский геометр Мишель Шасль , а затем Артур Кэли и Исаак Бахарах обобщили его на кубические сечения . [1]
Если семь из точек P 1 , ..., P 8 лежат на конике , то девятую точку можно выбрать на этой конике, поскольку C всегда будет содержать всю конику в силу теоремы Безу . В других случаях мы имеем следующее.
В этом случае каждая кубика через P 1 , ..., P 8 также проходит через пересечение любых двух различных кубик через P 1 , ..., P 8 , которое имеет по крайней мере девять точек (над алгебраическим замыканием ) в силу теоремы Безу . Эти точки не могут быть покрыты только P 1 , ..., P 8 , что дает нам P 9 .
Поскольку вырожденные коники являются объединением не более двух прямых, всегда есть четыре из семи точек на вырожденной конике, которые коллинеарны. Следовательно:
С другой стороны, предположим, что P 1 , P 2 , P 3 , P 4 коллинеарны и никакие семь точек из P 1 , ..., P 8 не являются коконическими. Тогда никакие пять точек из P 1 , ..., P 8 и никакие три точки из P 5 , P 6 , P 7 , P 8 не являются коллинеарными. Поскольку C всегда будет содержать всю прямую, проходящую через P 1 , P 2 , P 3 , P 4 в силу теоремы Безу , векторное пространство кубических однородных многочленов, которые обращаются в нуль на (аффинных конусах) P 1 , ..., P 8 , изоморфно векторному пространству квадратичных однородных многочленов , которые обращаются в нуль (аффинных конусах) P 5 , P 6 , P 7 , P 8 , которое имеет размерность два.
Хотя наборы условий для обоих результатов измерения два различны, они оба строго слабее полных общих положений: три точки могут быть коллинеарными, а шесть точек могут лежать на конике (в общем случае две точки определяют прямую, а пять точек определяют конику ). Для теоремы Кэли–Бахараха необходимо иметь семейство кубик, проходящих через девять точек, а не одну.
Согласно теореме Безу , две различные кубические кривые над алгебраически замкнутым полем , не имеющие общей неприводимой компоненты, встречаются ровно в девяти точках (с учетом кратности). Теорема Кэли–Бахараха, таким образом, утверждает, что последняя точка пересечения любых двух членов семейства кривых не перемещается, если восемь точек пересечения (без семи коконических) уже заданы.
Особым случаем является теорема Паскаля , в этом случае все две рассматриваемые кубики вырождены: даны шесть точек на конике (шестиугольнике), рассмотрим линии, полученные путем продолжения противоположных сторон – это дает две кубики по три линии каждая, которые пересекаются в 9 точках – 6 точках на конике и 3 других. Эти 3 дополнительные точки лежат на одной прямой, так как коника плюс прямая, проходящая через любые две из точек, являются кубиками, проходящими через 8 точек.
Второе применение — теорема Паппа о шестиугольнике , аналогичная приведенной выше, но шесть точек находятся на двух прямых, а не на коническом сечении.
Наконец, найден третий случай для доказательства ассоциативности сложения точек эллиптической кривой . Пусть первая кубика содержит три прямые BC, O(A+B) и A(B+C); а вторая кубика содержит три прямые AB, O(B+C) и C(A+B). Следующие восемь точек являются общими для обеих кубик: A, B, C, A+B, -AB, B+C, -BC, O. Следовательно, их девятые точки должны быть одинаковыми -A-(B+C)=-(A+B)-C, что дает ассоциативность.
Теорему Кэли–Бахараха и почему она возникает для степени 3 можно понять, подсчитав размерность . Проще говоря, девять точек определяют кубику, но в общем случае определяют уникальную кубику. Таким образом, если девять точек лежат на более чем одной кубике, что эквивалентно пересечению двух кубик (как 3 × 3 = 9 ), они не находятся в общем положении — они переопределены одним измерением — и, таким образом, кубики, проходящие через них, удовлетворяют одному дополнительному ограничению, что отражено в свойстве «восемь влечет девять». Общее явление называется сверхизбыточностью ; см. теорему Римана–Роха для поверхностей .
Формально, сначала напомним, что если заданы две кривые степени d , они определяют пучок (однопараметрическую линейную систему ) кривых степени d, взяв проективные линейные комбинации определяющих уравнений; это соответствует двум точкам, определяющим проективную прямую в пространстве параметров кривых, которое является просто проективным пространством.
Теорема Кэли–Бахараха возникает для высокой степени, поскольку число точек пересечения двух кривых степени d , а именно d 2 (по теореме Безу ), растет быстрее, чем число точек, необходимых для определения кривой степени d , которое определяется как
Сначала они согласуются при d = 3 , поэтому теорема Кэли–Бахараха справедлива для кубических уравнений, а для более высоких степеней d 2 больше, отсюда и обобщения для более высоких степеней.
В деталях, количество точек, необходимых для определения кривой степени d , равно количеству мономов степени d , за вычетом 1 из проективизации. Для первых нескольких d это дает:
Таким образом, они сначала совпадают для 3, а число пересечений больше, когда d > 3 .
Смысл этого в том, что 9 точек пересечения двух кубик находятся в особом положении относительно кубик, a fortiori для более высокой степени, но в отличие от более низкой степени: две прямые пересекаются в точке, которая тривиально находится в общем линейном положении, а два квадратичных пересекаются в четырех точках, которые (предполагая, что квадратичные неприводимы, так что никакие три точки не лежат на одной прямой) находятся в общем квадратичном положении, потому что пять точек определяют квадратичную, и любые четыре точки (в общем линейном положении) имеют пучок квадратичных через них, поскольку система недоопределена. Для кубик девять точек определяют кубику, но в общем случае они определяют уникальную кубику — таким образом, наличие двух различных кубик, проходящих через них (и, таким образом, пучка), является особым — пространство решений на одно измерение выше, чем ожидалось, и, таким образом, решения удовлетворяют дополнительному ограничению, а именно свойству «8 подразумевает 9».
Более конкретно, поскольку векторное пространство однородных многочленов P ( x , y , z ) третьей степени от трех переменных x , y , z имеет размерность 10 , система кубических кривых, проходящих через восемь (различных) точек, параметризуется векторным пространством размерности ≥ 2 (обращение в нуль многочлена в одной точке накладывает одно линейное условие). Можно показать, что размерность равна ровно двум, если никакие четыре точки не лежат на одной прямой и никакие семь точек не лежат на конике. Из этого факта можно вывести теорему Кэли–Бахараха. [2]
