stringtranslate.com

Теорема Пуанкаре–Бендиксона

В математике теорема Пуанкаре –Бендиксона представляет собой утверждение о долгосрочном поведении орбит непрерывных динамических систем на плоскости, цилиндре или двумерной сфере. [1]

Теорема

Для данной дифференцируемой действительной динамической системы, определенной на открытом подмножестве плоскости, каждое непустое компактное ω -предельное множество орбиты , содержащее лишь конечное число неподвижных точек, является либо [2]

Более того, существует не более одной орбиты, соединяющей различные неподвижные точки в одном направлении. Однако гомоклинических орбит, соединяющих одну неподвижную точку, может быть счетно много.

Обсуждение

Более слабая версия теоремы была первоначально предложена Анри Пуанкаре  (1892), хотя у него не было полного доказательства, которое позднее было дано Иваром Бендиксоном  (1901).

Непрерывные динамические системы, которые определены на двумерных многообразиях, отличных от плоскости (или цилиндра или двумерной сферы), а также те, которые определены на многообразиях более высокой размерности, могут демонстрировать ω -предельные множества , которые бросают вызов трем возможным случаям в соответствии с теоремой Пуанкаре–Бендиксона. На торе , например, возможно иметь рекуррентную непериодическую орбиту, [3] а трехмерные системы могут иметь странные аттракторы . Тем не менее, возможно классифицировать минимальные множества непрерывных динамических систем на любом двумерном компактном и связном многообразии благодаря обобщению Артура Дж. Шварца. [4] [5]

Приложения

Одним из важных следствий является то, что двумерная непрерывная динамическая система не может породить странный аттрактор . Если бы странный аттрактор C существовал в такой системе, то его можно было бы заключить в замкнутое и ограниченное подмножество фазового пространства. Сделав это подмножество достаточно малым, можно было бы исключить любые близлежащие стационарные точки. Но тогда теорема Пуанкаре–Бендиксона гласит, что C вообще не является странным аттрактором — он либо является предельным циклом , либо сходится к предельному циклу.

Важно отметить, что теорема Пуанкаре–Бендиксона неприменима к дискретным динамическим системам , где хаотическое поведение может возникать в двумерных или даже одномерных системах.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). «Теория Пуанкаре–Бендиксона двумерных автономных систем». Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 389–403. ISBN 978-0-89874-755-3.
  2. ^ Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
  3. ^ D'Heedene, RN (1961). "Автономное дифференциальное уравнение третьего порядка с почти периодическими решениями". Журнал математического анализа и приложений . 3 (2). Elsevier : 344–350. doi : 10.1016/0022-247X(61)90059-2 .
  4. ^ Шварц, Артур Дж. (1963). «Обобщение теоремы Пуанкаре-Бендиксона на замкнутые двумерные многообразия». American Journal of Mathematics . 85 (3): 453–458. doi :10.2307/2373135. JSTOR  2373135.
  5. ^ Каток, Анатоль; Хассельблатт, Борис (1995-04-28). Введение в современную теорию динамических систем (1-е изд.). Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511809187. ISBN 978-0-521-34187-5.