Преобразование Белинского–Захарова

Математическое преобразование для генерации солитонных решений уравнений поля Эйнштейна

Преобразование Белинского –Захарова (обратное) — это нелинейное преобразование, которое генерирует новые точные решения уравнения вакуумного поля Эйнштейна . Оно было разработано Владимиром Белинским и Владимиром Захаровым в 1978 году. ^[1] Преобразование Белинского–Захарова является обобщением обратного преобразования рассеяния . Решения, полученные с помощью этого преобразования, называются гравитационными солитонами (гравизолитонами). Несмотря на то, что термин «солитон» используется для описания гравитационных солитонов, их поведение сильно отличается от других (классических) солитонов. ^[2] В частности, гравитационные солитоны не сохраняют свою амплитуду и форму во времени, и до июня 2012 года их общая интерпретация оставалась неизвестной. Однако известно, что большинство черных дыр (и особенно метрика Шварцшильда и метрика Керра ) являются частными случаями гравитационных солитонов.

Введение

Преобразование Белинского–Захарова работает для пространственно-временных интервалов вида

${\displaystyle ds^{2}=f(-d(x^{0})^{2}+d(x^{1})^{2})+g_{ab}\,dx^{a}\,dx^{b}}$

где мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании для . Предполагается, что и функция , и матрица зависят только от координат и . Несмотря на то, что это специфическая форма интервала пространства-времени , зависящая только от двух переменных, она включает в себя большое количество интересных решений в качестве частных случаев, таких как метрика Шварцшильда , метрика Керра , метрика Эйнштейна–Розена и многие другие. ${\displaystyle a,b=2,3}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=g_{ab}}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle x^{1}}$

В этом случае вакуумное уравнение Эйнштейна распадается на два набора уравнений для матрицы и функции . Используя координаты светового конуса , первое уравнение для матрицы имеет вид ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle g=g_{ab}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \zeta =x^{0}+x^{1},\eta =x^{0}-x^{1}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle (\alpha g_{,\zeta }g^{-1})_{,\eta }+(\alpha g_{,\eta }g^{-1})_{,\zeta }=0}$

где — квадратный корень определителя , а именно ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \det g=\alpha ^{2}}$

Вторая система уравнений:

${\displaystyle (\ln f)_{,\zeta }={\frac {(\ln \alpha )_{,\zeta \zeta }}{(\ln \alpha )_{,\zeta }}}+{\frac {\alpha }{4\alpha _{,\zeta }}}\operatorname {tr} (g_{,\zeta }g^{-1}g_{,\zeta }g^{-1})}$

${\displaystyle (\ln f)_{,\eta }={\frac {(\ln \alpha )_{,\eta \eta }}{(\ln \alpha )_{,\eta }}}+{\frac {\alpha }{4\alpha _{,\eta }}}\operatorname {tr} (g_{,\eta }g^{-1}g_{,\eta }g^{-1})}$

Взяв след матричного уравнения для , мы обнаруживаем, что на самом деле удовлетворяет волновому уравнению ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha _{,\zeta \eta }=0}$

Пара Лакса

Рассмотрим линейные операторы, определенные как ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$

${\displaystyle D_{1}=\partial _{\zeta }+{\frac {2\alpha _{,\zeta }\lambda }{\lambda -\alpha }}\partial _{\lambda }}$

${\displaystyle D_{2}=\partial _{\eta }-{\frac {2\alpha _{,\eta }\lambda }{\lambda +\alpha }}\partial _{\lambda }}$

где — вспомогательный комплексный спектральный параметр. Простое вычисление показывает, что поскольку удовлетворяет волновому уравнению, . Эта пара операторов коммутирует, это пара Лакса . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \left[D_{1},D_{2}\right]=0}$

Суть обратного преобразования рассеяния заключается в переписывании нелинейного уравнения Эйнштейна в виде переопределенной линейной системы уравнений для новой матричной функции . Рассмотрим уравнения Белинского–Захарова: ${\displaystyle \psi =\psi (\zeta ,\eta ,\lambda )}$

${\displaystyle D_{1}\psi ={\frac {A}{\lambda -\alpha }}\psi }$

${\displaystyle D_{2}\psi ={\frac {B}{\lambda +\alpha }}\psi }$

Применяя к левой части первого уравнения и к левой части второго уравнения и вычитая результаты, левая часть обращается в нуль в результате коммутативности и . Что касается правой части, короткое вычисление показывает, что она действительно обращается в нуль также точно тогда, когда удовлетворяет нелинейному матричному уравнению Эйнштейна. ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle g}$

Это означает, что переопределенные линейные уравнения Белинского–Захарова разрешимы одновременно точно тогда, когда решает нелинейное матричное уравнение . На самом деле, можно легко восстановить из матричнозначной функции простым предельным процессом. Взяв предел в уравнениях Белинского–Захарова и умножив на справа, получаем ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lambda \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \psi ^{-1}}$

${\displaystyle \psi _{,\zeta }\psi ^{-1}=g_{,\zeta }g^{-1}}$

${\displaystyle \psi _{,\eta }\psi ^{-1}=g_{,\eta }g^{-1}}$

Таким образом, решение нелинейного уравнения получается из решения линейного уравнения Белинского–Захарова путем простой оценки ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(\zeta ,\eta )=\psi (\zeta ,\eta ,0)}$

Ссылки

1. Белинский, В.; Захаров, В. (1978). «Интегрирование уравнений Эйнштейна с помощью техники обратной задачи рассеяния и построение точных солитонных решений». Sov. Phys. JETP . 48 (6): 985–994. ISSN  0038-5646.
2. Белинский, В.; Вердагер, Э. (2001). Гравитационные солитоны . Кембриджские монографии по математической физике.