Стабильная группа

В теории моделей стабильная группа — это группа , которая стабильна в смысле теории стабильности . Важный класс примеров предоставляют группы конечного ранга Морли (см. ниже).

Примеры

Группа конечного ранга Морли — это абстрактная группа G , такая что формула x = x имеет конечный ранг Морли для модели G. Из определения следует, что теория группы конечного ранга Морли является ω-стабильной ; поэтому группы конечного ранга Морли являются стабильными группами. Группы конечного ранга Морли ведут себя определенным образом как конечномерные объекты. Поразительное сходство между группами конечного ранга Морли и конечными группами является предметом активных исследований.
Все конечные группы имеют конечный ранг Морли, фактически ранг 0.
Алгебраические группы над алгебраически замкнутыми полями имеют конечный ранг Морли, равный их размерности как алгебраических множеств .
Села (2006) показал, что свободные группы и, в более общем смысле, гиперболические группы без кручения стабильны. Свободные группы с более чем одним генератором не являются сверхстабильными .

Гипотеза Черлина–Зильбера

Гипотеза Черлина –Зильбера (также называемая гипотезой алгебраичности ), выдвинутая Грегори Черлиным (1979) и Борисом Зильбером (1977), предполагает, что бесконечные (ω-устойчивые) простые группы являются простыми алгебраическими группами над алгебраически замкнутыми полями . Гипотеза вытекала бы из гипотезы Зильбера о трихотомии. Черлин поставил вопрос для всех ω-устойчивых простых групп, но заметил, что даже случай групп конечного ранга Морли кажется сложным.

Прогресс в направлении этой гипотезы последовал за программой Боровика по переносу методов, используемых в классификации конечных простых групп . Одним из возможных источников контрпримеров являются плохие группы : неразрешимые связные группы конечного ранга Морли, все собственные связные определимые подгруппы которых нильпотентны . (Группа называется связной, если она не имеет определимых подгрупп конечного индекса, отличных от нее самой.)

Было доказано несколько частных случаев этой гипотезы, например:

Любая связная группа ранга Морли 1 является абелевой .
Черлин доказал, что связная группа ранга 2 разрешима.
Черлин доказал, что простая группа ранга Морли 3 является либо плохой группой, либо изоморфна PSL ₂ ( K ) для некоторого алгебраически замкнутого поля K , которое интерпретирует G.
Туна Алтинель, Александр В. Боровик и Грегори Черлин (2008) показали, что бесконечная группа конечного ранга Морли является либо алгебраической группой над алгебраически замкнутым полем характеристики 2, либо имеет конечный 2-ранг.

Ссылки

Altinel, Tuna ; Borovik, Alexandre; Cherlin, Gregory (1997), "Группы смешанного типа", J. Algebra , 192 (2): 524–571, doi : 10.1006/jabr.1996.6950 , MR 1452677
Altinel, Tuna; Borovik, Alexandre V.; Cherlin, Gregory (2008), Простые группы конечного ранга Морли , Математические обзоры и монографии, т. 145, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , doi : 10.1090/surv/145 , ISBN 978-0-8218-4305-5, МР 2400564
Боровик, А.В. (1998), «Ручные группы нечетного и четного типа», в Картер, Р.В.; Саксл, Дж. (ред.), Алгебраические группы и их представления , NATO ASI Series C: Математические и физические науки, т. 517, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. 341–366
Боровик, А.В.; Несин, Али (1994), Группы конечного ранга Морли , Oxford Logic Guides, т. 26, Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 0-19-853445-0, МР 1321141
Берджес, Джеффри (2007), «Метод Бендера в группах конечного ранга Морли» (PDF) , J. Algebra , 312 (1): 33–55, doi :10.1016/j.jalgebra.2005.10.009, MR 2320445, S2CID 9031997
Черлин, Г. (1979), «Группы малого ранга Морли», Ann. Math. Logic , 17 (1–2): 1–28, doi : 10.1016/0003-4843(79)90019-6
Macpherson, Dugald (2010), "Обзор "Простых групп конечного ранга Морли" Т. Алтинеля, А. В. Боровика и Г. Черлина", Бюллетень Американского математического общества , 47 (4): 729–734, doi : 10.1090/S0273-0979-10-01287-5
Пиллэй, Ананд (2001) [1994], "Группа конечного ранга Морли", Энциклопедия математики , EMS Press
Пуаза, Бруно (2001), Стабильные группы , Математические обзоры и монографии, т. 87, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xiv+129, doi :10.1090/surv/087, ISBN 0-8218-2685-9, г-н 1827833(Перевод с французского оригинала 1987 года.)
Скэнлон, Томас (2002), «Обзор «Стабильных групп»", Bull. Amer. Math. Soc. , 39 (4): 573–579, doi : 10.1090/S0273-0979-02-00953-9
Села, Злил (2006), Диофантова геометрия в группах VIII: стабильность , arXiv : math/0609096 , Bibcode : 2006math......9096S
Вагнер, Фрэнк Олаф (1997), Стабильные группы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-59839-7
Зильбер Б.И. (1977), "Группы и кольца, теория категорична", Фундамент. Математика. , 95 : 173–188, doi : 10.4064/fm-95-3-173-188 , МР 0441720