Конструкция Голдберга-Коксетера

Многогранник Голдберга (3,1) и геодезический многогранник (3,1). Многогранники Голдберга и геодезические многогранники были предшественниками операции Голдберга–Коксетера.

Конструкция Голдберга–Коксетера или операция Голдберга–Коксетера ( конструкция GC или операция GC ) — это графовая операция, определенная на регулярных многогранных графах со степенью 3 или 4. ^{[1] [2]} Она также применяется к двойственному графу этих графов, т. е. графам с треугольными или четырехугольными «гранями». Конструкция GC может рассматриваться как подразделение граней многогранника решеткой треугольных, квадратных или шестиугольных многоугольников, возможно, перекошенных относительно исходной грани: это расширение концепций, введенных многогранниками Голдберга и геодезическими многогранниками . Конструкция GC в основном изучается в органической химии для ее применения к фуллеренам , ^{[1] [2],} но она применялась к наночастицам , ^[3] компьютерному проектированию , ^[4] плетению корзин , ^{[5] [6]} и общему изучению теории графов и многогранников . ^[7]

Конструкция Голдберга–Коксетера может быть обозначена как , где — граф, над которым производятся операции, а — целые числа, и . ${\displaystyle GC_{k,\ell }(G_{0})}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \ell \geq 0}$

История

Майкл Голдберг представил многогранник Голдберга в 1937 году. ^[8] Бакминстер Фуллер ввел термин « геодезический купол » в 1940-х годах, хотя он в значительной степени держал математику, лежащую в основе куполов, в коммерческой тайне. ^[9] Геодезические купола являются геометрическим дуалом (части) многогранника Голдберга: полный геодезический купол можно рассматривать как геодезический многогранник , дуальный многограннику Голдберга. В 1962 году Дональд Каспар и Аарон Клуг опубликовали статью о геометрии вирусных капсидов , в которой применили и расширили концепции Голдберга и Фуллера. ^[10] HSM Coxeter опубликовал статью в 1971 году, охватывающую большую часть той же информации. ^[11] Каспар и Клуг были первыми, кто опубликовал наиболее общую правильную конструкцию геодезического многогранника, сделав название «конструкция Голдберга–Коксетера» примером закона эпонимии Стиглера . ^[12]

Открытие бакминстерфуллерена в 1985 году побудило к исследованию других молекул со структурой многогранника Голдберга. Термины «фуллерен Голдберга–Коксетера» и «конструкция Голдберга–Коксетера» были введены Мишелем Деза в 2000 году. ^{[13] [14]} Это также первый случай рассмотрения степени 4.

Строительство

Этот раздел в значительной степени следует двум статьям Дезы и др. ^{[1] [2]}

Мастер-полигоны

Регулярные решетки над комплексной плоскостью могут использоваться для создания «главных полигонов». В терминологии геодезического купола это «структура разбиения» или «главный многогранный треугольник» (PPT). В 4-регулярном случае используется квадратная решетка над гауссовыми целыми числами , а в 3-регулярном случае используется треугольная решетка над целыми числами Эйзенштейна . Для удобства используется альтернативная параметризация целых чисел Эйзенштейна, основанная на шестом корне из единицы вместо третьего. ^[a] Обычное определение целых чисел Эйзенштейна использует элемент . Норма, , определяется как квадрат абсолютного значения комплексного числа . Для 3-регулярных графов эта норма является T-числом или числом триангуляции, используемым в вирусологии. ${\textstyle \omega ={\frac {1}{2}}\left(-1+i{\sqrt {3}}\right)=e^{{\frac {2}{3}}\pi i}=u-1}$ ${\displaystyle t(k,\ell )}$

Главный многоугольник — это равносторонний треугольник или квадрат, наложенный на решетку. Таблица справа дает формулы для вершин главных многоугольников в комплексной плоскости, а галерея ниже показывает главный треугольник и квадрат (3,2). Так что многоугольник может быть описан одним комплексным числом, одна вершина зафиксирована на 0. Существует несколько чисел, которые могут описывать один и тот же многоугольник: они являются ассоциированными друг с другом: если и являются ассоциированными, то в Эйзенштейнах или в Гауссианах для некоторого целого числа . Набор элементов, которые являются ассоциированными друг с другом, является классом эквивалентности , а элемент каждого класса эквивалентности, который имеет и является нормальной формой . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=u^{n}y}$ ${\displaystyle x=i^{n}y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b\geq 0}$

• 
  (3,2) главный треугольник над треугольной сеткой
• 
  (3,2) главный квадрат над квадратной сеткой

Мастер-полигоны и оператор можно классифицировать следующим образом: ${\displaystyle GC_{k,\ell }\left(G_{0}\right)}$

• Класс I: ${\displaystyle \ell =0.}$
• Класс II: ${\displaystyle k=\ell .}$
• Класс III: все остальные. Операторы класса III существуют в хиральных парах: — это хиральная пара . ${\displaystyle GC_{k,\ell }\left(G_{0}\right)}$ ${\displaystyle GC_{\ell ,k}(G_{0})}$

Ниже приведены таблицы основных треугольников и квадратов. Класс I соответствует первому столбцу, а класс II соответствует диагонали с немного более темным фоном.

Мастер-полигоны для треугольников

Мастер-полигоны для квадратов

Композиция операций Голдберга–Коксетера соответствует умножению комплексных чисел. Если и только если (т.е. ряд операций слева производит граф, изоморфный графу справа), то для 3-регулярного графа находится в классе эквивалентности , а для 4-регулярного графа находится в классе эквивалентности . Из этого есть несколько полезных следствий: ${\displaystyle GC_{a,b}\left(GC_{c,d}\left(G_{0}\right)\right)=GC_{e,f}\left(G_{0}\right)}$ ${\displaystyle (a+bu)(c+du)}$ ${\displaystyle (e+fu)}$ ${\displaystyle (a+bi)(c+di)}$ ${\displaystyle (e+fi)}$

• Применение повторных операций Голдберга–Кокстера коммутативно и ассоциативно .
• Комплексное сопряжение элемента или соответствует отражению построенного графа. ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a+bu}$
• Поскольку гауссовы целые числа и евклидовы целые числа являются евклидовыми доменами , элементы этих доменов могут быть однозначно разложены на простые элементы. Поэтому также имеет смысл разложить оператор Голдберга–Коксетера на последовательность «простых» операторов Голдберга–Коксетера, и эта последовательность является уникальной (с точностью до перестановки).

Выполнение построения GC

Этапы выполнения построения ГХ следующие: ${\displaystyle GC_{k,\ell }(G_{0})}$

1. Определите главный многоугольник на основе , , и ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle G_{0}}$
2. При работе с 3- или 4-регулярным графом (вместо графа с треугольными/четырехугольными гранями) берем его двойственный граф . Этот двойственный граф будет иметь треугольные или четырехугольные грани.
3. Замените грани триангулированного/квадрангулированного графа на главный многоугольник. Помните, что планарные графы имеют «внешнюю» грань, которую также необходимо заменить. В приведенном ниже примере это делается путем присоединения ее к одной стороне графа и соединения других сторон по мере необходимости. Это временно вводит перекрывающиеся ребра в граф, но полученный граф является планарным. Вершины можно переставлять так, чтобы не было перекрывающихся ребер.
4. Если исходный граф был 3- или 4-регулярным, берем двойственный результат шага 3. В противном случае результатом шага 3 является построение GC.

Ниже приведен пример, где построен на скелете куба . В последних двух графиках синие линии — это ребра , а черные линии — это ребра . (Пунктирные линии — это обычные ребра графа, просто нарисованные по-другому , чтобы сделать перекрывающиеся ребра графа более заметными.) Красные вершины находятся в и остаются в , тогда как синие вершины создаются заново при построении и находятся только в . ${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$ ${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$

• 
  Главный квадрат (1,1)
• 
  Начальный многогранник (Куб)
• 
  ${\displaystyle G_{0}}$, скелет куба
• 
  Промежуточный этап построения . ${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$
• 
  Результат после перестановки ${\displaystyle GC_{1,1}(G_{0})}$
• 
  Вложение результата ( ромбододекаэдр )

Расширения

Конструкция Голдберга–Коксетера может быть легко расширена на некоторые непланарные графы, такие как тороидальные графы . ^[15] Операторы класса III из-за своей хиральности требуют графа, который может быть встроен в ориентируемую поверхность , но операторы классов I и II могут использоваться на неориентируемых графах.

Смотрите также

• Геодезическая сетка
• Четырехсторонний сферический куб
• Поверхность разделения петли
• Поверхность подразделения Кэтмелла–Кларка
• Обозначение многогранника Конвея

Сноски

1. Это упрощает определение класса эквивалентности, делает определение класса одинаковым для 3- и 4-регулярных графов и соответствует параметризации, традиционно используемой для геодезических куполов и многогранников Голдберга.

Ссылки

1. Deza, M.; Dutour, M (2004). "Конструкции Голдберга–Коксетера для 3- и 4-валентных плоских графов". Электронный журнал комбинаторики . 11 : #R20. doi : 10.37236/1773 .
2. Deza, M.-M.; Sikirić, MD; Shtogrin, MI (2015). "Goldberg–Coxeter Construction and Parameterization". Геометрическая структура графов, имеющих отношение к химии: зигзаги и центральные контуры . Springer. стр. 131–148. ISBN 9788132224495.
3. Indelicato, G; Burkhard, P; Twarock, R (2017). «Классификация самоорганизующихся архитектур белковых наночастиц для применения в разработке вакцин». Royal Society Open Science . 4 (4): 161092. Bibcode :2017RSOS....461092I. doi :10.1098/rsos.161092. PMC 5414263 . PMID  28484626. 
4. Котани, М.; Найто, Х.; Омори, Т. (2017). «Теория дискретной поверхности». Computer Aided Geometric Design . 58 : 24–54. doi : 10.1016/j.cagd.2017.09.002 .
5. Tarnai, T. (2006). Корзины (PDF) . IASS-APCS 2006 Int. Symp. Новые Олимпийские игры. Новые оболочки и пространственные конструкции. Пекинский технологический университет: Международная ассоциация по оболочкам и пространственным конструкциям. стр. IL09.
6. Тарнаи, Т.; Ковач, Ф.; Фаулер, П.У.; Гест, С.Д. (2012). «Обертывание куба и других многогранников». Труды Королевского общества A. 468 ( 2145): 2652. Bibcode : 2012RSPSA.468.2652T. doi : 10.1098/rspa.2012.0116 .
7. Никодемос, Диего; Стехлик, Матей (2018). «Упаковка и покрытие нечетных циклов в кубических плоских графах с малыми гранями». Европейский журнал комбинаторики . 67 : 208–221. arXiv : 1701.07748 . doi : 10.1016/j.ejc.2017.08.004. S2CID  27137740.
8. Голдберг, М. (1937). «Класс многосимметричных многогранников». Tohoku Mathematical Journal .
9. Кеннер, Х. (1976). Геодезическая математика и как ее использовать . Издательство Калифорнийского университета.
10. Каспар, ДЛД; Клуг, А. (1962). «Физические принципы построения обычных вирусов». Cold Spring Harb. Symp. Quant. Biol . 27 : 1–24. doi :10.1101/sqb.1962.027.001.005. PMID  14019094.
11. Коксетер, Х. С. М. (1971). «Вирусные макромолекулы и геодезические купола». В Butcher, JC (ред.). Спектр математики . Oxford University Press. стр. 98–107.
12. Бринкманн, Г.; Гётшалькс, П.; Шейн, С. (2017). «Голдберг, Фуллер, Каспар, Клуг и Коксетер и общий подход к локальным операциям сохранения симметрии». Труды Королевского общества A. 473 ( 2206): 20170267. arXiv : 1705.02848 . Bibcode : 2017RSPSA.47370267B. doi : 10.1098/rspa.2017.0267. S2CID  119171258.
13. Деза, М.; Фаулер, П. В.; Рассат, А.; Роджерс, К. М. (2000). «Фуллерены как мозаики поверхностей». Журнал химической информации и компьютерных наук . 40 (3): 550–8. CiteSeerX 10.1.1.105.5973 . doi :10.1021/ci990066h. PMID  10850758. 
14. Хирш, Андреас; Чэнь, Чжунфан; Цзяо, Хайцзюнь (2000). «Сферическая ароматичность в симметричных фуллеренах Ih : правило 2(N+1)2». Angewandte Chemie . 39 (21): 3915–3917. doi :10.1002/1521-3773(20001103)39:21<3915::AID-ANIE3915>3.0.CO;2-O. PMID  29711706.
15. Деза, Мишель-Мари; Сикирич, Матье Дютур (2016). «Lego-like сферы и торы». Журнал математической химии . 55 (3): 752. doi :10.1007/s10910-016-0706-8. S2CID  125087322.