Модуляционная неустойчивость

Явление, при котором отклонения от периодической формы волны усиливаются нелинейностью.

В области нелинейной оптики и гидродинамики модуляционная неустойчивость или неустойчивость боковой полосы представляет собой явление, при котором отклонения от периодической формы волны усиливаются нелинейностью, что приводит к образованию спектральных боковых полос и , в конечном итоге, к разложению волны на последовательность импульсов . ^{[1] [2] [3]}

Широко распространено мнение, что это явление было впервые обнаружено − и смоделировано − для периодических поверхностных гравитационных волн ( волн Стокса ) на глубокой воде Т. Бруком Бенджамином и Джимом Э. Фейром в 1967 году. ^[4] Поэтому оно также известно как неустойчивость Бенджамина-Фейра . Однако пространственная модуляционная неустойчивость мощных лазеров в органических растворителях наблюдалась русскими учеными Н. Ф. Пилипецким и А. Р. Рустамовым в 1965 году, ^[5] а математический вывод модуляционной неустойчивости был опубликован В. И. Беспаловым и В. И. Талановым в 1966 году. ^[6] Модуляционная неустойчивость является возможным механизмом генерации волн-убийц . ^{[7] [8]}

Начальная нестабильность и усиление

Нестабильность модуляции происходит только при определенных обстоятельствах. Наиболее важным условием является аномальная дисперсия групповой скорости , при которой импульсы с более короткими длинами волн распространяются с более высокой групповой скоростью , чем импульсы с более длинными длинами волн. ^[3] (Это условие предполагает фокусирующую нелинейность Керра , при которой показатель преломления увеличивается с оптической интенсивностью.) ^[3]

Нестабильность сильно зависит от частоты возмущения. На определенных частотах возмущение будет иметь небольшой эффект, в то время как на других частотах возмущение будет расти экспоненциально . Общий спектр усиления можно вывести аналитически , как показано ниже. Случайные возмущения, как правило, содержат широкий диапазон частотных компонентов и, таким образом, вызывают генерацию спектральных боковых полос, которые отражают базовый спектр усиления.

Тенденция возмущающего сигнала к росту делает модуляционную нестабильность формой усиления . Настраивая входной сигнал на пик спектра усиления, можно создать оптический усилитель .

Математический вывод спектра усиления

Спектр усиления можно получить ^[3] , исходя из модели неустойчивости модуляции, основанной на нелинейном уравнении Шредингера ^{[ необходимо разъяснение ]}

${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial z}}+i\beta _{2}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2}}}=i\gamma |A|^{2}A,}$

которая описывает эволюцию комплексно -значной медленно меняющейся огибающей со временем и расстоянием распространения . Мнимая единица удовлетворяет Модель включает дисперсию групповой скорости, описываемую параметром , и нелинейность Керра с величиной Предполагается периодическая форма волны постоянной мощности . Это задается решением ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i^{2}=-1.}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle A={\sqrt {P}}e^{i\gamma Pz},}$

где фактор колебательной фазы учитывает разницу между линейным показателем преломления , и модифицированным показателем преломления , как это вызвано эффектом Керра. Начало неустойчивости можно исследовать, возмущая это решение как ${\displaystyle e^{i\gamma Pz}}$

${\displaystyle A=\left({\sqrt {P}}+\varepsilon (t,z)\right)e^{i\gamma Pz},}$

где — возмущение (которое для удобства математики умножено на тот же фазовый множитель, что и ). Подстановка этого обратно в нелинейное уравнение Шредингера дает уравнение возмущения вида ${\displaystyle \varepsilon (t,z)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial z}}+i\beta _{2}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon }{\partial t^{2}}}=i\gamma P\left(\varepsilon +\varepsilon ^{*}\right),}$

где возмущение предполагалось малым, таким образом, что Комплексное сопряжение обозначается как Неустойчивость теперь может быть обнаружена путем поиска решений уравнения возмущения, которые растут экспоненциально. Это можно сделать с помощью пробной функции общего вида ${\displaystyle |\varepsilon |^{2}\ll P.}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ^{*}.}$

${\displaystyle \varepsilon =c_{1}e^{ik_{m}z-i\omega _{m}t}+c_{2}e^{-ik_{m}^{*}z+i\omega _{m}t},}$

где и — волновое число и (действительная) угловая частота возмущения, а и — константы. Нелинейное уравнение Шредингера строится путем удаления несущей волны моделируемого света, поэтому частота возмущенного света формально равна нулю. Следовательно, и не представляют абсолютные частоты и волновые числа, а представляют собой разницу между ними и волновыми числами исходного пучка света. Можно показать, что пробная функция действительна при условии и в соответствии с условием ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle c_{2}=c_{1}^{*}}$

${\displaystyle k_{m}=\pm {\sqrt {\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}+2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}}.}$

Это дисперсионное соотношение существенно зависит от знака члена в квадратном корне, так как если оно положительное, волновое число будет действительным , что соответствует простым колебаниям вокруг невозмущенного решения, в то время как если оно отрицательное, волновое число станет мнимым , что соответствует экспоненциальному росту и, следовательно, неустойчивости. Таким образом, неустойчивость возникнет, когда

${\displaystyle \beta _{2}^{2}\omega _{m}^{2}+2\gamma P\beta _{2}<0,}$  это для  ${\displaystyle \omega _{m}^{2}<-2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}}.}$

Это условие описывает требование аномальной дисперсии (такой, что является отрицательным). Спектр усиления можно описать, определив параметр усиления как так, что мощность возмущающего сигнала растет с расстоянием как Усиление, таким образом, определяется как ${\displaystyle \gamma \beta _{2}}$ ${\displaystyle g\equiv 2|\Im \{k_{m}\}|,}$ ${\displaystyle P\,e^{gz}.}$

${\displaystyle g={\begin{cases}2{\sqrt {-\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}-2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}},&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}<-2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}},\\[2ex]0,&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}\geq -2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}},\end{cases}}}$

где, как отмечено выше, — разность между частотой возмущения и частотой начального света. Скорость роста максимальна для ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle \omega ^{2}=-\gamma P/\beta _{2}.}$

Неустойчивость модуляции в мягких системах

Модуляционная нестабильность оптических полей наблюдалась в фотохимических системах, а именно в фотополимеризующейся среде. ^{[9] [10] [11] [12]} Модуляционная нестабильность возникает из-за присущей оптической нелинейности систем из-за изменений показателя преломления, вызванных фотореакцией. ^[13] Модуляционная нестабильность пространственно и временно некогерентного света возможна из-за не мгновенного отклика фотореактивных систем, которые, следовательно, реагируют на среднюю по времени интенсивность света, в которой фемтосекундные флуктуации компенсируются. ^[14]

Ссылки

1. Бенджамин, Т. Брук ; Фейр, Дж. Э. (1967). «Распад волновых поездов на глубокой воде. Часть 1. Теория». Журнал механики жидкости . 27 (3): 417–430. Bibcode : 1967JFM....27..417B. doi : 10.1017/S002211206700045X. S2CID  121996479.
2. Бенджамин, ТБ (1967). «Неустойчивость периодических волновых поездов в нелинейных дисперсионных системах». Труды Лондонского королевского общества . A. Математические и физические науки. 299 (1456): 59–76. Bibcode : 1967RSPSA.299...59B. doi : 10.1098/rspa.1967.0123. S2CID  121661209.Завершилось обсуждением Клауса Хассельмана .
3. Агравал, Говинд П. (1995). Нелинейная волоконная оптика (2-е изд.). Сан-Диего (Калифорния): Academic Press. ISBN 978-0-12-045142-5.
4. Юэн, ХК; Лейк, БМ (1980). «Неустойчивости волн на глубокой воде». Annual Review of Fluid Mechanics . 12 : 303–334. Bibcode :1980AnRFM..12..303Y. doi :10.1146/annurev.fl.12.010180.001511.
5. Пилиптецкий, Н.Ф.; Рустамов, А.Р. (31 мая 1965 г.). «Наблюдение самофокусировки света в жидкостях». Письма в ЖЭТФ . 2 (2): 55–56.
6. Беспалов, В.И.; Таланов В.И. (15 июня 1966 г.). «Нитематозная структура световых лучей в нелинейных жидкостях». ЖЭТФ Письма Редакции . 3 (11): 471–476. Бибкод :1966ЖПмР...3..471Б. Архивировано из оригинала 31 июля 2020 года . Проверено 17 февраля 2021 г.
7. Янссен, Питер АЭМ (2003). «Нелинейные четырехволновые взаимодействия и волны-убийцы». Журнал физической океанографии . 33 (4): 863–884. Bibcode :2003JPO....33..863J. doi : 10.1175/1520-0485(2003)33<863:NFIAFW>2.0.CO;2 .
8. Dysthe, Kristian; Krogstad, Harald E.; Müller, Peter (2008). «Океанические волны-убийцы». Annual Review of Fluid Mechanics . 40 (1): 287–310. Bibcode : 2008AnRFM..40..287D. doi : 10.1146/annurev.fluid.40.111406.102203.
9. Берджесс, Ян Б.; Шиммелл, Уитни Э.; Сараванамутту, Калаичелви (2007-04-01). «Спонтанное формирование узора из-за нестабильности модуляции некогерентного белого света в фотополимеризующейся среде». Журнал Американского химического общества . 129 (15): 4738–4746. doi :10.1021/ja068967b. ISSN  0002-7863. PMID  17378567.
10. Баскер, Динеш К.; Брук, Майкл А.; Сараванамутту, Калайчелви (2015). «Спонтанное возникновение нелинейных световых волн и самозаписанной волноводной микроструктуры во время катионной полимеризации эпоксидов». Журнал физической химии C. 119 ( 35): 20606–20617. doi :10.1021/acs.jpcc.5b07117.
11. Бириа, Саид; Малли, Филипп ПА; Кахан, Тара Ф.; Хосейн, Ян Д. (2016-03-03). «Формирование настраиваемого нелинейного оптического рисунка и микроструктура в сшитых акрилатных системах во время свободнорадикальной полимеризации». Журнал физической химии C. 120 ( 8): 4517–4528. doi :10.1021/acs.jpcc.5b11377. ISSN  1932-7447.
12. Бириа, Саид; Малли, Филлип ПА; Кахан, Тара Ф.; Хосейн, Ян Д. (15.11.2016). «Оптический автокатализ устанавливает новую пространственную динамику в фазовом разделении полимерных смесей во время фотоотверждения». ACS Macro Letters . 5 (11): 1237–1241. doi :10.1021/acsmacrolett.6b00659. PMID  35614732.
13. Kewitsch, Anthony S.; Yariv, Amnon (1996-01-01). "Самофокусировка и самозахват оптических лучей при фотополимеризации" (PDF) . Optics Letters . 21 (1): 24–6. Bibcode :1996OptL...21...24K. doi :10.1364/ol.21.000024. ISSN  1539-4794. PMID  19865292.
14. Пространственные солитоны | Стефано Трилло | Springer.

Дальнейшее чтение

• Захаров, В.Е.; Островский, Л.А. (2009). "Модуляционная неустойчивость: начало" (PDF) . Physica D: Nonlinear Phenomena . 238 (5): 540–548. Bibcode : 2009PhyD..238..540Z. doi : 10.1016/j.physd.2008.12.002.^{[ постоянная мертвая ссылка ‍ ]}