Теорема Шредингера–Х.Дж.В.

Концепция квантовой теории информации

В квантовой теории информации и квантовой оптике теорема Шредингера –ХДжВ является результатом о реализации смешанного состояния квантовой системы как ансамбля чистых квантовых состояний и связи между соответствующими очищениями операторов плотности . Теорема названа в честь физиков и математиков Эрвина Шредингера , ^[1] Лейна П. Хьюстона , Ричарда Йожи и Уильяма Вуттерса . ^[2] Результат был также найден независимо (хотя и частично) Николасом Гизином , ^[3] и Николасом Хаджисаввасом, основываясь на работе Эда Джейнса , ^{[4] [5],} в то время как значительная его часть была также независимо открыта Н. Дэвидом Мермином . ^[6] Благодаря своей сложной истории она также известна под различными другими названиями, такими как теорема ГХДжВ , ^[7] теорема ХДжВ и теорема об очищении .

Очистка смешанного квантового состояния

Пусть будет конечномерным комплексным гильбертовым пространством , и рассмотрим общее (возможно смешанное ) квантовое состояние , определенное на и допускающее разложение вида для набора (не обязательно взаимно ортогональных) состояний и коэффициентов таких, что . Отметим, что любое квантовое состояние может быть записано таким образом для некоторых и . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ $${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle p_{i}\geq 0}$ ${\textstyle \sum _{i}p_{i}=1}$ ${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}_{i}}$ ${\displaystyle \{p_{i}\}_{i}}$

Любое такое может быть очищено , то есть представлено как частичный след чистого состояния, определенного в большем гильбертовом пространстве. Точнее, всегда можно найти (конечномерное) гильбертово пространство и чистое состояние, такие что . Более того, состояния, удовлетворяющие этому, являются всеми и только теми, которые имеют вид для некоторого ортонормированного базиса . Состояние тогда называется «очищением ». Поскольку вспомогательное пространство и базис могут быть выбраны произвольно, очищение смешанного состояния не является уникальным; на самом деле, существует бесконечно много очищений данного смешанного состояния. ^[9] Поскольку все они допускают разложение в форме, приведенной выше, при любой паре очищений всегда существует некоторая унитарная операция, такая что ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle \rho =\operatorname {Tr} _{A}{\big (}|\Psi _{SA}\rangle \langle \Psi _{SA}|{\big )}}$ ${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle }$ $${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle }$$ ${\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}_{i}\subset {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle ,|\Psi '\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle U:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}}$ $${\displaystyle |\Psi '\rangle =(I\otimes U)|\Psi \rangle .}$$

Теорема

Рассмотрим смешанное квантовое состояние с двумя различными реализациями как ансамбль чистых состояний как и . Здесь оба и не предполагаются взаимно ортогональными. Будет два соответствующих очищения чтения смешанного состояния следующим образом: ${\displaystyle \rho }$ ${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$ ${\textstyle \rho =\sum _{j}q_{j}|\varphi _{j}\rangle \langle \varphi _{j}|}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi _{j}\rangle }$ ${\displaystyle \rho }$

Очистка 1: ; ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle }$

Очищение 2: . ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{2}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes |b_{j}\rangle }$

Множества и представляют собой два набора ортонормированных базисов соответствующих вспомогательных пространств. Эти два очищения отличаются только унитарным преобразованием, действующим на вспомогательное пространство, а именно, существует унитарная матрица такая, что . ^[10] Следовательно, , что означает, что мы можем реализовать различные ансамбли смешанного состояния, просто выполняя различные измерения на очищающей системе. ${\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|b_{j}\rangle \}}$ ${\displaystyle U_{A}}$ ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =(I\otimes U_{A})|\Psi _{SA}^{2}\rangle }$ ${\textstyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes U_{A}|b_{j}\rangle }$

Ссылки

1. Шредингер, Эрвин (1936). «Вероятностные отношения между разделенными системами». Труды Кембриджского философского общества . 32 (3): 446–452. Bibcode :1936PCPS...32..446S. doi :10.1017/S0305004100019137.
2. Hughston, Lane P.; Jozsa, Richard; Wootters, William K. (ноябрь 1993 г.). «Полная классификация квантовых ансамблей, имеющих заданную матрицу плотности». Physics Letters A. 183 ( 1): 14–18. Bibcode : 1993PhLA..183...14H. doi : 10.1016/0375-9601(93)90880-9. ISSN  0375-9601.
3. Гизин, Н. (1989). «Стохастическая квантовая динамика и теория относительности», Helvetica Physica Acta 62, 363–371.
4. Хаджисаввас, Николас (1981). «Свойства смесей в неортогональных состояниях». Письма в математическую физику . 5 (4): 327–332. Bibcode :1981LMaPh...5..327H. doi :10.1007/BF00401481.
5. Джейнс, ET (1957). «Теория информации и статистическая механика. II». Physical Review . 108 (2): 171–190. Bibcode : 1957PhRv..108..171J. doi : 10.1103/PhysRev.108.171.
6. Фукс, Кристофер А. (2011). Совершеннолетие с квантовой информацией: заметки об идее Павла . Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-19926-1. OCLC  535491156.
7. Мермин, Н. Дэвид (1999). «Что эти корреляции знают о реальности? Нелокальность и абсурд». Основы физики . 29 (4): 571–587. arXiv : quant-ph/9807055 . Bibcode :1998quant.ph..7055M. doi :10.1023/A:1018864225930.
8. Нильсен, Майкл А.; Чуан, Айзек Л., «Разложение Шмидта и очистка», Квантовые вычисления и квантовая информация , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 110–111.
9. Уотрус, Джон (2018). Теория квантовой информации. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. doi : 10.1017/9781316848142. ISBN 978-1-107-18056-7.
10. Киркпатрик, КА (февраль 2006 г.). «Теорема Шредингера-HJW». Foundations of Physics Letters . 19 (1): 95–102. arXiv : quant-ph/0305068 . Bibcode :2006FoPhL..19...95K. doi :10.1007/s10702-006-1852-1. ISSN  0894-9875.