В арифметической геометрии группа Тейта –Шафаревича Ш( A / K ) абелева многообразия A ( или, более общо, групповая схема ), определенная над числовым полем K, состоит из элементов группы Вейля–Шатле , где — абсолютная группа Галуа поля K , которые становятся тривиальными во всех пополнениях поля K (т. е. действительных и комплексных пополнениях, а также p -адических полях, полученных из K путем пополнения относительно всех его архимедовых и неархимедовых оценок v ). Таким образом, в терминах когомологий Галуа Ш ( A / K ) можно определить как
Эта группа была введена Сержем Лэнгом и Джоном Тейтом [1] и Игорем Шафаревичем . [2] Касселс ввел обозначение Ш( A / K ) , где Ш — кириллическая буква « Ша », для Шафаревича, заменив старое обозначение TS или TŠ .
Геометрически нетривиальные элементы группы Тейта–Шафаревича можно рассматривать как однородные пространства A , которые имеют K v - рациональных точек для каждой позиции v из K , но не имеют K - рациональной точки. Таким образом, группа измеряет степень, в которой принцип Хассе не выполняется для рациональных уравнений с коэффициентами в поле K . Карл-Эрик Линд привел пример такого однородного пространства, показав, что кривая рода 1 x 4 − 17 = 2 y 2 имеет решения над действительными числами и над всеми p -адическими полями, но не имеет рациональных точек. [3] Эрнст С. Сельмер привел еще много примеров, таких как 3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0 . [4]
Частный случай группы Тейта–Шафаревича для конечной групповой схемы, состоящей из точек некоторого заданного конечного порядка n абелева многообразия, тесно связан с группой Сельмера .
Гипотеза Тейта–Шафаревича утверждает, что группа Тейта–Шафаревича конечна. Карл Рубин доказал это для некоторых эллиптических кривых ранга не более 1 с комплексным умножением . [5] Виктор А. Колывагин распространил это на модулярные эллиптические кривые над рациональными числами аналитического ранга не более 1 ( теорема о модулярности позже показала, что предположение о модулярности всегда выполняется). [6]
Известно, что группа Тейта–Шафаревича является группой кручения [7] [8], поэтому гипотеза эквивалентна утверждению, что группа конечно порождена .
Спаривание Касселса–Тейта является билинейным спариванием Ш( A ) × Ш( Â ) → Q / Z , где A — абелево многообразие, а Â — его двойственное. Касселс ввел его для эллиптических кривых , когда A можно отождествить с Â и спаривание является знакопеременной формой. [9] Ядром этой формы является подгруппа делимых элементов, что тривиально, если верна гипотеза Тейта–Шафаревича. Тейт расширил спаривание на общие абелевы многообразия как вариацию двойственности Тейта . [10] Выбор поляризации на A дает отображение из A в Â , которое индуцирует билинейное спаривание на Ш( A ) со значениями в Q / Z , но в отличие от случая эллиптических кривых оно не обязательно должно быть знакопеременным или даже кососимметричным.
Для эллиптической кривой Касселс показал, что спаривание является чередующимся, и следствием этого является то, что если порядок Ш конечен, то он является квадратом. Для более общих абелевых многообразий иногда ошибочно полагали в течение многих лет, что порядок Ш является квадратом, если он конечен; эта ошибка возникла в статье Суиннертона-Дайера [11] , который неверно процитировал один из результатов Тейта. [10] Пунен и Столл привели несколько примеров, где порядок является удвоенным квадратом, например, якобиан определенной кривой рода 2 над рациональными числами, группа Тейта–Шафаревича которых имеет порядок 2, [12] а Стайн привел несколько примеров, где степень нечетного простого числа, делящего порядок, нечетна. [13] Если абелево многообразие имеет главную поляризацию, то форма на Ш является кососимметричной, что подразумевает, что порядок Ш является квадратом или дважды квадратом (если он конечен), и если вдобавок главная поляризация происходит от рационального делителя (как в случае эллиптических кривых), то форма является знакопеременной, и порядок Ш является квадратом (если он конечен). С другой стороны, основываясь на только что представленных результатах, Константинус показал, что для любого бесквадратного числа n существует абелево многообразие A, определенное над Q , и целое число m с | Ш | = n ⋅ m 2 . [14] В частности, Ш является конечным в примерах Константинуса, и эти примеры подтверждают гипотезу Штейна. Таким образом, по модулю квадратов любое целое число может быть порядком Ш .
