ℓ-адический пучок

В алгебраической геометрии ℓ-адический пучок на нётеровой схеме X — это обратная система, состоящая из -модулей в этальной топологии и индуцирующая . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \mathbb {Z} /\ell ^{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n+1}\to F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n+1}\otimes _{\mathbb {Z} /\ell ^{n+1}}\mathbb {Z} /\ell ^{n}{\overset {\simeq }{\to }}F_{n}}$

Проэтальная топология Бхатта-Шольце предлагает альтернативный подход. ^[3]

Мотивация

Развитие этальных когомологий в целом подпитывалось желанием создать «топологическую» теорию когомологий для алгебраических многообразий, т.е. теорию когомологий Вейля , которая работает в любой характеристике. Существенной чертой такой теории является то, что она допускает коэффициенты в поле характеристики 0. Однако постоянные этальные пучки без кручения не имеют интересных когомологий. Например, если — гладкое многообразие над полем , то для всех положительных . С другой стороны, постоянные пучки действительно создают «правильные» когомологии, пока обратимы в основном поле . Поэтому берется простое число, для которого это верно, и определяются -адические когомологии как . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Q} )=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell }):=\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n}){\text{, and }}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n})\otimes \mathbb {Q} }$

Однако это определение не является полностью удовлетворительным: как и в классическом случае топологических пространств, можно было бы рассмотреть когомологии с коэффициентами в локальной системе -векторных пространств, и должна существовать категориальная эквивалентность между такими локальными системами и непрерывными -представлениями этальной фундаментальной группы . ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$

Другая проблема с приведенным выше определением заключается в том, что оно ведет себя хорошо только тогда, когда является сепарабельно замкнутым. В этом случае все группы, встречающиеся в обратном пределе, конечно порождены, и взятие предела является точным. Но если является, например, числовым полем , группы когомологий часто будут бесконечными, а предел неточным, что вызывает проблемы с функториальностью. Например, в общем случае не существует спектральной последовательности Хохшильда-Серра, относящейся к когомологиям Галуа . ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n})}$ ${\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell })}$ ${\displaystyle H^{i}((X_{k^{\text{sep}}})_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell })}$

Эти соображения приводят к рассмотрению категории обратных систем пучков, как описано выше. Тогда мы имеем желаемую эквивалентность категорий с представлениями фундаментальной группы (для -локальных систем, и когда также нормально для -систем), и проблема в последнем абзаце решается так называемыми непрерывными этальными когомологиями, где мы берем производный функтор составного функтора взятия предела по глобальным сечениям системы. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\ell }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$

Конструктивные и низменные ℓ-адические пучки

Говорят, что ℓ-адический пучок ${\displaystyle \{F_{n}\}_{\geq 0}}$

• конструктивно, если каждое из них конструктивно . ${\displaystyle F_{n}}$
• lisse, если каждый из них конструктивен и локально постоянен. ${\displaystyle F_{n}}$

Некоторые авторы (например, авторы SGA 4 1 ⁄ 2 ) ^[5] предполагают, что ℓ-адический пучок может быть построен.

Для связной схемы X с геометрической точкой x , SGA 1 определяет этальную фундаментальную группу X в x как группу, классифицирующую конечные накрытия Галуа X . Тогда категория lisse ℓ-адических пучков на X эквивалентна категории непрерывных представлений на конечных свободных -модулях. Это аналог соответствия между локальными системами и непрерывными представлениями фундаментальной группы в алгебраической топологии (из-за этого lisse ℓ-адический пучок иногда также называют локальной системой). ${\displaystyle \pi _{1}^{\text{ét}}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{\text{ét}}(X,x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{l}}$

ℓ-адические когомологии

Группа ℓ-адических когомологий является обратным пределом групп этальных когомологий с определенными коэффициентами кручения.

«Производная категория» конструктивных ℓ-адических пучков

Аналогично тому, как это происходит с ℓ-адическими когомологиями, производная категория конструктивных -пучков определяется по существу как ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }}$ ${\displaystyle D_{c}^{b}(X,{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }):=(\varprojlim _{n}D_{c}^{b}(X,\mathbb {Z} /\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }.}$

(Шольце и Бхатт, 2013) пишут: «В повседневной жизни человек притворяется (не создавая особых проблем), что это просто полная подкатегория некоторой гипотетической производной категории ...» ${\displaystyle D_{c}^{b}(X,{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell })}$ ${\displaystyle D(X,{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell })}$

Смотрите также

• Преобразование Фурье–Делиня

Ссылки

1. Милн, Джеймс С. (1980-04-21). Этальная когомология (PMS-33). Princeton University Press. стр. 163. ISBN 978-0-691-08238-7.
2. Проект Stacks, тег 03UL.
3. Шольце, Питер; Бхатт, Бхаргав (4 сентября 2013 г.). «Проэтальная топология схем». arXiv : 1309.1198v2 [math.AG].
4. Яннсен, Уве (1988). «Непрерывные этальные когомологии». Математические Аннален . 280 (2): 207–246. ISSN  0025-5831.
5. Делинь, Пьер (1977). Cohomologie Etale . Lecture Notes in Mathematics (на французском). Т. 569. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. iv+312. doi :10.1007/BFb0091516. ISBN 978-3-540-08066-4. МР  0463174.

• Exposé V, VI Illusie, Люк , изд. (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1965–66 SGA 5 . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Том. 589. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . xii+484. дои : 10.1007/BFb0096802. ISBN 3-540-08248-4. МР  0491704.
• Дж. С. Милн (1980), Этальные когомологии , Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, ISBN 0-691-08238-3

Внешние ссылки

• Mathoverflow: Хорошее объяснение того, что такое гладкий (ℓ-адический) пучок?
• Семинар по теории чисел 2016–2017 в Стэнфорде