Классифицирующее пространство для U(n)

Точный гомотопический случай

В математике классифицирующее пространство для унитарной группы U( n ) — это пространство BU( n ) вместе с универсальным расслоением EU( n ) таким образом, что любое эрмитово расслоение на паракомпактном пространстве X является обратным образом EU( n ) посредством отображения X → BU( n ), единственного с точностью до гомотопии.

Это пространство с его универсальным расслоением может быть построено как

1. Грассманиан n - плоскостей в бесконечномерном комплексном гильбертовом пространстве ; или,
2. прямой предел, с индуцированной топологией, грассманианов n плоскостей .

Обе конструкции подробно описаны здесь.

Конструкция как бесконечный грассманиан

Полное пространство EU( n ) универсального расслоения определяется как

${\displaystyle EU(n)=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\ :\ (e_{i},e_{j})=\delta _{ij},e_{i}\in H\right\}.}$

Здесь H обозначает бесконечномерное комплексное гильбертово пространство, e _i — векторы в H , а — символ Кронекера . Символ — скалярное произведение на H . Таким образом, мы имеем, что EU( n ) — пространство ортонормированных n -фреймов в H . ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$

Групповое действие U( n ) на этом пространстве является естественным. Базовое пространство тогда

${\displaystyle BU(n)=EU(n)/U(n)}$

и представляет собой множество грассмановых n -мерных подпространств (или n -плоскостей) в H. То есть,

${\displaystyle BU(n)=\{V\subset H\ :\ \dim V=n\}}$

так что V является n -мерным векторным пространством.

Случай линейных пучков

Для n = 1 имеем EU(1) = S ^∞ , которое, как известно, является стягиваемым пространством . Тогда базовым пространством будет BU(1) = CP ^∞ , бесконечномерное комплексное проективное пространство . Таким образом, множество классов изоморфизма расслоений окружностей над многообразием M находятся во взаимно однозначном соответствии с гомотопическими классами отображений из M в CP ^∞ .

Также есть отношение, что

${\displaystyle BU(1)=PU(H),}$

то есть, BU(1) — это бесконечномерная проективная унитарная группа . См. эту статью для дополнительного обсуждения и свойств.

Для тора T , который абстрактно изоморфен U(1) × ... × U(1), но не обязательно имеет выбранную идентификацию, записывается B T .

Топологическая K-теория K ₀ (B T ) задается числовыми полиномами ; более подробно ниже.

Конструкция как индуктивный предел

Пусть F _n ( C ^k ) — пространство ортонормированных семейств из n векторов в C ^k , а G _n ( C ^k ) — грассманиан n -мерных подвекторных пространств C ^k . Полное пространство универсального расслоения можно считать прямым пределом F n ₍ C k ⁾ при k → ∞, тогда как базовое пространство — прямым пределом G _n ( C ^k ) при k → ∞.

Действительность конструкции

В этом разделе мы определим топологию EU( n ) и докажем, что EU( n ) действительно стягиваем.

Группа U( n ) действует свободно на F _n ( C ^k ), а фактор — это грассманиан G _n ( C ^k ). Отображение

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{n}(\mathbf {C} ^{k})&\longrightarrow \mathbf {S} ^{2k-1}\\(e_{1},\ldots ,e_{n})&\longmapsto e_{n}\end{aligned}}}$

является расслоением слоя F _{n −1} ( C ^{k −1} ). Таким образом, поскольку является тривиальным и из-за длинной точной последовательности расслоения , мы имеем ${\displaystyle \pi _{p}(\mathbf {S} ^{2k-1})}$

${\displaystyle \pi _{p}(F_{n}(\mathbf {C} ^{k}))=\pi _{p}(F_{n-1}(\mathbf {C} ^{k-1}))}$

всякий раз , когда . Взяв k достаточно большим, именно для , мы можем повторить процесс и получить ${\displaystyle p\leq 2k-2}$ ${\displaystyle k>{\tfrac {1}{2}}p+n-1}$

${\displaystyle \pi _{p}(F_{n}(\mathbf {C} ^{k}))=\pi _{p}(F_{n-1}(\mathbf {C} ^{k-1}))=\cdots =\pi _{p}(F_{1}(\mathbf {C} ^{k+1-n}))=\pi _{p}(\mathbf {S} ^{k-n}).}$

Эта последняя группа тривиальна для k  >  n  +  p . Пусть

${\displaystyle EU(n)={\lim _{\to }}\;_{k\to \infty }F_{n}(\mathbf {C} ^{k})}$

быть прямым пределом всех F _n ( C ^k ) (с индуцированной топологией). Пусть

${\displaystyle G_{n}(\mathbf {C} ^{\infty })={\lim _{\to }}\;_{k\to \infty }G_{n}(\mathbf {C} ^{k})}$

быть прямым пределом всех G _n ( C ^k ) (с индуцированной топологией).

Лемма: Группа тривиальна для всех p ≥ 1. ${\displaystyle \pi _{p}(EU(n))}$

Доказательство: Пусть γ : Sp → EU( n ), поскольку Sp компактно ^, то существует k такое, что γ( ^Sp ) включено в ^Fn ( Ck ) . Выбирая k достаточно большим, мы видим, что γ _{гомотопно} относительно базовой точки постоянному отображению ^. ${\displaystyle \Box }$

Кроме того, U( n ) действует свободно на EU( n ). Пространства F _n ( C ^k ) и G _n ( C ^k ) являются CW-комплексами . Можно найти разложение этих пространств в CW-комплексы такое, что разложение F _n ( C ^k ), соответственно G _n ( C ^k ), индуцируется ограничением разложения для F n ₍ C k ^{+1 )} , соответственно G _n ( C ^{k +1} ). Таким образом, EU( n ) (а также G _n ( C ^∞ )) является CW-комплексом. По теореме Уайтхеда и приведенной выше лемме EU( n ) стягиваемо.

Когомологии BU(н)

Предложение : Кольцо когомологий с коэффициентами в кольце целых чисел порождается классами Черна : ^[1] ${\displaystyle \operatorname {BU} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{1},\ldots ,c_{n}].}$

Доказательство: Рассмотрим сначала случай n = 1. В этом случае U(1) — это окружность S ¹ , а универсальное расслоение — это S ^∞ → CP ^∞ . Хорошо известно ^[2] , что когомологии CP ^k изоморфны , где c ₁ — класс Эйлера U(1)-расслоения S ^{2 k +1} → CP ^k , и что инъекции CP ^k → CP ^{k +1} , для k ∈ N *, совместимы с этими представлениями когомологий проективных пространств. Это доказывает предложение для n = 1. ${\displaystyle \mathbb {Z} \lbrack c_{1}\rbrack /c_{1}^{k+1}}$

Существуют гомотопические последовательности волокон

${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}\to BU(n-1)\to BU(n)}$

Конкретно, точка полного пространства задается точкой базового пространства, классифицирующей комплексное векторное пространство , вместе с единичным вектором в ; вместе они классифицируют, в то время как разбиение , тривиализированное с помощью , реализует отображение, представляющее прямую сумму с ${\displaystyle BU(n-1)}$ ${\displaystyle BU(n)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u^{\perp }<V}$ ${\displaystyle V=(\mathbb {C} u)\oplus u^{\perp }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle BU(n-1)\to BU(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Применяя последовательность Гайсина , получаем длинную точную последовательность

${\displaystyle H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1)){\overset {\partial }{\longrightarrow }}H^{p+1}(BU(n))\longrightarrow \cdots }$

где — фундаментальный класс волокна . По свойствам последовательности Гизина ^{[ требуется ссылка ]} — мультипликативный гомоморфизм; по индукции порождается элементами с , где должно быть равно нулю, и, следовательно, где должно быть сюръективным. Из этого следует, что всегда должно быть сюръективным: по универсальному свойству полиномиальных колец выбор прообраза для каждого генератора индуцирует мультипликативное расщепление. Следовательно, по точности, всегда должно быть инъективным . Таким образом, у нас есть короткие точные последовательности, разделенные кольцевым гомоморфизмом ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}}$ ${\displaystyle j^{*}}$ ${\displaystyle H^{*}BU(n-1)}$ ${\displaystyle p<-1}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle j^{*}}$ ${\displaystyle j^{*}}$ ${\displaystyle \smile d_{2n}\eta }$

${\displaystyle 0\to H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1))\to 0}$

Таким образом, мы заключаем, где . Это завершает индукцию. ${\displaystyle H^{*}(BU(n))=H^{*}(BU(n-1))[c_{2n}]}$ ${\displaystyle c_{2n}=d_{2n}\eta }$

К-теория БУ(н)

Рассмотрим топологическую комплексную K-теорию как теорию когомологий, представленную спектром . В этом случае , [ ^3] и является свободным модулем на и для и . ^[4] В этом описании структура произведения на происходит из структуры H-пространства , заданной суммой Уитни векторных расслоений. Это произведение называется произведением Понтрягина . ${\displaystyle KU}$ ${\displaystyle KU^{*}(BU(n))\cong \mathbb {Z} [t,t^{-1}][[c_{1},...,c_{n}]]}$ ${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle \beta _{0}}$ ${\displaystyle \beta _{i_{1}}\ldots \beta _{i_{r}}}$ ${\displaystyle n\geq i_{j}>0}$ ${\displaystyle r\leq n}$ ${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$ ${\displaystyle BU}$

Топологическая К-теория известна явно в терминах числовых симметричных полиномов .

K-теория сводится к вычислению K ₀ , поскольку K-теория является 2-периодической по теореме Ботта о периодичности , а BU( n ) является пределом комплексных многообразий, поэтому она имеет CW-структуру с ячейками только в четных измерениях, поэтому нечетная K-теория исчезает.

Таким образом , где , где t — генератор Ботта. ${\displaystyle K_{*}(X)=\pi _{*}(K)\otimes K_{0}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{*}(K)=\mathbf {Z} [t,t^{-1}]}$

K ₀ (BU(1)) — кольцо числовых многочленов от w , рассматриваемое как подкольцо H _∗ (BU(1); Q ) = Q [ w ], где w — элемент, двойственный тавтологическому расслоению.

Для n -тора K ₀ (B T ⁿ ) — это численные полиномы от n переменных. Отображение K ₀ (B T ⁿ ) → K ₀ (BU( n )) является отображением, через принцип расщепления , поскольку T ⁿ — максимальный тор U( n ). Отображение является отображением симметризации

${\displaystyle f(w_{1},\dots ,w_{n})\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})}$

и изображение можно идентифицировать как симметричные многочлены, удовлетворяющие условию целочисленности, что

${\displaystyle {n \choose n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}}f(k_{1},\dots ,k_{n})\in \mathbf {Z} }$

где

${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

— коэффициент полинома , содержащий r различных целых чисел, повторяющихся соответственно. ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$ ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r}}$

Бесконечное классифицирующее пространство

Канонические включения индуцируют канонические включения на соответствующих им классифицирующих пространствах. Их соответствующие копределы обозначаются как: ${\displaystyle \operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)}$ ${\displaystyle \operatorname {BU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BU} (n+1)}$

${\displaystyle \operatorname {U} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {U} (n);}$

${\displaystyle \operatorname {BU} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BU} (n).}$

${\displaystyle \operatorname {BU} }$действительно является классифицирующим пространством . ${\displaystyle \operatorname {U} }$

Смотрите также

• Классифицирующее пространство для O( n )
• Классифицирующее пространство для SO(n)
• Классифицирующее пространство для SU(n)
• Топологическая К-теория
• Теорема Атьи–Яниха

Примечания

1. Хэтчер 02, Теорема 4D.4.
2. Р. Ботт, Л. В. Ту-- Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Graduate Texts in Mathematics 82, Springer
3. Адамс 1974, стр. 49
4. Адамс 1974, стр. 47

Ссылки

• Дж. Ф. Адамс (1974), Стабильная гомотопия и обобщенная гомология , Издательство Чикагского университета, ISBN 0-226-00524-0Содержит расчет и . ${\displaystyle KU^{*}(BU(n))}$ ${\displaystyle KU_{*}(BU(n))}$
• С. Очанин; Л. Шварц (1985), «Замечание о генераторах комплекса кобордизма», Math. З. , 190 (4): 543–557, doi :10.1007/BF01214753Содержит описание как -комодуля для любой компактной связной группы Ли. ${\displaystyle K_{0}(BG)}$ ${\displaystyle K_{0}(K)}$
• Л. Шварц (1983), «К-теория и стабильная гомотопия», диссертация , Парижский университет – VII.Явное описание ${\displaystyle K_{0}(BU(n))}$
• A. Baker; F. Clarke; N. Ray; L. Schwartz (1989), "О конгруэнциях Куммера и стабильной гомотопии BU ", Trans. Amer. Math. Soc. , 316 (2), American Mathematical Society: 385–432, doi :10.2307/2001355, JSTOR  2001355
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-79160-X.
• Митчелл, Стивен (август 2001 г.). Универсальные главные расслоения и классифицирующие пространства (PDF) .{{cite book}}: CS1 maint: year (link)

Внешние ссылки

• классификация пространства на nLab
• BU(n) на nLab