В теории чисел суперсовершенное число — это положительное целое число n, удовлетворяющее условию
где σ — функция суммы делителей . Сверхсовершенные числа не являются обобщением совершенных чисел , но имеют общее обобщение. Термин был введен Д. Сурьянараяной (1969). [1]
Первые несколько суперсовершенных чисел:
Для иллюстрации: можно видеть, что 16 является сверхсовершенным числом, поскольку σ(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 , а σ(31) = 1 + 31 = 32 , таким образом, σ(σ(16)) = 32 = 2 × 16 .
Если n — четное суперсовершенное число, то n должно быть степенью числа 2 , 2k , такой, что 2k + 1−1 — простое число Мерсенна . [1] [2]
Неизвестно, существуют ли нечетные суперсовершенные числа. Нечетное суперсовершенное число n должно быть квадратным числом, таким, что либо n , либо σ ( n ) делится по крайней мере на три различных простых числа. [2] Нечетных суперсовершенных чисел ниже 7 × 10 не существует.24 . [1]
Совершенные и сверхсовершенные числа являются примерами более широкого класса m -сверхсовершенных чисел, которые удовлетворяют
соответствующие m = 1 и 2 соответственно. Для m ≥ 3 не существует четных m -суперсовершенных чисел. [1]
m - суперсовершенные числа в свою очередь являются примерами ( m , k )-совершенных чисел, которые удовлетворяют [3]
При такой записи совершенные числа являются (1,2)-совершенными, мультисовершенные числа являются (1, k )-совершенными, суперсовершенные числа являются (2,2)-совершенными и m -суперсовершенные числа являются ( m ,2)-совершенными. [4] Примерами классов ( m , k )-совершенных чисел являются:
