Теорема Паппуса о шестиугольнике

Теорема геометрии

Теорема Паппуса о шестиугольнике: Точки X , Y и Z лежат на одной прямой Паппуса. Шестиугольник — AbCaBc .

Теорема Паппуса: аффинная форма
${\displaystyle Ab\parallel aB,Bc\parallel bC\Rightarrow Ac\parallel aC}$

В математике теорема Паппа о шестиугольнике (приписываемая Паппусу Александрийскому ) гласит, что

• если задан один набор коллинеарных точек и другой набор коллинеарных точек , то точки пересечения пар прямых и и и являются коллинеарными , лежащими на линии Паппа . Эти три точки являются точками пересечения «противоположных» сторон шестиугольника . ${\displaystyle A,B,C,}$ ${\displaystyle a,b,c,}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle Ab}$ ${\displaystyle aB,Ac}$ ${\displaystyle aC,Bc}$ ${\displaystyle bC}$ ${\displaystyle AbCaBc}$

Она справедлива в проективной плоскости над любым полем, но не верна для проективных плоскостей над любым некоммутативным телом . ^[1] Проективные плоскости, в которых эта «теорема» верна, называются папповыми плоскостями .

Если рассмотреть плоскость Паппа, содержащую шестиугольник, как описано выше, но со сторонами и параллельными , а также сторонами и параллельными (так что линия Паппа является линией в бесконечности ), то получим аффинную версию теоремы Паппа, показанную на второй диаграмме. ${\displaystyle Ab}$ ${\displaystyle aB}$ ${\displaystyle Bc}$ ${\displaystyle bC}$ ${\displaystyle u}$

Если линия Паппуса и прямые имеют общую точку, то получается так называемая уменьшенная версия теоремы Паппуса. ^[2] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle g,h}$

Двойственная теорема этой теоремы об инцидентности гласит , что если задан один набор совпадающих прямых и другой набор совпадающих прямых , то прямые, определяемые парами точек, полученными в результате пар пересечений и и и являются совпадающими. ( Совпадение означает, что прямые проходят через одну точку.) ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle A\cap b}$ ${\displaystyle a\cap B,\;A\cap c}$ ${\displaystyle a\cap C,\;B\cap c}$ ${\displaystyle b\cap C}$

Теорема Паппуса является частным случаем теоремы Паскаля для конического сечения — предельного случая , когда коническое сечение вырождается в 2 прямые линии. Теорема Паскаля, в свою очередь, является частным случаем теоремы Кэли–Бахараха .

Конфигурация Паппуса — это конфигурация из 9 прямых и 9 точек, которая встречается в теореме Паппуса, при этом каждая прямая пересекает 3 точки, а каждая точка пересекает 3 прямые. В общем случае прямая Паппуса не проходит через точку пересечения и . ^[3] Эта конфигурация является самодвойственной . Поскольку, в частности, прямые обладают свойствами прямых двойственной теоремы, а коллинеарность эквивалентна совпадению , двойственная теорема, следовательно, в точности совпадает с самой теоремой. Граф Леви конфигурации Паппуса — это граф Паппуса , двудольный дистанционно регулярный граф с 18 вершинами и 27 ребрами. ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle abc}$ ${\displaystyle Bc,bC,XY}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle Bc,bC,XY}$

Доказательство: аффинная форма

Теорема Паппуса: доказательство

Если аффинная форма утверждения может быть доказана, то доказана и проективная форма теоремы Паппа, поскольку расширение папповой плоскости до проективной плоскости единственно.

Из-за параллельности в аффинной плоскости следует различать два случая: и . Ключом к простому доказательству является возможность введения «подходящей» системы координат: ${\displaystyle g\not \parallel h}$ ${\displaystyle g\parallel h}$

Случай 1: Прямые пересекаются в точке . В этом случае вводятся координаты, такие, что (см. диаграмму). имеют координаты . ${\displaystyle g,h}$ ${\displaystyle S=g\cap h}$
${\displaystyle \;S=(0,0),\;A=(0,1),\;c=(1,0)\;}$ ${\displaystyle B,C}$ ${\displaystyle \;B=(0,\gamma ),\;C=(0,\delta ),\;\gamma ,\delta \notin \{0,1\}}$

Из параллельности прямых получается и параллельность прямых дает . Следовательно, прямая имеет наклон и является параллельной прямой . ${\displaystyle Bc,\;Cb}$ ${\displaystyle b=({\tfrac {\delta }{\gamma }},0)}$ ${\displaystyle Ab,Ba}$ ${\displaystyle a=(\delta ,0)}$ ${\displaystyle Ca}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle Ac}$

Случай 2: (маленькая теорема). В этом случае координаты выбираются так, что . Из параллельности и получается и , соответственно, и по крайней мере параллельность . ${\displaystyle g\parallel h\ }$
${\displaystyle \;c=(0,0),\;b=(1,0),\;A=(0,1),\;B=(\gamma ,1),\;\gamma \neq 0}$ ${\displaystyle Ab\parallel Ba}$ ${\displaystyle cB\parallel bC}$ ${\displaystyle \;C=(\gamma +1,1)\;}$ ${\displaystyle \;a=(\gamma +1,0)\;}$ ${\displaystyle \;Ac\parallel Ca\;}$

Доказательство с однородными координатами

Выбираем однородные координаты с

${\displaystyle C=(1,0,0),\;c=(0,1,0),\;X=(0,0,1),\;A=(1,1,1)}$.

На линиях , заданных , возьмем точки, которые будут ${\displaystyle AC,Ac,AX}$ ${\displaystyle x_{2}=x_{3},\;x_{1}=x_{3},\;x_{2}=x_{1}}$ ${\displaystyle B,Y,b}$

${\displaystyle B=(p,1,1),\;Y=(1,q,1),\;b=(1,1,r)}$

для некоторых . Три прямые равны , поэтому они проходят через одну и ту же точку тогда и только тогда, когда . Условие для трех прямых и с уравнениями проходить через одну и ту же точку равно . Таким образом, этот последний набор из трех прямых является параллельным, если все остальные восемь наборов равны , поскольку умножение коммутативно, поэтому . Эквивалентно, являются коллинеарными. ${\displaystyle p,q,r}$ ${\displaystyle XB,CY,cb}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}p,\;x_{2}=x_{3}q,\;x_{3}=x_{1}r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle rqp=1}$ ${\displaystyle Cb,cB}$ ${\displaystyle XY}$ ${\displaystyle x_{2}=x_{1}q,\;x_{1}=x_{3}p,\;x_{3}=x_{2}r}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle rpq=1}$ ${\displaystyle pq=qp}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

Доказательство выше также показывает, что для справедливости теоремы Паппуса для проективного пространства над телом достаточно и необходимо, чтобы тело было (коммутативным) полем. Немецкий математик Герхард Хессенберг доказал, что теорема Паппуса влечет теорему Дезарга . ^{[4] [5]} В общем случае теорема Паппуса справедлива для некоторой проективной плоскости тогда и только тогда, когда она является проективной плоскостью над коммутативным полем. Проективные плоскости, в которых теорема Паппуса не справедлива, — это дезарговы проективные плоскости над некоммутативными телами и недезарговы плоскости .

Доказательство недействительно, если оно коллинеарно. В этом случае можно предоставить альтернативное доказательство, например, используя другую проективную ссылку. ${\displaystyle C,c,X}$

Двойственная теорема

В силу принципа двойственности для проективных плоскостей справедлива двойственная теорема Паппа :

Если из двух карандашей с центрами поочередно выбрать 6 линий , то линии ${\displaystyle A,b,C,a,B,c}$ ${\displaystyle G,H}$

${\displaystyle X:=(A\cap b)(a\cap B),}$

${\displaystyle Y:=(c\cap A)(C\cap a),}$

${\displaystyle Z:=(b\cap C)(B\cap c)}$

являются параллельными, то есть имеют общую точку. Левая диаграмма показывает проективную версию, правая — аффинную версию, где точки — это точки на бесконечности. Если точка находится на прямой, то получается «двойственная малая теорема» теоремы Паппуса. ${\displaystyle U}$
${\displaystyle G,H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle GH}$

• 
  двойственная теорема: проективная форма
• 
  двойственная теорема: аффинная форма

Если в аффинной версии двойственной "малой теоремы" точка также является точкой на бесконечности, то получается теорема Томсена , утверждение о 6 точках на сторонах треугольника (см. диаграмму). Фигура Томсена играет существенную роль, координируя аксиоматически определенную проективную плоскость. ^[6] Доказательство замыкания фигуры Томсена охватывается доказательством для "малой теоремы", данным выше. Но существует также простое прямое доказательство: ${\displaystyle U}$

Поскольку утверждение теоремы Томсена (замыкание фигуры) использует только термины «соединять», «пересекать» и «параллельно» , утверждение является аффинно- инвариантным, и можно ввести координаты, такие что (см. правую диаграмму). Начальная точка последовательности хорд — Легко проверить координаты точек, указанных на диаграмме, которая показывает: последняя точка совпадает с первой точкой. ${\displaystyle P=(0,0),\;Q=(1,0),\;R=(0,1)}$ ${\displaystyle (0,\lambda ).}$

• 
  Фигура Томсена (точки треугольника ) как двойственная теорема малой теоремы Паппа ( тоже находится на бесконечности!). ${\displaystyle \color {red}1,2,3,4,5,6}$ ${\displaystyle PQR}$ ${\displaystyle U}$
• 
  Рисунок Томсена: доказательство

Другие утверждения теоремы

Треугольники и перспективны из и , а значит, также из . ${\displaystyle XcC}$ ${\displaystyle BbY}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Z}$

В дополнение к приведенным выше характеристикам теоремы Паппа и ее двойственной теоремы, следующие утверждения являются эквивалентными:

• Если шесть вершин шестиугольника лежат попеременно на двух прямых, то три точки пересечения пар противоположных сторон лежат на одной прямой. ^[7]
• Если расположить их в матрице из девяти точек (как на рисунке и в описании выше) и рассматривать их как оценку постоянной , то если первые две строки и шесть «диагональных» триад коллинеарны, то и третья строка коллинеарна.

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}A&B&C\\a&b&c\\X&Y&Z\end{matrix}}\right|}$

То есть, если являются прямыми, то теорема Паппуса утверждает, что это должна быть прямая. Также следует отметить, что та же самая матричная формулировка применяется к двойственной форме теоремы, когда и т. д. являются тройками параллельных прямых. ^[8] ${\displaystyle \ ABC,abc,AbZ,BcX,CaY,XbC,YcA,ZaB\ }$ ${\displaystyle XYZ}$ ${\displaystyle (A,B,C)}$

• Если даны три различные точки на каждой из двух различных линий, соедините каждую точку на одной из линий с одной точкой на другой линии, тогда соединения точек, не объединенных в пары, встретятся в (противоположных) парах в точках вдоль линии. ^[9]
• Если два треугольника перспективны по крайней мере двумя различными способами, то они перспективны тремя способами. ^[4]
• Если и являются параллельными, а и являются параллельными, то и являются параллельными. ^[8] ${\displaystyle \;AB,CD,\;}$ ${\displaystyle EF}$ ${\displaystyle DE,FA,}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle AD,BE,}$ ${\displaystyle CF}$

Происхождение

В своей самой ранней известной форме теорема Паппа представлена ​​в предложениях 138, 139, 141 и 143 Книги VII Собрания Паппа . ^[10] Это леммы XII, XIII, XV и XVII в части Книги VII, состоящей из лемм к первой из трех книг Поризм Евклида .

Леммы доказываются в терминах того, что сегодня известно как перекрестное отношение четырех коллинеарных точек. Используются три более ранние леммы. Первая из них, Лемма III, имеет диаграмму ниже (в которой используются обозначения Паппа, где G для Γ, D для Δ, J для Θ и L для Λ).

Здесь три параллельные прямые линии AB, AG и AD пересекаются двумя прямыми JB и JE, которые пересекаются в точке J. Также проведена прямая KL, параллельная AZ. Тогда

KJ : JL :: (KJ : AG & AG : JL) :: (JD : GD и BG : JB).

Эти пропорции сегодня можно было бы записать в виде уравнений: ^[11]

KJ/JL = (KJ/AG)(AG/JL) = (JD/GD)(BG/JB).

Последнее составное отношение (а именно JD : GD & BG : JB) — это то, что сегодня известно как перекрестное отношение коллинеарных точек J, G, D и B в этом порядке; сегодня оно обозначается как (J, G; D, B). Таким образом, мы показали, что это не зависит от выбора конкретной прямой линии JD, которая пересекает три прямые линии, которые сходятся в точке A. В частности,

(Й, Г; Д, Б) = (Й, З; Н, Э).

Не имеет значения, с какой стороны от A лежит прямая JE. В частности, ситуация может быть такой, как на следующей диаграмме, которая является диаграммой для Леммы X.

Как и прежде, мы имеем (J, G; D, B) = (J, Z; H, E). Паппус не доказывает это явно; но лемма X является обратной, а именно, что если эти два перекрестных отношения одинаковы, а прямые BE и DH пересекаются в точке A, то точки G, A и Z должны быть коллинеарными.

То, что мы показали изначально, можно записать как (J, ∞; K, L) = (J, G; D, B), где ∞ занимает место (несуществующего) пересечения JK и AG. Паппус показывает это, по сути, в Лемме XI, диаграмма которой, однако, имеет другие буквы:

Паппус показывает DE.ZH : EZ.HD :: GB : BE, что мы можем записать как

(D, Z; E, H) = (∞, B; E, G).

Схема леммы XII такова:

Диаграмма для леммы XIII та же самая, но BA и DG, продолженные, пересекаются в точке N. В любом случае, рассматривая прямые линии, проходящие через G, как пересекающиеся тремя прямыми линиями, проходящими через A (и принимая, что уравнения перекрестных отношений остаются справедливыми после перестановки записей), мы имеем по лемме III или XI

(Г, Й; ​​Э, Н) = (Г, Д; ∞ Z).

Рассматривая прямые линии, проходящие через D, как пересекающиеся тремя прямыми линиями, проходящими через B, мы имеем

(Л, Д; Э, К) = (Г, Д; ∞ Z).

Таким образом, (E, H; J, G) = (E, K; D, L), поэтому по лемме X точки H, M и K лежат на одной прямой. То есть точки пересечения пар противоположных сторон шестиугольника ADEGBZ лежат на одной прямой.

Леммы XV и XVII состоят в том, что если точка M определена как пересечение HK и BG, то точки A, M и D лежат на одной прямой. То есть точки пересечения пар противоположных сторон шестиугольника BEKHZG лежат на одной прямой.

Примечания

1. Коксетер, стр. 236–237.
2. Рольф Лингенберг: Grundlagen der Geometrie , BI-Taschenbuch, 1969, стр. 93
3. Однако это происходит, когда и находятся в перспективе , то есть и совпадают. ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle abc}$ ${\displaystyle Aa,Bb}$ ${\displaystyle Cc}$
4. Coxeter 1969, стр. 238
5. Согласно (Dembowski 1968, стр. 159, сноска 1), оригинальное доказательство Хессенберга (1905) не является полным; он проигнорировал возможность того, что некоторые дополнительные инцидентности могут иметь место в конфигурации Дезарга. Полное доказательство предоставлено Cronheim 1953.
6. В. Блашке: Проективная геометрия , Springer-Verlag, 2013, ISBN  3034869320 , S. 190.
7. Коксетер, стр. 231
8. Coxeter, стр. 233
9. Уичер, глава 14
10. Хит (т. II, стр. 421) цитирует эти предложения. Последние два можно понимать как обратные предложения первых двух. Клайн (стр. 128) цитирует только Предложение 139. Нумерация предложений соответствует нумерации, данной Хультшем.
11. Причина использования обозначений выше заключается в том, что для древних греков отношение не было числом или геометрическим объектом. Сегодня мы можем думать о отношении как о классе эквивалентности пар геометрических объектов. Кроме того, равенство для греков — это то, что мы сегодня могли бы назвать конгруэнтностью. В частности, отдельные отрезки могут быть равны. Отношения не равны в этом смысле; но они могут быть одинаковыми.

Ссылки

• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, МР  0123930
• Кронхейм, А. (1953), «Доказательство теоремы Гессенберга», Труды Американского математического общества , 4 (2): 219–221, doi :10.2307/2031794, JSTOR  2031794
• Дембовски, Питер (1968), Конечные геометрии , Берлин: Springer-Verlag
• Хит, Томас (1981) [1921], История греческой математики , Нью-Йорк: Dover Publications
• Хессенберг, Герхард (1905), «Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen», Mathematische Annalen , 61 (2), Берлин / Гейдельберг: Springer: 161–172, doi : 10.1007/BF01457558, ISSN  1432-1807, S2CID  120456855
• Хульч, Фридерикус (1877), Pappi Alexandrini Collectionis Quae Supersunt , Берлин{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних времен до наших дней , Нью-Йорк: Oxford University Press
• Памбучян, Виктор; Шахт, Селия (2019), «Аксиоматическая судьба теорем Паппа и Дезарга», в Дэни, С.Г.; Пападопулос, А. (ред.), Геометрия в истории , Springer, стр. 355–399, ISBN. 978-3-030-13611-6
• Уичер, Олив (1971), Проективная геометрия , Rudolph Steiner Press, ISBN 0-85440-245-4

Внешние ссылки

• Теорема Паппуса о шестиугольнике в Cut-the-Knot
• Двойственная теорема Паппуса о шестиугольнике в разрубании узла
• Теорема Паппуса: девять доказательств и три вариации