Модель Латтинжера–Кона

Модель Латтинжера–Кона является разновидностью теории возмущений k·p, используемой для расчета структуры множественных вырожденных электронных зон в объемных и квантово-размерных полупроводниках . Метод является обобщением теории однозонных k · p .

В этой модели влияние всех других полос учитывается с помощью метода возмущений Левдина . ^[1]

Фон

Все полосы можно разделить на два класса:

• Класс А : шесть валентных зон (тяжелая дырка, легкая дырка, отщепленная зона и их спиновые аналоги) и две зоны проводимости.
• Класс B : все остальные диапазоны.

Метод концентрируется на полосах класса A и учитывает полосы класса B пертурбативно.

Мы можем записать возмущенное решение, как линейную комбинацию невозмущенных собственных состояний : ${\displaystyle \phi _{}^{}}$ ${\displaystyle \phi _{i}^{(0)}}$

${\displaystyle \phi =\sum _{n}^{A,B}a_{n}\phi _{n}^{(0)}}$

Предполагая, что невозмущенные собственные состояния ортонормированы, собственные уравнения имеют вид:

${\displaystyle (E-H_{mm})a_{m}=\sum _{n\neq m}^{A}H_{mn}a_{n}+\sum _{\alpha \neq m}^{B}H_{m\alpha }a_{\alpha }}$,

где

${\displaystyle H_{mn}=\int \phi _{m}^{(0)\dagger }H\phi _{n}^{(0)}d^{3}\mathbf {r} =E_{n}^{(0)}\delta _{mn}+H_{mn}^{'}}$.

Из этого выражения можно записать:

${\displaystyle a_{m}=\sum _{n\neq m}^{A}{\frac {H_{mn}}{E-H_{mm}}}a_{n}+\sum _{\alpha \neq m}^{B}{\frac {H_{m\alpha }}{E-H_{mm}}}a_{\alpha }}$,

где первая сумма в правой части относится только к состояниям класса A, тогда как вторая сумма относится к состояниям класса B. Поскольку нас интересуют коэффициенты для m в классе A, мы можем исключить коэффициенты в классе B с помощью итерационной процедуры, чтобы получить: ${\displaystyle a_{m}}$

${\displaystyle a_{m}=\sum _{n}^{A}{\frac {U_{mn}^{A}-\delta _{mn}H_{mn}}{E-H_{mm}}}a_{n}}$,

${\displaystyle U_{mn}^{A}=H_{mn}+\sum _{\alpha \neq m}^{B}{\frac {H_{m\alpha }H_{\alpha n}}{E-H_{\alpha \alpha }}}+\sum _{\alpha ,\beta \neq m,n;\alpha \neq \beta }{\frac {H_{m\alpha }H_{\alpha \beta }H_{\beta n}}{(E-H_{\alpha \alpha })(E-H_{\beta \beta })}}+\ldots }$

Эквивалентно, для ( ): ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n\in A}$

${\displaystyle a_{n}=\sum _{n}^{A}(U_{mn}^{A}-E\delta _{mn})a_{n}=0,m\in A}$

и

${\displaystyle a_{\gamma }=\sum _{n}^{A}{\frac {U_{\gamma n}^{A}-H_{\gamma n}\delta _{\gamma n}}{E-H_{\gamma \gamma }}}a_{n}=0,\gamma \in B}$.

При определении коэффициентов, относящихся к классу А, определяются и . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{\gamma }}$

Уравнение Шредингера и базисные функции

Гамильтониан , включающий спин-орбитальное взаимодействие, можно записать как:

${\displaystyle H=H_{0}+{\frac {\hbar }{4m_{0}^{2}c^{2}}}{\bar {\sigma }}\cdot \nabla V\times \mathbf {p} }$,

где — вектор матрицы спина Паули . Подставляя в уравнение Шредингера в приближении Блоха, получаем ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$

${\displaystyle Hu_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left(H_{0}+{\frac {\hbar }{m_{0}}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {\Pi } +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{4m_{0}^{2}c^{2}}}\nabla V\times \mathbf {p} \cdot {\bar {\sigma }}\right)u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=E_{n}(\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$,

где

${\displaystyle \mathbf {\Pi } =\mathbf {p} +{\frac {\hbar }{4m_{0}^{2}c^{2}}}{\bar {\sigma }}\times \nabla V}$

и гамильтониан возмущения можно определить как

${\displaystyle H'={\frac {\hbar }{m_{0}}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {\Pi } .}$

Невозмущенный гамильтониан относится к спин-орбитальной системе края зоны (при k = 0). На краю зоны волны Блоха зоны проводимости проявляют s-образную симметрию, в то время как состояния валентной зоны являются p-образными (3-кратно вырожденными без спина). Обозначим эти состояния как , и , и соответственно. Эти функции Блоха можно изобразить как периодическое повторение атомных орбиталей, повторяющихся с интервалами, соответствующими шагу решетки. Функцию Блоха можно разложить следующим образом: ${\displaystyle |S\rangle }$ ${\displaystyle |X\rangle }$ ${\displaystyle |Y\rangle }$ ${\displaystyle |Z\rangle }$

${\displaystyle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{j'}^{A}a_{j'}(\mathbf {k} )u_{j'0}(\mathbf {r} )+\sum _{\gamma }^{B}a_{\gamma }(\mathbf {k} )u_{\gamma 0}(\mathbf {r} )}$,

где j' находится в классе A, а j' — в классе B. Базисные функции могут быть выбраны следующим образом: ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle u_{10}(\mathbf {r} )=u_{el}(\mathbf {r} )=\left|S{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right\rangle =\left|S\uparrow \right\rangle }$

${\displaystyle u_{20}(\mathbf {r} )=u_{SO}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|(X+iY)\downarrow \rangle +{\frac {1}{\sqrt {3}}}|Z\uparrow \rangle }$

${\displaystyle u_{30}(\mathbf {r} )=u_{lh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {6}}}|(X+iY)\downarrow \rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|Z\uparrow \rangle }$

${\displaystyle u_{40}(\mathbf {r} )=u_{hh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}|(X+iY)\uparrow \rangle }$

${\displaystyle u_{50}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{el}(\mathbf {r} )=\left|S{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right\rangle =-|S\downarrow \rangle }$

${\displaystyle u_{60}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{SO}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|(X-iY)\uparrow \rangle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}|Z\downarrow \rangle }$

${\displaystyle u_{70}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{lh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {6}}}|(X-iY)\uparrow \rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|Z\downarrow \rangle }$

${\displaystyle u_{80}(\mathbf {r} )={\bar {u}}_{hh}(\mathbf {r} )=\left|{\frac {3}{2}},-{\frac {3}{2}}\right\rangle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}|(X-iY)\downarrow \rangle }$.

Используя метод Лёвдина, необходимо решить только следующую задачу на собственные значения:

${\displaystyle \sum _{j'}^{A}(U_{jj'}^{A}-E\delta _{jj'})a_{j'}(\mathbf {k} )=0,}$

где

${\displaystyle U_{jj'}^{A}=H_{jj'}+\sum _{\gamma \neq j,j'}^{B}{\frac {H_{j\gamma }H_{\gamma j'}}{E_{0}-E_{\gamma }}}=H_{jj'}+\sum _{\gamma \neq j,j'}^{B}{\frac {H_{j\gamma }^{'}H_{\gamma j'}^{'}}{E_{0}-E_{\gamma }}}}$,

${\displaystyle H_{j\gamma }^{'}=\left\langle u_{j0}\right|{\frac {\hbar }{m_{0}}}\mathbf {k} \cdot \left(\mathbf {p} +{\frac {\hbar }{4m_{0}c^{2}}}{\bar {\sigma }}\times \nabla V\right)\left|u_{\gamma 0}\right\rangle \approx \sum _{\alpha }{\frac {\hbar k_{\alpha }}{m_{0}}}p_{j\gamma }^{\alpha }.}$

Вторым членом можно пренебречь по сравнению с аналогичным членом с p вместо k . Аналогично случаю одной полосы, мы можем записать для ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle U_{jj'}^{A}}$

${\displaystyle D_{jj'}\equiv U_{jj'}^{A}=E_{j}(0)\delta _{jj'}+\sum _{\alpha \beta }D_{jj'}^{\alpha \beta }k_{\alpha }k_{\beta },}$

${\displaystyle D_{jj'}^{\alpha \beta }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left[\delta _{jj'}\delta _{\alpha \beta }+\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{j\gamma }^{\alpha }p_{\gamma j'}^{\beta }+p_{j\gamma }^{\beta }p_{\gamma j'}^{\alpha }}{m_{0}(E_{0}-E_{\gamma })}}\right].}$

Теперь определим следующие параметры

${\displaystyle A_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma }^{x}p_{\gamma x}^{x}}{E_{0}-E_{\gamma }}},}$

${\displaystyle B_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma }^{y}p_{\gamma x}^{y}}{E_{0}-E_{\gamma }}},}$

${\displaystyle C_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{m_{0}^{2}}}\sum _{\gamma }^{B}{\frac {p_{x\gamma }^{x}p_{\gamma y}^{y}+p_{x\gamma }^{y}p_{\gamma y}^{x}}{E_{0}-E_{\gamma }}},}$

и параметры структуры полосы (или параметры Латтинжера ) могут быть определены как

${\displaystyle \gamma _{1}=-{\frac {1}{3}}{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}(A_{0}+2B_{0}),}$

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {1}{6}}{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}(A_{0}-B_{0}),}$

${\displaystyle \gamma _{3}=-{\frac {1}{6}}{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}C_{0},}$

Эти параметры очень тесно связаны с эффективными массами дырок в различных валентных зонах. и описывают связь состояний , и с другими состояниями. Третий параметр относится к анизотропии структуры энергетической зоны вокруг точки, когда . ${\displaystyle \gamma _{1}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle |X\rangle }$ ${\displaystyle |Y\rangle }$ ${\displaystyle |Z\rangle }$ ${\displaystyle \gamma _{3}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{2}\neq \gamma _{3}}$

Явная гамильтонова матрица

Гамильтониан Латтинжера-Кона можно явно записать в виде матрицы 8X8 (с учетом 8 зон — 2 зоны проводимости, 2 зоны тяжелых дырок, 2 зоны легких дырок и 2 зоны расщепления) ${\displaystyle \mathbf {D_{jj'}} }$

${\displaystyle \mathbf {H} =\left({\begin{array}{cccccccc}E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\P_{z}^{\dagger }&P+\Delta &{\sqrt {2}}Q^{\dagger }&-S^{\dagger }/{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}P_{+}^{\dagger }&0&-{\sqrt {3/2}}S&-{\sqrt {2}}R\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\E_{el}&P_{z}&{\sqrt {2}}P_{z}&-{\sqrt {3}}P_{+}&0&{\sqrt {2}}P_{-}&P_{-}&0\\\end{array}}\right)}$

Краткое содержание

Ссылки

1. SL Chuang (1995). Физика оптоэлектронных приборов (первое издание). Нью-Йорк: Wiley. С. 124–190. ISBN 978-0-471-10939-6. OCLC  31134252.

2. Латтингер, Дж. М. Кон, В., «Движение электронов и дырок в возмущенных периодических полях», Phys. Rev. 97,4. стр. 869-883, (1955). https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.97.869