В математике полиномы Миттаг-Леффлера — это полиномы g n ( x ) или M n ( x ), изученные Миттаг-Леффлером (1891).
M n ( x ) является частным случаем полинома Мейкснера M n ( x;b,c ) при b = 0, c = -1 .
Определение и примеры
Генерирующие функции
Полиномы Миттаг-Леффлера определяются соответственно производящими функциями
и![{\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}:={\Bigl (}{\frac {1+t}{1-t}}{\Bigr )}^{x}=(1+t)^{x}(1-t)^{-x}=\exp(2x{\text{ artanh }}т).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Они также имеют двумерную производящую функцию [1]
![{\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }g_{n}(m)x^{m}y^{n}={ \frac {xy}{(1-x)(1-xy-xy)}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примеры
Первые несколько полиномов приведены в следующей таблице. Коэффициенты числителей можно найти в OEIS [2] , хотя и без каких-либо ссылок, а коэффициенты также есть в OEIS [3] .![{\displaystyle g_{n}(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M_{n}(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Характеристики
Полиномы связаны соотношением и мы имеем для . Также .![{\displaystyle M_{n}(x)=2\cdot {n!}\,g_{n}(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{n}(1)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\geqslant 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{2k}({\frac {1}{2}})=g_{2k+1}({\frac {1}{2}})={\frac {1}{2}}{ \frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdots (2k-1)}{2 \cdot 4\cdots (2k)}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Явные формулы
Явные формулы
![{\displaystyle g_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}2^{k-1}{\binom {n-1}{nk}}{\binom {x}{k }}=\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}{\binom {n-1}{k}}{\binom {x}{k+1}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\binom {k+x}{n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{n}(m)={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n-1 +mk}{m-1}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\min(n,m)}{\frac {m}{n+mk}} {\binom {n+mk}{k,nk,mk}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(последний сразу показывает , своего рода формулу отражения), и![{\displaystyle ng_{n}(m)=mg_{m}(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
, что также можно записать как
, где обозначает падающий факториал.![{\displaystyle (x)_{n}=n!{\binom {x}{n}}=x(x-1)\cdots (x-n+1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В терминах гипергеометрической функции Гаусса имеем [4]
![{\displaystyle g_{n}(x)=x\!\cdot {}_{2}\!F_{1}(1-n,1-x;2;2).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Формула отражения
Как указано выше, для имеем формулу отражения .![{\displaystyle м,n\in \mathbb {N}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ng_{n}(m)=mg_{m}(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Формулы рекурсии
Полиномы могут быть определены рекурсивно с помощью ![{\displaystyle M_{n}(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
, начиная с и .![{\displaystyle M_{-1}(x)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M_{0}(x)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Другая формула рекурсии, которая создает нечетную из предыдущих четных и наоборот:
, снова начиная с .![{\displaystyle M_{0}(x)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Что касается , у нас есть несколько разных рекурсивных формул: ![{\displaystyle g_{n}(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \displaystyle (1)\quad g_ {n} (x+1)-g_ {n-1} (x+1) = g_ {n} (x) + g_ {n-1} (x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \displaystyle (2)\quad (n+1)g_ {n+1} (x) - (n-1)g_ {n-1} (x) = 2xg_ {n} (x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (3)\quad x{\Bigl (}g_{n}(x+1)-g_{n}(x-1){\Bigr)}=2ng_{n}(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (4)\quad g_{n+1}(m)=g_{n}(m)+2\sum _{k=1}^{m-1}g_ {n}(k)=g_ {n}(1)+g_{n}(2)+\cdots +g_{n}(m)+g_{n}(m-1)+\cdots +g_{n}(1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Что касается рекуррентной формулы (3), то полином является единственным полиномиальным решением разностного уравнения , нормализованным так, что . [5] Далее отметим, что (2) и (3) двойственны друг другу в том смысле, что для мы можем применить формулу отражения к одному из тождеств, а затем поменять местами и получить другое. (Поскольку они являются полиномами, их применимость распространяется от натуральных до всех действительных значений .)![{\displaystyle g_{n}(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle x (f (x + 1) -f (x-1)) = 2nf (x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(1)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\in \mathbb {N}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{n}(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Начальные значения
Таблица начальных значений (эти значения также называются «фигурными числами для n-мерных перекрестных многогранников» в OEIS [6] ) может иллюстрировать рекурсивную формулу (1), которую можно понимать так, что каждая запись представляет собой сумму трех соседних записей: слева, сверху и сверху слева, например . Он также иллюстрирует формулу отражения относительно главной диагонали, например .![{\displaystyle g_ {n}(м)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{5}(3)=51=33+8+10}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ng_{n}(m)=mg_{m}(n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 3\cdot 44 = 4\cdot 33}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Отношения ортогональности
При этом имеет место следующее соотношение ортогональности: [7]![{\displaystyle м,n\in \mathbb {N}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {g_{n}(-iy)g_{m}(iy)}{y\sinh \pi y}}dy={\frac {1}{2n}}\delta _{мин}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(Обратите внимание, что это не комплексный интеграл. Поскольку каждый из них является четным или нечетным многочленом, мнимые аргументы просто создают чередующиеся знаки для своих коэффициентов. Более того, если и имеют разную четность, интеграл тривиально обращается в нуль.)![{\displaystyle g_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle м}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Биномиальная идентичность
Будучи последовательностью Шеффера биномиального типа , полиномы Миттаг-Леффлера также удовлетворяют биномиальному тождеству [8]
.
Интегральные представления
На основе представления в виде гипергеометрической функции существует несколько способов представления для непосредственно в виде интегралов, [9] некоторые из них справедливы даже для комплексных , например ![{\displaystyle g_{n}(z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |z|<1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (26)\qquad g_{n}(z)={\frac {\sin(\pi z)}{2\pi }}\int _{-1}^{1}t^{n- 1}{\Bigl (}{\frac {1+t}{1-t}}{\Bigr )}^{z}dt}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (27)\qquad g_{n}(z)={\frac {\sin(\pi z)}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ uz}{\frac {(\tanh {\frac {u}{2}})^{n}}{\sinh u}}du}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (32)\qquad g_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cot ^{z}({\frac {u }{2}})\cos({\frac {\pi z}{2}})\cos(nu)du}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (33)\qquad g_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cot ^{z}({\frac {u }{2}})\sin({\frac {\pi z}{2}})\sin(nu)du}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Закрытые формы целостных семей
Существует несколько семейств интегралов с выражениями в замкнутой форме через значения дзета , где коэффициенты полиномов Миттаг-Леффлера встречаются как коэффициенты. Все эти интегралы могут быть записаны в форме, содержащей либо множитель , либо , а степень полинома Миттаг-Леффлера зависит от . Один из способов вычислить эти интегралы — получить для них соответствующие рекуррентные формулы, как и для полиномов Миттаг-Леффлера, с помощью интегрирования по частям. ![{\displaystyle \tan ^{\pm n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \tanh ^{\pm n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
1. Например, в [10] определяют для
![{\displaystyle I(n,m):=\int _{0}^{1}{\dfrac {{\text{artanh}}^{n}x}{x^{m}}}dx=\int _{0}^{1}\log ^{n/2}{\Bigl (}{\dfrac {1+x}{1-x}}{\Bigr )}{\dfrac {dx}{x^{ m}}}=\int _{0}^{\infty }z^{n}{\dfrac {\coth ^{m-2}z}{\sinh ^{2}z}}dz.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эти интегралы имеют замкнутый вид
![{\displaystyle (1)\quad I(n,m)={\frac {n!}{2^{n-1}}}\zeta ^{n+1}~g_{m-1}({\ фракт {1}{\zeta }})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
в теневой нотации, что означает, что после расширения полинома в каждую степень необходимо заменить значением дзета . Например, из мы получаем за .![{\displaystyle \дзета }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \дзета (к)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{6}(x)={\frac {1}{45}}(23x^{2}+20x^{4}+2x^{6})\ }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ I(n,7)={\frac {n!}{2^{n-1}}}{\frac {23~\zeta (n-1)+20~\zeta (n-3) )+2~\zeta (n-5)}{45}}\ }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\geqslant 7}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
2. Аналогично примите за![{\displaystyle п\geqslant м\geqslant 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J(n,m):=\int _{1}^{\infty }{\dfrac {{\text{arcoth}}^{n}x}{x^{m}}}dx=\ int _{1}^{\infty }\log ^{n/2}{\Bigl (}{\dfrac {x+1}{x-1}}{\Bigr )}{\dfrac {dx}{x ^{m}}}=\int _{0}^{\infty }z^{n}{\dfrac {\tanh ^{m-2}z}{\cosh ^{2}z}}dz.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В умбральной записи, где после расширения необходимо заменить эта-функцию Дирихле , они имеют замкнутую форму
![{\ displaystyle \ eta (k): = \ left (1-2 ^ {1-k} \ right) \ zeta (k)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
3. Для с теми же теневыми обозначениями для и и пополнением непрерывностью справедливо следующее утверждение [11] .![{\displaystyle n\geqslant м}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \дзета }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \эта }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \eta (1):=\ln 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (3)\quad \int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{n}}{\tan ^{m}x}}dx=\cos {\Bigl (}{\frac {m}{2}}\pi {\Bigr )}{\frac {(\pi /2)^{n+1}}{n+1}}+\cos {\Bigl (} {\frac {mn-1}{2}}\pi {\Bigr )}{\frac {n!~m}{2^{n}}}\zeta ^{n+2}g_{m}({ \frac {1}{\zeta }})+\sum \limits _{v=0}^{n}\cos {\Bigl (}{\frac {mv-1}{2}}\pi {\Bigr )}{\frac {n!~m~\pi ^{nv}}{(nv)!~2^{n}}}\eta ^{n+2}g_{m}({\frac {1} {\эта }}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Заметим, что при это также дает замкнутый вид для интегралов![{\displaystyle п\geqslant м\geqslant 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\arctan ^{n}x}{x^{m}}}dx=\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{n}}{\tan ^{m}x}}dx+\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{n}}{ \tan ^{m-2}x}}dx.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
4. Для определим [12] .
![{\displaystyle \quad K(n,m):=\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{m}}}dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если четно и мы определяем , мы имеем в умбральной записи, т.е. заменяя на ,![{\displaystyle n+m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h_{k}:=(-1)^{\frac {k-1}{2}}{\frac {(k-1)!(2^{k}-1)\zeta (k) }{2^{k-1}\pi ^{k-1}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (4)\quad K(n,m):=\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{m}} }dx={\dfrac {n\cdot 2^{m-1}}{(m-1)!}}(-h)^{m-1}g_{n}(h).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что здесь встречаются только нечетные значения дзета (odd ) (если только знаменатели не представлены как четные значения дзета), например ![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K(5,3)=-{\frac {2}{3}}(3h_{3}+10h_{5}+2h_{7})=-7{\frac {\zeta (3)} {\pi ^{2}}}+310{\frac {\zeta (5)}{\pi ^{4}}}-1905{\frac {\zeta (7)}{\pi ^{6}} },}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K(6,2)={\frac {4}{15}}(23h_{3}+20h_{5}+2h_{7}),\quad K(6,4)={\frac { 4}{45}}(23ч_{5}+20ч_{7}+2ч_{9}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
5. Если нечетно, то вычислить тот же интеграл гораздо сложнее, в том числе и исходный . Однако оказывается, что шаблон существует , если мы эквивалентным образом определим [13] . Тогда имеет следующую замкнутую форму в умбральной записи, заменяя на :![{\displaystyle n+m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s_{k}:=\eta '(-k)=2^{k+1}\zeta (-k)\ln 2-(2^{k+1}-1)\zeta '(- к)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s_{k}={\frac {\zeta (-k)}{\zeta '(-k)}}\eta (-k)+\zeta (-k)\eta (1)-\eta (-k)\эта (1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle K (п, м)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s^{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
, например![{\displaystyle K(5,4)={\frac {8}{9}}(3s_{3}+10s_{5}+2s_{7}),\quad K(6,3)=-{\frac {8}{15}}(23s_{3}+20s_{5}+2s_{7}),\quad K(6,5)=-{\frac {8}{45}}(23s_{5}+ 20с_{7}+2с_{9}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Заметим, что в силу логарифмической производной функционального уравнения Римана , взятой после применения формулы отражения Эйлера , [14] эти выражения через можно записать через , например![{\displaystyle {\frac {\zeta '}{\zeta }}(s)+{\frac {\zeta '}{\zeta }}(1-s)=\log \pi - {\frac {1} {2}}{\frac {\Gamma '}{\Gamma }}\left({\frac {s}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {\Gamma '}{\Gamma }}\left({\frac {1-s}{2}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\zeta '(2j)}{\zeta (2j)}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K(5,4)={\frac {8}{9}}(3s_{3}+10s_{5}+2s_{7})={\frac {1}{9}}\left\ {{\frac {1643}{420}}-{\frac {16}{315}}\ln 2+3{\frac {\zeta '(4)}{\zeta (4)}}-20{\ frac {\zeta '(6)}{\zeta (6)}}+17{\frac {\zeta '(8)}{\zeta (8)}}\right\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
6. При тот же интеграл расходится, поскольку подынтегральная функция ведет себя так же, как при . Но разница двух таких интегралов с соответствующими разностями степеней четко определена и демонстрирует очень схожие закономерности, например ![{\displaystyle п<м}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle K (п, м)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{нм}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\searrow 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ см. раздел формул OEIS A142978.
- ^ см. OEIS A064984.
- ^ см. OEIS A137513.
- ^ Озмен, Неджла и Нихал, Йылмаз (2019). «О полиномах Миттаг-Леффлера и деформированных полиномах Миттаг-Леффлера».
- ^ см. раздел комментариев OEIS A142983.
- ^ см. OEIS A142978.
- ^ Станкович, Миомир С.; Маринкович, Сладжана Д. и Райкович, Предраг М. (2010). «Деформированные полиномы Миттага – Леффлера». arXiv : 1007.3612 .
- ^ Запись Mathworld «Полином Миттаг-Леффлера»
- ^ Бейтман, Х. (1940). «Полином Миттаг-Леффлера» (PDF) . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 26 (8): 491–496. Бибкод : 1940PNAS...26..491B. дои : 10.1073/pnas.26.8.491 . ISSN 0027-8424. JSTOR 86958. MR 0002381. PMC 1078216 . ПМИД 16588390.
- ^ см. в конце этого вопроса о Mathoverflow
- ^ ответ на math.stackexchange
- ^ похоже на этот вопрос в Mathoverflow
- ^ метод, используемый в этом ответе на Mathoverflow
- ^ или см. формулу (14) на https://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html.
- Бейтман, Х. (1940), «Полином Миттаг-Леффлера» (PDF) , Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 26 (8): 491–496, Бибкод : 1940PNAS ... 26 ..491B, doi : 10.1073/pnas.26.8.491 , ISSN 0027-8424, JSTOR 86958, MR 0002381, PMC 1078216 , PMID 16588390
- Миттаг-Леффлер, Г. (1891), «Sur la représentasion analytique des intégrales et des invariants d'une équation différentielle lineaire et homogène», Acta Mathematica (на французском языке), XV : 1–32, doi : 10.1007/BF02392600 , ISSN 0001-5962, ЖФМ 23.0327.01
- Станкович, Миомир С.; Маринкович, Сладжана Д.; Райкович, Предраг М. (2010), Деформированные полиномы Миттага – Леффлера , arXiv : 1007.3612