Теорема Хирцебруха – Римана – Роха.

Об эйлеровой характеристике голоморфного векторного расслоения на компактном комплексном многообразии

В математике теорема Хирцебруха –Римана–Роха , названная в честь Фридриха Хирцебруха , Бернхарда Римана и Густава Роха , является результатом Хирцебруха 1954 года, обобщающим классическую теорему Римана–Роха о римановых поверхностях на все комплексные алгебраические многообразия высших размерностей. Результат проложил путь для теоремы Гротендика–Хирцебруха–Римана–Роха, доказанной примерно три года спустя.

Формулировка теоремы Хирцебруха–Римана–Роха

Теорема Хирцебруха–Римана–Роха применима к любому голоморфному векторному расслоению E на компактном комплексном многообразии X для вычисления голоморфной эйлеровой характеристики E в когомологиях пучков , а именно знакопеременной суммы

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\dim _{\mathbb {C} }H^{i}(X,E)}$

измерений как комплексных векторных пространств, где n — комплексная размерность X.

Теорема Хирцебруха утверждает, что χ( X , E ) вычислимо в терминах классов Черна c _k ( E ) для E и классов Тодда голоморфного касательного расслоения для X . Все они лежат в кольце когомологий для X ; используя фундаментальный класс (или, другими словами, интегрирование по X ) мы можем получить числа из классов в Формула Хирцебруха утверждает, что ${\displaystyle \operatorname {td} _{j}(X)}$ ${\displaystyle H^{2n}(X).}$

${\displaystyle \chi (X,E)=\sum \operatorname {ch} _{n-j}(E)\operatorname {td} _{j}(X),}$

где сумма берется по всем соответствующим j (так что 0 ≤ j ≤ n ), используя характер Черна ch( E ) в когомологиях. Другими словами, произведения формируются в кольце когомологий всех «совпадающих» степеней, которые в сумме дают 2 n . Сформулированная по-другому, это дает равенство

${\displaystyle \chi (X,E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {td} (X)}$

где — класс Тодда касательного расслоения X. ${\displaystyle \operatorname {td} (X)}$

Значимые особые случаи — когда E — комплексное линейное расслоение , а X — алгебраическая поверхность ( формула Нётер ). Теорема Римана–Роха Вейля для векторных расслоений на кривых и теорема Римана–Роха для алгебраических поверхностей (см. ниже) включены в ее область действия. Формула также выражает точным образом неопределенное представление о том, что классы Тодда в некотором смысле обратны характеру Черна .

Теорема Римана-Роха для кривых

Для кривых теорема Хирцебруха–Римана–Роха по сути является классической теоремой Римана–Роха . Чтобы увидеть это, вспомним, что для каждого дивизора D на кривой существует обратимый пучок O( D ) (соответствующий линейному расслоению) такой, что линейная система D является более или менее пространством сечений O( D ). Для кривых класс Тодда равен , а характер Черна пучка O( D ) равен просто 1+ c ₁ (O( D )), поэтому теорема Хирцебруха–Римана–Роха утверждает, что ${\displaystyle 1+c_{1}(T(X))/2,}$

${\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(D))-h^{1}({\mathcal {O}}(D))=c_{1}({\mathcal {O}}(D))+c_{1}(T(X))/2\ \ \ }$(интегрировано по X ).

Но h ⁰ (O( D )) — это всего лишь l ( D ), размерность линейной системы D , и по двойственности Серра h ¹ (O( D )) = h ⁰ (O( K  −  D )) = l ( K  −  D ), где K — канонический дивизор . Более того, c ₁ (O( D )), проинтегрированное по X, — это степень D , а c ₁ ( T ( X )), проинтегрированное по X, — это класс Эйлера 2 − 2 g кривой X , где g — это род. Таким образом, мы получаем классическую теорему Римана-Роха

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)={\text{deg}}(D)+1-g.}$

Для векторных расслоений V характер Черна равен rank( V ) + c ₁ ( V ), поэтому мы получаем теорему Вейля Римана-Роха для векторных расслоений над кривыми:

${\displaystyle h^{0}(V)-h^{1}(V)=c_{1}(V)+\operatorname {rank} (V)(1-g).}$

Теорема Римана-Роха для поверхностей

Для поверхностей теорема Хирцебруха–Римана–Роха по сути является теоремой Римана–Роха для поверхностей

${\displaystyle \chi (D)=\chi ({\mathcal {O}})+((D.D)-(D.K))/2.}$

в сочетании с формулой Нётер.

При желании можно использовать двойственность Серра, чтобы выразить h ² (O( D )) как h ⁰ (O( K  −  D )), но в отличие от случая кривых, в общем случае не существует простого способа записать член h ¹ (O( D )) в форме, не включающей когомологии пучков (хотя на практике он часто исчезает).

Асимптотика Римана–Роха

Пусть D — обильный дивизор Картье на неприводимом проективном многообразии X размерности n . Тогда

${\displaystyle h^{0}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)={\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

В более общем случае, если есть любой когерентный пучок на X , то ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle h^{0}\left(X,{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)=\operatorname {rank} ({\mathcal {F}}){\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

Смотрите также

• Теорема Гротендика–Римана–Роха — содержит множество вычислений и примеров.
• Полином Гильберта - HRR можно использовать для вычисления полиномов Гильберта

Ссылки

• Фридрих Хирцебрух , Топологические методы в алгебраической геометрии ISBN  3-540-58663-6

Внешние ссылки

• Теорема Хирцебруха-Римана-Роха