Параметры Куранта – Снайдера

Набор величин в физике ускорителей

Одномерный график положения-импульса, показывающий эллипс луча, описываемый параметрами Куранта – Снайдера.

В физике ускорителей параметры Куранта -Снайдера (часто называемые параметрами Твисса или параметрами CS ) представляют собой набор величин, используемых для описания распределения положений и скоростей частиц в пучке. ^[1] Когда положения в одном измерении и скорости (или импульсы) вдоль этого измерения каждой частицы в пучке наносятся на диаграмму фазового пространства , эллипс , охватывающий частицы, может быть задан уравнением:

${\displaystyle \gamma x^{2}+2\alpha xx'+\beta x'^{2}=\epsilon }$

где – ось положения, – ось скорости. В этой формулировке , , и – параметры Куранта–Снайдера для пучка вдоль заданной оси, – эмиттанс . Для луча можно рассчитать три набора параметров, по одному для каждого ортогонального направления: x, y и z. ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \epsilon }$

История

Использование этих параметров для описания свойств фазового пространства пучков частиц было популяризировано в сообществе физиков ускорителей Эрнестом Курантом и Хартландом Снайдером в их статье 1953 года «Теория синхротрона с переменным градиентом». ^[3] В литературе по физике ускорителей они также широко упоминаются как «параметры Твисса» в честь британского астронома Ричарда К. Твисса , хотя неясно, как его имя стало ассоциироваться с этой формулировкой. ^[4]

Описание области фазового пространства

При моделировании движения частиц через ускоритель или линию транспортировки пучка часто желательно описать общие свойства ансамбля частиц, а не отслеживать движение каждой частицы в отдельности. ^{[2] : 155} С помощью теоремы Лиувилля можно показать, что плотность, занимаемая на графике фазового пространства положения и импульса, постоянна, когда на балку действуют только консервативные силы. Площадь, занимаемая лучом на этом графике, известна как эмиттанс луча , хотя существует ряд конкурирующих определений для точного математического определения этого свойства. ^[5]

Координаты

В физике ускорителей положения координат обычно определяются относительно идеализированной эталонной частицы , которая следует идеальной расчетной траектории ускорителя. Направление, соответствующее этой траектории, обозначается буквой «z» (иногда «s») и также называется продольной координатой . Две поперечные оси координат x и y определены перпендикулярно оси z и друг другу. ^[6]

Помимо описания положений каждой частицы относительно эталонной частицы по осям x, y и z, необходимо также учитывать скорость изменения каждой из этих величин. Обычно это выражается как скорость изменения по продольной координате (x' = dx/dz), а не по времени. В большинстве случаев x' и y' оба намного меньше 1, поскольку частицы будут двигаться вдоль траектории луча намного быстрее, чем поперек него. ^{[2] : 30} Учитывая это предположение, можно использовать приближение малого угла, чтобы выразить x' и y' как углы, а не как простые отношения. Таким образом, x' и y' чаще всего выражаются в миллирадианах .

Уравнение эллипса

Когда вокруг распределения частиц в фазовом пространстве рисуется эллипс, уравнение эллипса задается следующим образом:

${\displaystyle \gamma x^{2}+2\alpha xx'+\beta x'^{2}=area}$

«Площадь» здесь представляет собой площадь в фазовом пространстве и имеет единицы длины * угол. Некоторые источники определяют площадь как эмиттанс луча , в то время как другие используют . Также возможно определить площадь как определенную долю частиц в пучке с двумерным гауссовым распределением . ^{[5] : 83} ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon /\pi }$

Остальные три коэффициента , , и являются параметрами CS. Поскольку этот эллипс представляет собой мгновенный график положений и скоростей частиц в одной точке ускорителя, эти значения будут меняться со временем. Поскольку существует только две независимые переменные, x и x', а эмиттанс постоянен, только два параметра CS являются независимыми. Соотношение между тремя параметрами определяется следующим образом: ^{[2] : 160.} ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \beta \gamma -\alpha ^{2}=1}$

Вывод для периодических систем

Помимо рассмотрения параметров ТС как эмпирического описания совокупности частиц в фазовом пространстве, их можно вывести на основе уравнений движения частиц в электромагнитных полях. ^[1]

Уравнение движения

В сильнофокусирующем ускорителе поперечная фокусировка обеспечивается в основном квадрупольными магнитами. Линейное уравнение движения для поперечного движения, параллельного оси магнита:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dz^{2}}}=-k(z)x}$

где - коэффициент фокусировки , который имеет единицы длины ^-2 и отличен от нуля только в квадрупольном поле. ^[6] (Обратите внимание, что x используется во всем этом объяснении, но y может быть эквивалентно использовано с изменением знака для k. Продольная координата z требует несколько другого вывода.) ${\displaystyle k(z)}$

Если предположить , что оно периодическое, например, как в круговом ускорителе, то это дифференциальное уравнение той же формы, что и дифференциальное уравнение Хилла . Решением этого уравнения является псевдогармонический осциллятор : ${\displaystyle k(z)}$

${\displaystyle x(z)=A(z)\cos(\phi (z)+\phi _{o})}$

где A(z) — амплитуда колебаний, — «бетатронная фаза», зависящая от значения , — начальная фаза. Амплитуда разлагается на часть, зависящую от положения , и начальное значение , такое, что: ^[6] ${\displaystyle \phi (z)}$ ${\displaystyle k(z)}$ ${\displaystyle \phi _{o}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle A_{o}}$

${\displaystyle x(z)=A_{o}{\sqrt {\beta }}\cos(\phi (z)+\phi _{o})}$

${\displaystyle x'(z)=A_{o}{\frac {\beta '}{2{\sqrt {\beta }}}}\cos(\phi (z)+\phi _{o})-A_{o}{\frac {1}{\sqrt {\beta }}}\sin(\phi (z)+\phi _{o})}$

(Важно помнить, что ' продолжает обозначать производную по положению по направлению движения, а не по времени.)

Распределение частиц

Учитывая эти уравнения движения, взяв средние значения для частиц в пучке, получим: ^{[2] : 163}

${\displaystyle \langle x^{2}\rangle =A_{o}^{2}\beta \langle \cos ^{2}(\phi (z)+\phi _{o})\rangle ={\frac {1}{2}}A_{o}^{2}\beta }$

${\displaystyle \langle {x'}^{2}\rangle =A_{o}^{2}{\frac {(-\beta '/2)^{2}}{2\beta }}+A_{o}^{2}{\frac {1}{2\beta }}=(1+(-\beta '/2)^{2}){\frac {A_{o}^{2}}{2\beta }}}$

${\displaystyle \langle xx'\rangle =-{\frac {A_{o}^{2}}{2}}(-\beta '/2)}$

Их можно упростить, используя следующие определения:

${\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{2}}A_{o}^{2}}$

${\displaystyle \alpha =-{\frac {\beta '}{2}}}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {1+\alpha ^{2}}{\beta }}}$

давая:

${\displaystyle \langle x^{2}\rangle =\epsilon \beta }$

${\displaystyle \langle {x'}^{2}\rangle =\epsilon \gamma }$

${\displaystyle \langle xx'\rangle =-\epsilon \alpha }$

Это параметры КС и эмиттанс в другой форме. В сочетании с соотношением между параметрами это также приводит к определению эмиттанса для произвольного (не обязательно гауссовского) распределения частиц: ^{[2] : 163}

${\displaystyle \epsilon ^{2}=\langle x^{2}\rangle \langle x'^{2}\rangle -\langle xx'\rangle ^{2}}$

Характеристики

Преимущество параметрического описания распределения частиц с использованием параметров CS заключается в том, что эволюцию общего распределения можно рассчитать с помощью матричной оптики легче, чем отслеживать каждую отдельную частицу и затем объединять местоположения в нескольких точках на траектории ускорителя. Например, если распределение частиц с параметрами , , и проходит через пустое пространство длиной L, значения , , и в конце этого пространства определяются как: ^{[2] : 160} ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha (L)}$ ${\displaystyle \beta (L)}$ ${\displaystyle \gamma (L)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\beta (L)\\\alpha (L)\\\gamma (L)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-2L&L^{2}\\0&1&-L\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\beta \\\alpha \\\gamma \end{pmatrix}}}$

Смотрите также

• Эмиттанс луча
• Бета-функция (физика ускорителей)
• Анализ матрицы лучевого переноса

Рекомендации

1. Хольцер, Б.Дж. «Введение в динамику поперечной балки» (PDF) . Труды Школы ускорителей CAS-CERN: Сверхпроводимость для ускорителей . Школа ускорителей CAS-CERN 2013. Эриче, Италия: CERN . стр. 21–40.
2. Видеманн, Хельмут (2007). Физика ускорителей частиц (3-е изд.). Берлин: Шпрингер. стр. 158–161. ISBN 978-3-540-49043-2.
3. Курант, ЭД; Снайдер, HS (апрель 2000 г.). «Теория синхротрона переменного градиента». Анналы физики . 3 (1–2): 360–408. Бибкод : 2000AnPhy.281..360C. CiteSeerX 10.1.1.548.6222 . дои : 10.1006/aphy.2000.6012. 
4. Рут, Рональд Д. (август 2002 г.). «Введение в ускорители частиц», EJN Wilson Oxford U. Press, Нью-Йорк, 2001. 90 долларов США, бумага 45 долларов США (252 стр.). ISBN 0-19-852054-9, бумага ISBN 0-19-850829-8 ». Физика сегодня . 55 (8): 52. дои : 10.1063/1.1510283 . Проверено 12 января 2022 г.
5. Эдвардс, Д.А.; Сайферс, MJ (1993). Введение в физику ускорителей высоких энергий . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0-471-55163--8.
6. Минти, Митико Г.; Циммерман, Фрэнк (2003). Измерение и контроль пучков заряженных частиц . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 6–12. ISBN 3-540-44187-5.