Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона

Алгоритм (ре)конструирования сигнала

Формула интерполяции Уиттекера-Шеннона или sinc -интерполяция - это метод построения функции с ограниченной полосой пропускания с непрерывным временем из последовательности действительных чисел. Формула восходит к работам Э. Бореля в 1898 году и Э. Т. Уиттекера в 1915 году, цитировалась из работ Дж. М. Уиттекера в 1935 году, а также в формулировке теоремы выборки Найквиста-Шеннона Клодом Шенноном в 1949 году. также обычно называют формулой интерполяции Шеннона и формулой интерполяции Уиттекера . Э. Т. Уиттакер, опубликовавший ее в 1915 году, назвал ее кардинальной серией .

Определение

На рисунке слева серая кривая показывает функцию f(t) во временной области, которая отбирается (черные точки) с постоянно увеличивающейся частотой дискретизации и реконструируется для получения золотой кривой. На рисунке справа красной кривой показан частотный спектр исходной функции f(t), который не меняется. Самая высокая частота спектра составляет половину ширины всего спектра. Постоянно увеличивающаяся розовая заливка представляет собой частотный спектр реконструированной функции, который постепенно заполняет большую часть частотного спектра исходной функции по мере увеличения частоты дискретизации. Когда частотный спектр восстановленной функции охватывает весь частотный спектр исходной функции, он в два раза шире самой высокой частоты, и тогда восстановленная форма сигнала соответствует дискретизированной.

Учитывая последовательность действительных чисел x [ n ], непрерывная функция

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,{\rm {sinc}}\left({\frac {t-nT}{T}}\right)\,}$

(где «sinc» обозначает нормализованную функцию sinc ) имеет преобразование Фурье X ( f ), ненулевые значения которого ограничены областью | ж | ≤ 1/(2 Т ). Когда параметр T имеет единицы секунды, предел полосы , 1/(2 T ), имеет единицы циклов/сек ( герц ). Когда последовательность x [ n ] представляет временные выборки в интервале T непрерывной функции, величина f _s = 1/ T известна как частота дискретизации , а f _s /2 — соответствующая частота Найквиста . Когда дискретная функция имеет предел полосы пропускания B меньший, чем частота Найквиста, x ( t ) является идеальной реконструкцией исходной функции. (См. Теорему о выборке .) В противном случае частотные компоненты выше частоты Найквиста «складываются» в область суб-Найквиста X ( f ), что приводит к искажению. (См. Псевдонимы .)

Эквивалентная формулировка: свертка/фильтр нижних частот.

Формула интерполяции выведена в статье о теореме выборки Найквиста-Шеннона , в которой указывается, что ее также можно выразить как свертку бесконечной последовательности импульсов с функцией sinc :

${\displaystyle x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot \underbrace {x(nT)} _{x[n]}\cdot \delta \left(t-nT\right)\right)\circledast \left({\frac {1}{T}}{\rm {sinc}}\left({\frac {t}{T}}\right)\right).}$

Это эквивалентно фильтрации последовательности импульсов с помощью идеального ( кирпичного ) фильтра нижних частот с коэффициентом усиления 1 (или 0 дБ) в полосе пропускания. Если частота дискретизации достаточно высока, это означает, что изображение основной полосы (исходный сигнал до дискретизации) передается без изменений, а другие изображения удаляются фильтром кирпичной стены.

Конвергенция

Интерполяционная формула всегда сходится абсолютно и локально равномерно , пока

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n}}\right|<\infty .}$

По неравенству Гёльдера это выполняется, если последовательность принадлежит любому из пространств с 1 ⩽  p  < ∞, т.е. ${\displaystyle (x[n])_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }\left|x[n]\right|^{p}<\infty .}$

Это условие является достаточным, но не необходимым. Например, сумма обычно сходится, если последовательность выборок получается в результате выборки практически любого стационарного процесса , и в этом случае последовательность выборок не суммируется с квадратом и не находится ни в каком пространстве. ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} )}$

Стационарные случайные процессы

Если x [ n ] — бесконечная последовательность выборок выборочной функции стационарного процесса в широком смысле , то она не является членом какого-либо ^{пространства} или пространства Lp с вероятностью 1; то есть бесконечная сумма выборок, возведенная в степень p, не имеет конечного ожидаемого значения. Тем не менее, формула интерполяции сходится с вероятностью 1. Сходимость можно легко показать, вычислив дисперсии усеченных членов суммирования и показав, что дисперсию можно сделать сколь угодно малой, выбрав достаточное количество членов. Если среднее значение процесса не равно нулю, то необходимо рассмотреть пары термов, чтобы также показать, что ожидаемое значение усеченных термов сходится к нулю. ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Поскольку случайный процесс не имеет преобразования Фурье, то и условие сходимости суммы к исходной функции должно быть иным. Стационарный случайный процесс действительно имеет автокорреляционную функцию и, следовательно, спектральную плотность согласно теореме Винера – Хинчина . Подходящим условием сходимости к выборочной функции процесса является то, что спектральная плотность процесса равна нулю на всех частотах, равных и превышающих половину частоты дискретизации.

Смотрите также

• Сглаживание , Фильтр сглаживания , Пространственное сглаживание
• Прямоугольная функция
• Выборка (обработка сигнала)
• Сигнал (электроника)
• Функция Sinc , фильтр Sinc
• Передискретизация Ланцоша