Интегро-дифференциальное уравнение

Уравнение, включающее как интегралы, так и производные функции

В математике интегро -дифференциальное уравнение — это уравнение , которое включает в себя как интегралы , так и производные функции .

Общие линейные уравнения первого порядка

Общее линейное (только относительно члена, включающего производную) интегро-дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}u(x)+\int _{x_{0}}^{x}f(t,u(t))\,dt=g(x,u(x)),\qquad u(x_{0})=u_{0},\qquad x_{0}\geq 0.}$

Как это обычно бывает с дифференциальными уравнениями , получение решения в замкнутой форме часто может быть затруднено. В относительно немногих случаях, когда решение может быть найдено, это часто происходит с помощью какого-то интегрального преобразования, при котором проблема сначала преобразуется в алгебраическую постановку. В таких ситуациях решение проблемы можно получить, применив обратное преобразование к решению этого алгебраического уравнения.

Пример

Рассмотрим следующую задачу второго порядка:

${\displaystyle u'(x)+2u(x)+5\int _{0}^{x}u(t)\,dt=\theta (x)\qquad {\text{with}}\qquad u(0)=0,}$

где

${\displaystyle \theta (x)=\left\{{\begin{array}{ll}1,\qquad x\geq 0\\0,\qquad x<0\end{array}}\right.}$

– ступенчатая функция Хевисайда . Преобразование Лапласа определяется следующим образом:

${\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}u(x)\,dx.}$

После почленного преобразования Лапласа и использования правил для производных и интегралов интегро-дифференциальное уравнение преобразуется в следующее алгебраическое уравнение:

${\displaystyle sU(s)-u(0)+2U(s)+{\frac {5}{s}}U(s)={\frac {1}{s}}.}$

Таким образом,

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}}$.

Тогда обращение преобразования Лапласа с использованием методов контурного интеграла дает

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}$.

В качестве альтернативы можно заполнить квадрат и использовать таблицу преобразований Лапласа («экспоненциально затухающая синусоида») или вызвать из памяти, чтобы продолжить:

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}={\frac {1}{2}}{\frac {2}{(s+1)^{2}+4}}\Rightarrow u(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{U(s)\right\}={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}$.

Приложения

Интегро-дифференциальные уравнения моделируют многие ситуации из науки и техники , например, при анализе цепей. Согласно второму закону Кирхгофа , чистое падение напряжения в замкнутом контуре равно приложенному напряжению . (По сути, это применение закона сохранения энергии .) Таким образом, RLC-цепь подчиняется зависимости тока от времени, сопротивления, индуктивности и емкости. ^[1] ${\displaystyle E(t)}$ $${\displaystyle L{\frac {d}{dt}}I(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(\tau )d\tau =E(t),}$$ ${\displaystyle I(t)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$

Активность взаимодействующих тормозных и возбуждающих нейронов можно описать системой интегро-дифференциальных уравнений, см., например, модель Вильсона-Коуэна .

Уравнение Уизема используется для моделирования нелинейных дисперсионных волн в гидродинамике. ^[2]

Эпидемиология

Интегро-дифференциальные уравнения нашли применение в эпидемиологии , математическом моделировании эпидемий , особенно когда модели содержат возрастную структуру ^[3] или описывают пространственные эпидемии. ^[4] Теория Кермака-Маккендрика о передаче инфекционных заболеваний является одним из конкретных примеров того, как возрастная структура населения включена в структуру моделирования.

Смотрите также

• Дифференциальное уравнение с задержкой
• Дифференциальное уравнение
• Интегральное уравнение
• Интегроразностное уравнение

Рекомендации

1. Зилл, Деннис Г. и Уоррен С. Райт. «Раздел 7.4: Эксплуатационные свойства II». Дифференциальные уравнения с краевыми задачами , 8-е изд., Brooks/Cole Cengage Learning, 2013, с. 305. ISBN  978-1-111-82706-9 . Глава 7 посвящена преобразованию Лапласа.
2. Уизем, Великобритания (1974). Линейные и нелинейные волны . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-94090-9.
3. Брауэр, Фред; ван ден Дриссе, Полина ; Ву, Цзяньхун, ред. (2008). Математическая эпидемиология . Конспект лекций по математике. Том. 1945. стр. 205–227. дои : 10.1007/978-3-540-78911-6. ISBN 978-3-540-78910-9. ISSN  0075-8434.
4. Медлок, январь (16 марта 2005 г.). «Модели интегро-дифференциальных уравнений для инфекционных заболеваний» (PDF) . Йельский университет . Архивировано из оригинала (PDF) 21 марта 2020 г.

дальнейшее чтение

• Вангипурам Лакшмикантам, М. Рама Мохана Рао, «Теория интегро-дифференциальных уравнений», CRC Press, 1995 г.

Внешние ссылки

• Интерактивная математика
• Численное решение примера с использованием Chebfun