Связанное состояние

Терминология квантовой физики

Связанное состояние — это соединение двух или более фундаментальных строительных блоков, таких как частицы, атомы или тела, которое ведет себя как единый объект и для его разделения требуется энергия. ^[1]

В квантовой физике связанное состояние — это квантовое состояние частицы, подверженное такому потенциалу , что частица имеет тенденцию оставаться локализованной в одной или нескольких областях пространства. ^[2] Потенциал может быть внешним или быть результатом присутствия другой частицы; в последнем случае можно эквивалентно определить связанное состояние как состояние, представляющее две или более частицы, энергия взаимодействия которых превышает полную энергию каждой отдельной частицы. Одним из последствий является то, что, учитывая потенциал, исчезающий на бесконечности , состояния с отрицательной энергией должны быть связаны. Энергетический спектр набора связанных состояний чаще всего дискретен, в отличие от состояний рассеяния свободных частиц , которые имеют непрерывный спектр.

Метастабильные состояния с чистой положительной энергией взаимодействия, но большим временем затухания, хотя и не являются связанными состояниями в строгом смысле этого слова, часто также считаются нестабильными связанными состояниями и называются «квазисвязанными состояниями». ^[3] Примеры включают радионуклиды и атомы Ридберга . ^[4]

В релятивистской квантовой теории поля устойчивое связанное состояние n частиц с массами соответствует полюсу в S-матрице с энергией центра масс меньше . Неустойчивое связанное состояние проявляется в виде полюса со сложной энергией центра масс. ${\displaystyle \{m_{k}\}_{k=1}^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k}m_{k}}$

Примеры

Обзор различных семейств элементарных и составных частиц, а также теорий, описывающих их взаимодействия.

• Протон и электрон могут двигаться отдельно; когда они это делают, общая энергия центра масс положительна, и такую ​​пару частиц можно описать как ионизированный атом. Как только электрон начинает «вращаться» вокруг протона, энергия становится отрицательной и  образуется связанное состояние, а именно атом водорода . Стабильным является только связанное состояние с наименьшей энергией, основное состояние . Другие возбужденные состояния нестабильны и распадаются на стабильные (но не на другие нестабильные) связанные состояния с меньшей энергией путем испускания фотона .
• « Атом » позитрония — это нестабильное связанное состояние электрона и позитрона . Он распадается на фотоны .
• Любое состояние квантового гармонического осциллятора является связанным, но имеет положительную энергию. Обратите внимание, что приведенное ниже не применяется. ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{V_{\text{QHO}}(x)}=\infty }$
• Ядро — это связанное состояние протонов и нейтронов ( нуклонов ).
• Сам протон представляет собой связанное состояние трех кварков (два верхних и один нижний ; один красный , один зеленый и один синий ). Однако, в отличие от атома водорода, отдельные кварки никогда не могут быть изолированы. См. заключение .
• Модели Хаббарда и Джейнса -Каммингса-Хаббарда (JCH) поддерживают аналогичные связанные состояния. В модели Хаббарда два отталкивающихся бозонных атома могут образовывать связанную пару в оптической решетке . ^{[5] [6] [7]} Гамильтониан JCH также поддерживает двухполяритонные связанные состояния, когда взаимодействие фотона с атомом достаточно сильное. ^[8]

Определение

Пусть σ -конечное пространство с мерой — вероятностное пространство , связанное с сепарабельным комплексным гильбертовым пространством . Определите однопараметрическую группу унитарных операторов , оператора плотности и наблюдаемой на . Пусть – индуцированное распределение вероятностей относительно . Тогда эволюция ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \rho =\rho (t_{0})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mu (T,\rho )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho (t_{0})\mapsto [U_{t}(\rho )](t_{0})=\rho (t_{0}+t)}$

связан относительно того , если ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{R\rightarrow \infty }{\sup _{t\geq t_{0}}{\mu (T,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})}}=0}$,

где . ^{[ сомнительно ] [9]} ${\displaystyle \mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace }$

Квантовая частица находится в связанном состоянии , если ни в какой момент времени она не находится «слишком далеко» от любой конечной области . Например, используя представление волновой функции , это означает, что ${\displaystyle R\subset X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{R\to \infty }{\mathbb {P} ({\text{particle measured inside }}X\setminus R)}\\&=\lim _{R\to \infty }{\int _{X\setminus R}|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)},\end{aligned}}}$

такой, что

${\displaystyle \int _{X}{|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}<\infty .}$

В общем, квантовое состояние является связанным состоянием тогда и только тогда, когда оно конечно нормируемо во все времена . ^[10] Кроме того, связанное состояние находится в пределах чисто точечной части спектра тогда и только тогда, когда оно является собственным состоянием . ^[11] ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Говоря более неформально, «ограниченность» является результатом выбора области определения и характеристик состояния, а не наблюдаемого. ^{[nb 1]} Конкретный пример: пусть и пусть будет оператором позиции . Учитывая компактную поддержку и . ${\displaystyle H:=L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho =\rho (0)\in H}$ ${\displaystyle [-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho )}$

• Если эволюция состояния «перемещает этот волновой пакет вправо», например, если для всех , то состояние не является связанным по отношению к положению. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle [t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \rho }$
• Если не меняется во времени, т.е. для всех , то привязано по положению. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho (t)=\rho }$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \rho }$
• В более общем смысле: если эволюция состояния «просто движется внутри ограниченной области», то она связана с положением. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Характеристики

Поскольку конечно нормируемые состояния должны находиться в пределах чисто точечной части спектра, связанные состояния должны лежать в пределах чисто точечной части. Однако, как указали Нейман и Вигнер , энергия связанного состояния может находиться в непрерывной части спектра. Это явление называется связанным состоянием в континууме . ^{[12] [13]}

Состояния, связанные с позицией

Рассмотрим одночастичное уравнение Шрёдингера. Если состояние имеет энергию , то волновая функция ψ удовлетворяет для некоторого ${\textstyle E<\max {\left(\lim _{x\to \infty }{V(x)},\lim _{x\to -\infty }{V(x)}\right)}}$ ${\displaystyle X>0}$

${\displaystyle {\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V(x)-E)>0{\text{ for }}x>X}$

так что ψ экспоненциально подавляется при больших x . Такое поведение хорошо изучено для плавно меняющихся потенциалов в приближении ВКБ для волновой функции, где наблюдается колебательное поведение, если правая часть уравнения отрицательна, и поведение роста/затухания, если оно положительно. ^[14] Следовательно, отрицательные энергетические состояния связаны, если V обращается в нуль на бесконечности.

Невырожденность в одномерных связанных состояниях

Можно показать, что одномерные связанные состояния невырождены по энергии для волновых функций с хорошим поведением, которые затухают до нуля на бесконечности. Это не обязательно справедливо для волновой функции в более высоких измерениях. Благодаря свойству невырожденных состояний одномерные связанные состояния всегда можно выразить как действительные волновые функции.

Теорема об узлах

Теорема об узлах утверждает, что n-я связанная волновая функция, упорядоченная по возрастанию энергии, имеет ровно n-1 узлов, т.е. точки , где . Из-за формы независимых от времени уравнений Шредингера физическая волновая функция невозможна, поскольку она соответствует решению. ^[15] ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle \psi (a)=0\neq \psi '(a)}$ ${\displaystyle \psi (a)=0=\psi '(a)}$ ${\displaystyle \psi (x)=0}$

Требования

Бозон с массой m _χ , опосредующий слабосвязанное взаимодействие, создает потенциал взаимодействия типа Юкавы :

${\displaystyle V(r)=\pm {\frac {\alpha _{\chi }}{r}}e^{-{\frac {r}{\lambda \!\!\!{\frac {}{\ }}_{\chi }}}}}$,

где , g – калибровочная константа связи, а ƛ _i = ${\displaystyle \alpha _{\chi }=g^{2}/4\pi }$ℏ/м _я с– приведенная комптоновская длина волны . Скалярный бозон создает универсальный потенциал притяжения, тогда как вектор притягивает частицы к античастицам, но отталкивает, как пары. Для двух частиц масс m ₁ и m ₂ боровский радиус системы становится

${\displaystyle a_{0}={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}{\alpha _{\chi }}}}$

и дает безразмерное число

${\displaystyle D={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{a_{0}}}=\alpha _{\chi }{\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}}=\alpha _{\chi }{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{\chi }}}}$.

Для того чтобы первое связанное состояние вообще существовало, . Поскольку фотон безмассовый, для электромагнетизма D бесконечно . Для слабого взаимодействия масса Z-бозона равна ${\displaystyle D\gtrsim 0.8}$91,1876 ± 0,0021 ГэВ/ с ² , что препятствует образованию связанных состояний между большинством частиц, т.к.в 97,2 раза больше массы протона иВ 178 000 раз больше массы электрона .

Обратите внимание, однако, что если бы хиггсовское взаимодействие не нарушило электрослабую симметрию на электрослабом масштабе , то слабое взаимодействие SU(2) стало бы ограничивающим . ^[16]

Смотрите также

• Уравнение Бете – Солпитера
• Связанное состояние в континууме
• Составное поле
• Купер пара
• Резонанс (физика элементарных частиц)
• Теорема Левинсона

Примечания

1. Пример см . в разделе «Ожидаемое значение» (квантовая механика) .

Рекомендации

1. «Связанное состояние - Оксфордский справочник» .
2. Бланшар, Филипп; Брюнинг, Эрвин (2015). Математические методы в физике . Биркхойзер. п. 430. ИСБН 978-3-319-14044-5.
3. Сакураи, Джун (1995). «7,8». Ин Туан, Сан (ред.). Современная квантовая механика (пересмотренная ред.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. стр. 418–9. ISBN 0-201-53929-2. Предположим, что барьер бесконечно высок... мы ожидаем связанных состояний с энергией E  > 0... Это стационарные состояния с бесконечным временем жизни. В более реалистичном случае конечного барьера частица может быть захвачена внутри, но не может быть заперта навсегда. Такое захваченное состояние имеет конечное время жизни из-за квантовомеханического туннелирования. ... Давайте назовем такое государство квазисвязанным, потому что оно было бы честным связанным государством, если бы барьер был бесконечно высоким.
4. Галлахер, Томас Ф. (15 сентября 1994 г.). «Сила и время жизни осцилляторов». Ридберг Атомс (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 38–49. дои : 10.1017/cbo9780511524530.005. ISBN 978-0-521-38531-2.
5. К. Винклер; Г. Талхаммер; Ф. Ланг; Р. Гримм; Дж. Х. Деншлаг; Эй Джей Дейли; А. Кантиан; HP Бухлер; П. Золлер (2006). «Отталкивающе связанные пары атомов в оптической решетке». Природа . 441 (7095): 853–856. arXiv : cond-mat/0605196 . Бибкод : 2006Natur.441..853W. дои : 10.1038/nature04918. PMID  16778884. S2CID  2214243.
6. Яванайнен, Юха; Одонг Отим; Сандерс, Джером К. (апрель 2010 г.). «Димер двух бозонов в одномерной оптической решетке». Физ. Преподобный А. 81 (4): 043609. arXiv : 1004.5118 . Бибкод : 2010PhRvA..81d3609J. doi :10.1103/PhysRevA.81.043609. S2CID  55445588.
7. М. Валиенте и Д. Петросян (2008). «Двухчастичные состояния в модели Хаббарда». Дж. Физ. Летучая мышь. Мол. Опция Физ . 41 (16): 161002. arXiv : 0805.1812 . Бибкод : 2008JPhB...41p1002V. дои : 10.1088/0953-4075/41/16/161002. S2CID  115168045.
8. Макс TC Вонг и CK Law (май 2011 г.). «Двуполяритонные связанные состояния в модели Джейнса-Каммингса-Хаббарда». Физ. Преподобный А. 83 (5). Американское физическое общество : 055802. arXiv : 1101.1366 . Бибкод : 2011PhRvA..83e5802W. doi : 10.1103/PhysRevA.83.055802. S2CID  119200554.
9. Рид, М.; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: I: Функциональный анализ . Академическая пресса. п. 303. ИСБН 978-0-12-585050-6.
10. Рюэль, Д. (1969). «Замечание о связанных состояниях в теории потенциального рассеяния» (PDF) . Иль Нуово Чименто А. 61 (4). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа». дои : 10.1007/bf02819607. ISSN  0369-3546.
11. Саймон, Б. (1978). «Обзор строгой теории рассеяния». п. 3.
12. Стиллинджер, Фрэнк Х.; Херрик, Дэвид Р. (1975). «Связанные состояния в континууме». Физический обзор А. 11 (2). Американское физическое общество (APS): 446–454. doi :10.1103/physreva.11.446. ISSN  0556-2791.
13. Сюй, Цзя Вэй; Чжэнь, Бо; Стоун, А. Дуглас; Джоаннопулос, Джон Д.; Солячич, Марин (2016). «Связанные состояния в континууме». Материалы обзоров природы . 1 (9). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа». дои :10.1038/natrevmats.2016.48. hdl : 1721.1/108400 . ISSN  2058-8437.
14. Холл, Брайан С. (2013). Квантовая теория для математиков . Дипломные тексты по математике. Нью-Йорк, Гейдельберг, Дордрехт, Лондон: Springer. п. 316-320. ISBN 978-1-4614-7115-8.
15. Березин, Ф.А. (1991). Уравнение Шрёдингера. Дордрехт ; Бостон: Издательство Kluwer Academic Publishers. стр. 64–66. ISBN 978-0-7923-1218-5.
16. Клодсон, М.; Фархи, Э.; Яффе, РЛ (1 августа 1986 г.). «Сильно связанная стандартная модель». Физический обзор D . 34 (3): 873–887. Бибкод : 1986PhRvD..34..873C. doi : 10.1103/PhysRevD.34.873. ПМИД  9957220.

дальнейшее чтение

• Бланшар, Филипп; Брюнинг, Эдвард (2015). «Некоторые приложения спектрального представления». Математические методы в физике: распределения, операторы гильбертова пространства, вариационные методы и приложения в квантовой физике (2-е изд.). Швейцария: Международное издательство Springer. п. 431. ИСБН 978-3-319-14044-5.

• Густафсон, Стивен Дж.; Сигал, Израиль Майкл (2011). «Спектр и динамика». Математические концепции квантовой механики (2-е изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag. п. 50. ISBN 978-3-642-21865-1.

• Рюэль, Дэвид (9 января 2016 г.). «Замечание о связанных состояниях в теории потенциального рассеяния» (PDF) . Нуово Чименто А. 61 (июнь 1969 г.): 655–662. дои : 10.1007/BF02819607. S2CID  56050354 . Проверено 27 декабря 2021 г.