Симплициальная сфера

В геометрии и комбинаторике симплициальная (или комбинаторная ) d -сфера — это симплициальный комплекс, гомеоморфный d - мерной сфере . Некоторые симплициальные сферы возникают как границы выпуклых многогранников , однако в более высоких размерностях большинство симплициальных сфер не могут быть получены таким образом.

Одной из важных открытых проблем в этой области была g-гипотеза , сформулированная Питером МакМалленом , которая спрашивает о возможном количестве граней различных размерностей симплициальной сферы. В декабре 2018 года g-гипотеза была доказана Каримом Адипрасито в более общем контексте рациональных гомологических сфер. ^{[1] [2]}

Примеры

• Для любого n ≥ 3 простой n -цикл C _n является симплициальной окружностью , т.е. симплициальной сферой размерности 1. Эта конструкция производит все симплициальные окружности.
• Граница выпуклого многогранника в R3 с треугольными гранями, такого как октаэдр или ^{икосаэдр} , является симплициальной 2-сферой.
• В более общем случае граница любого ( d +1)-мерного компактного (или ограниченного ) симплициального выпуклого многогранника в евклидовом пространстве является симплициальной d -сферой.

Характеристики

Из формулы Эйлера следует , что любая симплициальная 2-сфера с n вершинами имеет 3 n − 6 ребер и 2 n − 4 граней. Случай n = 4 реализуется тетраэдром. Повторно выполняя барицентрическое подразделение , легко построить симплициальную сферу для любого n ≥ 4. Более того, Эрнст Штейниц дал характеристику 1-скелетов (или графов ребер) выпуклых многогранников в R ^{3 ,} подразумевающую, что любая симплициальная 2-сфера является границей выпуклого многогранника.

Бранко Грюнбаум построил пример неполитопальной симплициальной сферы (то есть симплициальной сферы, которая не является границей политопа). Джил Калай доказал, что на самом деле «большинство» симплициальных сфер неполитопальны. Наименьший пример имеет размерность d = 4 и f ₀ = 8 вершин.

Теорема о верхней границе дает верхние оценки для числа f _i i -граней любой симплициальной d -сферы с f ₀ = n вершинами. Эта гипотеза была доказана для симплициальных выпуклых многогранников Питером МакМалленом в 1970 году ^[3] и Ричардом Стэнли для общих симплициальных сфер в 1975 году.

Гипотеза g , сформулированная МакМалленом в 1970 году, требует полной характеристики f -векторов симплициальных d -сфер. Другими словами, каковы возможные последовательности чисел граней каждой размерности для симплициальной d -сферы? В случае многогранных сфер ответ дается g - теоремой , доказанной в 1979 году Биллерой и Ли (существование) и Стэнли (необходимость). Было высказано предположение, что те же условия необходимы для общих симплициальных сфер. Гипотеза была доказана Каримом Адипрасито в декабре 2018 года. ^{[1] [2]}

Смотрите также

• Уравнения Дена–Соммервилля

Ссылки

1. Адипрасито, Карим (2019). «Комбинаторные теоремы Лефшеца за пределами положительности». arXiv : 1812.10454 .
2. Kalai, Gil (2018-12-25). "Удивительно: Карим Адипрасито доказал g-гипотезу для сфер!". Комбинаторика и многое другое . Получено 2018-12-25 .
3. МакМаллен, П. (1971). «О гипотезе верхней границы для выпуклых многогранников». Журнал комбинаторной теории, Серия B. 10 : 187–200. doi : 10.1016 /0095-8956(71)90042-6 .

• Стэнли, Ричард (1996). Комбинаторика и коммутативная алгебра . Прогресс в математике. Т. 41 (Второе изд.). Бостон: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3836-9.