Гиперпрямоугольник

Обобщение прямоугольника для более высоких размерностей

Проекции К-ячеек на плоскость (от до ). Показаны только края ячеек более высокой размерности. ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle 6}$

В геометрии гиперпрямоугольник (также называемый ящиком , гипербоксом , -ячейкой или ортотопом ^[2] ) является обобщением прямоугольника ( плоской фигуры ) и прямоугольного кубоида ( объемной фигуры ) на более высокие измерения . Необходимым и достаточным условием является то, что он конгруэнтен декартову произведению конечных интервалов . [ ^3] Это означает, что -мерное прямоугольное тело имеет каждое из своих ребер, равных одному из замкнутых интервалов, используемых в определении. Каждая -ячейка компактна . ^{[4] [5]} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Если все ребра имеют одинаковую длину, то это гиперкуб . Гиперпрямоугольник является частным случаем параллелоэдра .

Формальное определение

Для каждого целого числа от до пусть и будут действительными числами такими, что . Множество всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам, является -клеткой . ^[6] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}<b_{i}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{k})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}}$ ${\displaystyle k}$

Интуиция

Ячейка размерности особенно проста. Например, ячейка 1 — это просто интервал с . Ячейка 2 — это прямоугольник, образованный декартовым произведением двух замкнутых интервалов, а ячейка 3 — это прямоугольное тело. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\leq 3}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a<b}$

Стороны и ребра 3 -ячейки не обязательно должны быть равны по (евклидовой) длине; хотя единичный куб (имеющий границы одинаковой евклидовой длины) является 3-ячейкой, множество всех 3-ячеек с ребрами одинаковой длины является строгим подмножеством множества всех 3-ячеек. ${\displaystyle k}$

Типы

Четырехмерный ортотоп, скорее всего, является гиперкубоидом. ^[7]

Частным случаем n -мерного ортотопа, где все ребра имеют одинаковую длину, является n - куб или гиперкуб. ^[2]

По аналогии, термин «гиперпрямоугольник» может относиться к декартовым произведениям ортогональных интервалов других видов, таких как диапазоны ключей в теории баз данных или диапазоны целых чисел , а не действительных чисел . ^[8]

Двойной многогранник

Двойственный многогранник n -ортотопа по - разному назывался прямоугольным n -ортоплексом , ромбическим n -фузилем или n -ромбом . Он построен 2 n точками , расположенными в центре прямоугольных граней ортотопа.

Символ Шлефли n- фузиля можно представить в виде суммы n ортогональных отрезков: { } + { } + ... + { } или n { }.

1-фузея — это отрезок прямой . 2-фузея — это ромб . Его плоские поперечные выборки во всех парах осей — ромбы .

Смотрите также

• Минимальный ограничивающий прямоугольник
• Кубоид
• куб Гильберта

Примечания

1. NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Коксетера, стр.251
2. Coxeter, 1973
3. Форан (1991)
4. Рудин (1976:39)
5. Форан (1991:24)
6. Рудин (1976:31)
7. Хироцу, Такаши (2022). «Гиперкубоиды нормального размера в заданном гиперкубе». arXiv : 2211.15342 .
8. См., например, Чжан, И; Мунагала, Камеш; Ян, Джун (2011), «Хранение матриц на диске: новый взгляд на теорию и практику» (PDF) , Proc. ВЛДБ , 4 (11): 1075–1086, doi :10.14778/3402707.3402743.

Ссылки

• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Довер. С. 122–123. ISBN 0-486-61480-8.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Ортотоп». MathWorld .
• Форан, Джеймс (1991-01-07). Основы реального анализа. CRC Press. ISBN 9780824784539. Получено 23 мая 2014 г.
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . McGraw-Hill.