Двустороннее преобразование Лапласа

Mathematical operation

В математике двустороннее преобразование Лапласа или двустороннее преобразование Лапласа является интегральным преобразованием, эквивалентным функции, порождающей момент вероятности . Двусторонние преобразования Лапласа тесно связаны с преобразованием Фурье , преобразованием Меллина , Z-преобразованием и обычным или односторонним преобразованием Лапласа . Если f ( t ) — действительная или комплексная функция действительной переменной t , определенная для всех действительных чисел, то двустороннее преобразование Лапласа определяется интегралом

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}(s)=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

Под интегралом чаще всего понимают несобственный интеграл , который сходится тогда и только тогда, когда оба интеграла

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt}$

существовать. Кажется, не существует общепринятого обозначения двустороннего преобразования; использованное здесь слово напоминает «двусторонний». Двустороннее преобразование, используемое некоторыми авторами, имеет вид ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}\{f\}(s)=s{\mathcal {B}}\{f\}(s)=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

В чистой математике аргументом t может быть любая переменная, а преобразования Лапласа используются для изучения того, как дифференциальные операторы преобразуют функцию.

В научных и инженерных приложениях аргумент t часто представляет время (в секундах), а функция f ( t ) часто представляет сигнал или форму волны, которая меняется со временем. В этих случаях сигналы преобразуются фильтрами , работающими как математический оператор, но с ограничением. Они должны быть причинными, что означает, что результат в данный момент времени t не может зависеть от результата, который имеет более высокое значение t . В популяционной экологии аргумент t часто представляет собой пространственное смещение в ядре расселения.

При работе с функциями времени f ( t ) называется представлением сигнала во временной области , а F ( s ) называется представлением s-области (или области Лапласа ). Тогда обратное преобразование представляет собой синтез сигнала как суммы его частотных компонентов, взятых по всем частотам, тогда как прямое преобразование представляет собой анализ сигнала на его частотные компоненты.

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Фурье можно определить с помощью двустороннего преобразования Лапласа:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )=F(\omega ).}$

Обратите внимание, что определения преобразования Фурье различаются, в частности

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)}$

вместо этого часто используется. Используя преобразование Фурье, мы также можем получить двустороннее преобразование Лапласа, как

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)={\mathcal {F}}\{f(t)\}(-is).}$

Преобразование Фурье обычно определяется так, что оно существует для действительных значений; приведенное выше определение определяет изображение в полосе , которая может не включать действительную ось, к которой должно сходиться преобразование Фурье. ${\displaystyle a<\Im (s)<b}$

Именно поэтому преобразования Лапласа сохраняют свою ценность в теории управления и обработке сигналов: сходимость интеграла преобразования Фурье в пределах его области означает только то, что линейная, инвариантная к сдвигу система, описываемая им, стабильна или критична. С другой стороны, уравнение Лапласа где-то сходится для каждой импульсной характеристики, которая растет не более чем экспоненциально, потому что она включает дополнительный член, который можно рассматривать как экспоненциальный регулятор. Поскольку не существует суперэкспоненциально растущих линейных сетей обратной связи, анализ и решение линейных, инвариантных к сдвигу систем на основе преобразования Лапласа принимает наиболее общую форму в контексте преобразований Лапласа, а не преобразований Фурье.

В то же время в настоящее время теория преобразований Лапласа попадает в сферу более общих интегральных преобразований или даже общего гармонического анализа . В этой структуре и номенклатуре преобразования Лапласа являются просто еще одной формой анализа Фурье, даже если оглядываться назад и быть более общими.

Связь с другими интегральными преобразованиями

Если u — ступенчатая функция Хевисайда , равная нулю, когда ее аргумент меньше нуля, половине, когда ее аргумент равен нулю, и единице, когда ее аргумент больше нуля, то преобразование Лапласа можно определить в терминах двустороннее преобразование Лапласа ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={\mathcal {B}}\{fu\}.}$

С другой стороны, у нас также есть

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}={\mathcal {L}}\{f\}+{\mathcal {L}}\{f\circ m\}\circ m,}$

где – функция, которая умножается на минус единицу ( ), поэтому любую версию преобразования Лапласа можно определить через другую. ${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m(x)=-x}$

Преобразование Меллина можно определить в терминах двустороннего преобразования Лапласа следующим образом:

${\displaystyle {\mathcal {M}}\{f\}={\mathcal {B}}\{f\circ {\exp }\circ m\},}$

как указано выше, и наоборот, мы можем получить двустороннее преобразование из преобразования Меллина с помощью ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}={\mathcal {M}}\{f\circ m\circ \log \}.}$

Создающая момент функция непрерывной функции плотности вероятности ƒ ( x ) может быть выражена как . ${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}(-s)}$

Характеристики

Следующие объекты можно найти в работах Брейсуэлл (2000) и Оппенгейм и Уиллски (1997).

Most properties of the bilateral Laplace transform are very similar to properties of the unilateral Laplace transform, but there are some important differences:

Parseval's theorem and Plancherel's theorem

Let ${\displaystyle f_{1}(t)}$ and ${\displaystyle f_{2}(t)}$ be functions with bilateral Laplace transforms ${\displaystyle F_{1}(s)}$ and ${\displaystyle F_{2}(s)}$ in the strips of convergence ${\displaystyle \alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}}$. Let ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ with ${\displaystyle \max(-\beta _{1},\alpha _{2})<c<\min(-\alpha _{1},\beta _{2})}$. Then Parseval's theorem holds:^[1]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f_{1}(t)}}\,f_{2}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\overline {F_{1}(-{\overline {s}})}}\,F_{2}(s)\,ds}$

This theorem is proved by applying the inverse Laplace transform on the convolution theorem in form of the cross-correlation.

Let ${\displaystyle f(t)}$ be a function with bilateral Laplace transform ${\displaystyle F(s)}$in the strip of convergence ${\displaystyle \alpha <\Re s<\beta }$. Let ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ with ${\displaystyle \alpha <c<\beta }$. Then the Plancherel theorem holds:^[2]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2c\,t}\,|f(t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|F(c+ir)|^{2}\,dr}$

Uniqueness

For any two functions ${\textstyle f,g}$ for which the two-sided Laplace transforms ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\},{\mathcal {T}}\{g\}}$ exist, if ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}={\mathcal {T}}\{g\},}$ i.e. ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}(s)={\mathcal {T}}\{g\}(s)}$ for every value of ${\textstyle s\in \mathbb {R} ,}$ then ${\textstyle f=g}$ almost everywhere.

Region of convergence

Bilateral transform requirements for convergence are more difficult than for unilateral transforms. The region of convergence will be normally smaller.

If f is a locally integrable function (or more generally a Borel measure locally of bounded variation), then the Laplace transform F(s) of f converges provided that the limit

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}$

exists. The Laplace transform converges absolutely if the integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}$

exists (as a proper Lebesgue integral). The Laplace transform is usually understood as conditionally convergent, meaning that it converges in the former instead of the latter sense.

The set of values for which F(s) converges absolutely is either of the form Re(s) > a or else Re(s) ≥ a, where a is an extended real constant, −∞ ≤ a ≤ ∞. (This follows from the dominated convergence theorem.) The constant a is known as the abscissa of absolute convergence, and depends on the growth behavior of f(t).^[3] Analogously, the two-sided transform converges absolutely in a strip of the form a < Re(s) < b, and possibly including the lines Re(s) = a or Re(s) = b.^[4] The subset of values of s for which the Laplace transform converges absolutely is called the region of absolute convergence or the domain of absolute convergence. In the two-sided case, it is sometimes called the strip of absolute convergence. The Laplace transform is analytic in the region of absolute convergence.

Similarly, the set of values for which F(s) converges (conditionally or absolutely) is known as the region of conditional convergence, or simply the region of convergence (ROC). If the Laplace transform converges (conditionally) at s = s₀, then it automatically converges for all s with Re(s) > Re(s₀). Therefore, the region of convergence is a half-plane of the form Re(s) > a, possibly including some points of the boundary line Re(s) = a. In the region of convergence Re(s) > Re(s₀), the Laplace transform of f can be expressed by integrating by parts as the integral

${\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}$

That is, in the region of convergence F(s) can effectively be expressed as the absolutely convergent Laplace transform of some other function. In particular, it is analytic.

There are several Paley–Wiener theorems concerning the relationship between the decay properties of f and the properties of the Laplace transform within the region of convergence.

In engineering applications, a function corresponding to a linear time-invariant (LTI) system is stable if every bounded input produces a bounded output.

Causality

Bilateral transforms do not respect causality. They make sense when applied over generic functions but when working with functions of time (signals) unilateral transforms are preferred.

Table of selected bilateral Laplace transforms

Following list of interesting examples for the bilateral Laplace transform can be deduced from the corresponding Fourier or unilateral Laplace transformations (see also Bracewell (2000)):

See also

• Causal filter
• Acausal system
• Causal system
• Sinc filter – ideal sinc filter (aka rectangular filter) is acausal and has an infinite delay.

References

1. LePage 1980, Chapter 11-3, p.340
2. Widder 1941, Chapter VI, §8, p.246
3. Widder 1941, Chapter II, §1
4. Widder 1941, Chapter VI, §2

• LePage, Wilbur R. (1980). Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers. Dover Publications.
• Van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd ed., 1987.
• Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, MR 0005923.
• Bracewell, Ronald N. (2000). The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.).
• Oppenheim, Alan V.; Willsky, Alan S. (1997). Signals & Systems (2nd ed.).