Факторизация графа

1-факторизация графа Дезарга : каждый цветовой класс является 1-фактором .

График Петерсена можно разделить на однофакторный (красный) и двухфакторный (синий). Однако граф не является 1-факторным .

В теории графов фактором графа G является охватывающий подграф , т. е. подграф, который имеет тот же набор вершин , что и G. k -фактор графа представляет собой охватывающий k - регулярный подграф, а k -факторизация разбивает ребра графа на непересекающиеся k -факторы . Граф G называется k- факторизуемым, если он допускает k -факторизацию. В частности, 1-фактор — это идеальное паросочетание , а 1-факторизация k -регулярного графа — это правильная раскраска ребер в k цветов. 2 -фактор — это совокупность циклов , охватывающая все вершины графа.

1-факторизация

Если граф 1-факторизуем, то он должен быть регулярным . Однако не все регулярные графы являются 1-факторными. k -регулярный граф является 1-факторизуемым, если он имеет хроматический индекс k ; примеры таких графиков включают:

• Любой правильный двудольный граф . ^[1] Теорему о браке Холла можно использовать, чтобы показать, что k -регулярный двудольный граф содержит идеальное паросочетание. Затем можно удалить идеальное паросочетание, чтобы получить ( k  − 1)-регулярный двудольный граф, и повторно применить те же рассуждения.
• Любой полный граф с четным числом узлов (см. ниже). ^[2]

Однако существуют также k -регулярные графы с хроматическим индексом k  + 1, и эти графы не являются 1-факторизуемыми; примеры таких графиков включают:

• Любой регулярный граф с нечетным числом узлов.
• График Петерсена .

Полные графики

1-факторизация К ₈ , в которой каждый 1-фактор состоит из ребра от центра до вершины семиугольника вместе со всеми возможными перпендикулярными ребрами

1-факторизация полного графа соответствует спариванию в круговом турнире . 1-факторизация полных графов является частным случаем теоремы Бараньи об 1-факторизации полных гиперграфов .

Один из методов построения 1-факторизации полного графа с четным числом вершин предполагает размещение всех вершин, кроме одной, в правильном многоугольнике с оставшейся вершиной в центре. При таком расположении вершин один из способов построения 1-фактора графа — выбрать ребро e от центра до единственной вершины многоугольника вместе со всеми возможными ребрами, лежащими на прямых, перпендикулярных e . 1-факторы, которые можно построить таким образом, образуют 1-факторизацию графа.

Число различных 1-факторизаций K ₂ , K ₄ , K ₆ , K ₈ , ... равно 1, 1, 6, 6240, 1225566720, 252282619805368320, 98758655816833727741338583040, ... ( OEIS : A0004 38 ).

Гипотеза об 1-факторизации

Пусть G — k -регулярный граф с 2n узлами . Если k достаточно велико, известно, что G должна быть 1-факторизуемой:

• Если k  = 2 n  − 1, то G — полный граф K _{2 n} и, следовательно, 1-факторизуемый (см. выше).
• Если k  = 2 n  − 2, то G можно построить, удалив совершенное паросочетание из K _{2 n} . Опять же, G 1-факторизуема.
• Четвинд и Хилтон (1985) показывают, что если k  ≥ 12 n /7, то G 1-факторизуема.

Гипотеза об 1-факторизации ^[3] — это давняя гипотеза , утверждающая, что k  ≈  n достаточно. Если говорить точнее, то гипотеза такова:

• Если n нечетно и k  ≥  n , то G 1-факторизуема. Если n четно и k  ≥  n  − 1, то G 1-факторизуема.

Гипотеза о переполнении подразумевает гипотезу об 1-факторизации.

Идеальная 1-факторизация

Совершенная пара из 1-факторизации — это пара 1-факторов, объединение которых порождает гамильтонов цикл .

Совершенная 1-факторизация (P1F) графа — это 1-факторизация, обладающая тем свойством, что каждая пара 1-факторов является идеальной парой. Совершенную 1-факторизацию не следует путать с идеальным паросочетанием (также называемым 1-факторизацией).

В 1964 году Антон Коциг предположил, что каждый полный граф K _{2 n} , где n ≥ 2, имеет идеальную 1-факторизацию. На данный момент известно, что следующие графы имеют идеальную 1-факторизацию: ^[4]

• бесконечное семейство полных графов K _{2 p} , где p — нечетное простое число (независимо Андерсоном и Накамурой),
• бесконечное семейство полных графов K _{p +1} , где p — нечетное простое число,
• и спорадические дополнительные результаты, включая K _{2 n} , где 2 n ∈ {16, 28, 36, 40, 50, 126, 170, 244, 344, 730, 1332, 1370, 1850, 2198, 3126, 6860, 12168, 16808, 29792}. Некоторые новые результаты собраны здесь.

Если полный граф Kn _{+ 1} имеет совершенную 1-факторизацию, то полный двудольный граф Kn _{, n также} имеет совершенную 1-факторизацию. ^[5]

2-факторизация

Если граф 2-факторизуем, то он должен быть 2k - регулярным для некоторого целого числа k . Юлиус Петерсен показал в 1891 году, что это необходимое условие является также и достаточным: любой 2k - регулярный граф 2-факторизуем . ^[6]

Если связный граф является 2k - регулярным и имеет четное число ребер, его также можно разложить на k- факторы, выбрав каждый из двух факторов в качестве чередующегося подмножества ребер эйлерова обхода . ^[7] Это применимо только к связным графам; несвязные контрпримеры включают непересекающиеся объединения нечетных циклов или копий K _{2 k  +1} .

Проблема Обервольфаха касается существования 2-факторизации полных графов в изоморфные подграфы. Он спрашивает, для каких подграфов это возможно. Это известно, когда подграф связен (в этом случае он является гамильтоновым циклом и этим частным случаем является задача гамильтонова разложения ), но общий случай остается открытым .

Рекомендации

1. Харари (1969), Теорема 9.2, с. 85. Дистель (2005), следствие 2.1.3, с. 37.
2. Харари (1969), Теорема 9.1, с. 85.
3. Четвинд и Хилтон (1985). Ниссен (1994). Перкович и Рид (1997). Запад.
4. Уоллис, WD (1997), «16. Совершенные факторизации», Однофакторизация , Математика и ее приложения, том. 390 (1-е изд.), Springer US , с. 125, номер домена : 10.1007/978-1-4757-2564-3_16, ISBN 978-0-7923-4323-3
5. Брайант, Дэррин; Менхаут, Барбара М.; Уэнлесс, Ян М. (май 2002 г.), «Семейство совершенных факторизаций полных двудольных графов», Journal of Combinatorial Theory , A, 98 (2): 328–342, doi : 10.1006/jcta.2001.3240 , ISSN  0097-3165
6. Петерсен (1891), §9, с. 200. Харари (1969), Теорема 9.9, с. 90. См. Дистель (2005), следствие 2.1.5, с. 39 для доказательства.
7. Петерсен (1891), §6, с. 198.

Библиография

• Бонди, Джон Адриан ; Мурти, USR (1976), Теория графов с приложениями, Северная Голландия, ISBN 0-444-19451-7, заархивировано из оригинала 13 апреля 2010 г. , получено 18 декабря 2019 г., Раздел 5.1: «Сопоставления».
• Четвинд, АГ ; Хилтон, AJW (1985), «Регулярные графы высокой степени 1-факторизуемы», Proceedings of the London Mathematical Society , 50 (2): 193–206, doi : 10.1112/plms/s3-50.2.193.
• Дистель, Рейнхард (2005), Теория графов (3-е изд.), Springer , ISBN 3-540-26182-6, Глава 2: «Подбор, накрытие и упаковка». Электронное издание.
• Харари, Фрэнк (1969), Теория графов , Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-02787-9, Глава 9: «Факторизация».
• «Однофакторизация», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Ниссен, Томас (1994), «Как найти переполненные подграфы в графах с большой максимальной степенью», Discrete Applied Mathematics , 51 (1–2): 117–125, doi : 10.1016/0166-218X(94)90101-5.
• Перкович, Л.; Рид, Б. (1997), «Раскраска ребер регулярных графов высокой степени», Discrete Mathematics , 165–166: 567–578, doi : 10.1016/S0012-365X(96)00202-6.
• Петерсен, Юлиус (1891), «Теория регулярных графов» (PDF) , Acta Mathematica , 15 : 193–220, doi : 10.1007/BF02392606.
• Уэст, Дуглас Б. «Гипотеза 1-факторизации (1985?)». Открытые проблемы – Теория графов и комбинаторика . Проверено 9 января 2010 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Граф-фактор». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «К-Фактор». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «k-факторный граф». Математический мир .

дальнейшее чтение

• Пламмер, Майкл Д. (2007), «Факторы графа и факторизация: 1985–2003: обзор», Discrete Mathematics , 307 (7–8): 791–821, doi :10.1016/j.disc.2005.11.059.