Форма подключения

Концепция математики/физики

В математике , и в частности в дифференциальной геометрии , форма связи — это способ организации данных связи с использованием языка подвижных систем отсчета и дифференциальных форм .

Исторически формы связности были введены Эли Картаном в первой половине 20-го века как часть и одна из главных мотиваций для его метода подвижных систем отсчета. Форма связности, как правило, зависит от выбора системы координат и, таким образом, не является тензорным объектом. Различные обобщения и переосмысления формы связности были сформулированы после первоначальной работы Картана. В частности, на главном расслоении главная связь является естественной переинтерпретацией формы связности как тензорного объекта. С другой стороны, форма связности имеет то преимущество, что она является дифференциальной формой, определенной на дифференцируемом многообразии , а не на абстрактном главном расслоении над ним. Следовательно, несмотря на их отсутствие тензорности, формы связности продолжают использоваться из-за относительной простоты выполнения вычислений с ними. ^[1] В физике формы связности также широко используются в контексте калибровочной теории через калибровочно-ковариантную производную .

Форма связности сопоставляет каждому базису векторного расслоения матрицу дифференциальных форм. Форма связности не является тензорной, поскольку при изменении базиса форма связности преобразуется таким образом, что включает внешнюю производную функций перехода , во многом так же, как символы Кристоффеля для связности Леви-Чивиты . Основным тензорным инвариантом формы связности является ее форма кривизны . При наличии формы припоя, отождествляющей векторное расслоение с касательным расслоением , существует дополнительный инвариант: форма кручения . Во многих случаях формы связности рассматриваются на векторных расслоениях с дополнительной структурой: структурой расслоения волокон со структурной группой .

Векторные пучки

Рамки на векторном пакете

Пусть будет векторным расслоением размерности слоя над дифференцируемым многообразием . Локальный фрейм для является упорядоченным базисом локальных сечений . Всегда можно построить локальный фрейм, поскольку векторные расслоения всегда определяются в терминах локальных тривиализаций , по аналогии с атласом многообразия. То есть, для любой точки на базовом многообразии существует открытая окрестность , для которой векторное расслоение над локально тривиально, то есть изоморфно проецированию на . Структура векторного пространства на может быть, таким образом, расширена на всю локальную тривиализацию, и базис на также может быть расширен; это определяет локальный фрейм. (Здесь используются действительные числа, хотя большая часть разработки может быть расширена на модули над кольцами в целом и на векторные пространства над комплексными числами в частности.) ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U\subseteq M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Пусть будет локальным фреймом на . Этот фрейм может быть использован для локального выражения любого раздела . Например, предположим, что является локальным разделом, определенным над тем же открытым множеством, что и фрейм . Тогда ${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{\alpha })_{\alpha =1,2,\dots ,k}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbb {e} }$

${\displaystyle \xi =\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )}$

где обозначает компоненты в кадре . Как матричное уравнение, это читается ${\displaystyle \xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle \xi ={\mathbf {e} }{\begin{bmatrix}\xi ^{1}(\mathbf {e} )\\\xi ^{2}(\mathbf {e} )\\\vdots \\\xi ^{k}(\mathbf {e} )\end{bmatrix}}={\mathbf {e} }\,\xi (\mathbf {e} )}$

В общей теории относительности такие поля фреймов называются тетрадами . Тетрада специфически связывает локальный фрейм с явной системой координат на базовом многообразии (система координат устанавливается атласом). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Внешние соединения

Связность в E — это тип дифференциального оператора

${\displaystyle D:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (E\otimes T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes \Omega ^{1}M}$

где Γ обозначает пучок локальных сечений векторного расслоения, а Ω ¹ M — расслоение дифференциальных 1-форм на M . Чтобы D было связностью, оно должно быть правильно связано с внешней производной . В частности, если v — локальное сечение E , а f — гладкая функция, то

${\displaystyle D(fv)=v\otimes (df)+fDv}$

где df — внешняя производная f .

Иногда удобно расширить определение D до произвольных E -значных форм , таким образом рассматривая его как дифференциальный оператор на тензорном произведении E с полной внешней алгеброй дифференциальных форм. При наличии внешней связи D, удовлетворяющей этому свойству совместимости, существует единственное расширение D :

${\displaystyle D:\Gamma (E\otimes \Lambda ^{*}T^{*}M)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Lambda ^{*}T^{*}M)}$

такой что

${\displaystyle D(v\wedge \alpha )=(Dv)\wedge \alpha +(-1)^{{\text{deg}}\,v}v\wedge d\alpha }$

где v однородно степени deg v . Другими словами, D является дифференцированием на пучке градуированных модулей Γ( E ⊗ Ω ^* M ).

Формы подключения

Форма связи возникает при применении внешней связи к конкретному фрейму e . При применении внешней связи к e _α она представляет собой уникальную матрицу k × k ( ω _α ^β ) единичных форм на M такую, что

${\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }.}$

В терминах формы связи теперь можно выразить внешнюю связь любого сечения E. Например, предположим, что ξ = Σ _α e _α ξ ^α . Тогда

${\displaystyle D\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}D(e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ))=\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\otimes d\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )+\sum _{\alpha =1}^{k}\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ).}$

Взяв компоненты с обеих сторон,

${\displaystyle D\xi (\mathbf {e} )=d\xi (\mathbf {e} )+\omega \xi (\mathbf {e} )=(d+\omega )\xi (\mathbf {e} )}$

где подразумевается, что d и ω относятся к покомпонентной производной относительно фрейма e , а матрица 1-форм, соответственно, действует на компоненты ξ . Наоборот, матрица 1-форм ω априори достаточна для полного определения связи локально на открытом множестве, над которым определен базис сечений e .

Изменение рамы

Чтобы расширить ω до подходящего глобального объекта, необходимо изучить, как он ведет себя при другом выборе базовых секций E. Запишите ω _α ^β = ω _α ^β ( e ), чтобы указать зависимость от выбора e .

Предположим, что e ′ — другой выбор локального базиса. Тогда существует обратимая матрица k × k функций g такая, что

${\displaystyle {\mathbf {e} }'={\mathbf {e} }\,g,\quad {\text{i.e., }}\,e'_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.}$

Применение внешней связи к обеим сторонам дает закон преобразования для ω :

${\displaystyle \omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega (\mathbf {e} )g.}$

В частности, следует отметить, что ω не преобразуется тензорным образом, поскольку правило перехода от одного кадра к другому включает производные матрицы перехода g .

Глобальные формы связи

Если { U _p } — открытое покрытие M , и каждое U _p снабжено тривиализацией e _p E , то можно определить глобальную форму связи в терминах данных патчинга между локальными формами связи в областях перекрытия. В деталях, форма связи на M — это система матриц ω ( e _p ) 1-форм, определенных на каждом U _p , которые удовлетворяют следующему условию совместимости

${\displaystyle \omega (\mathbf {e} _{q})=(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}d(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})+(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}\omega (\mathbf {e} _{p})(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q}).}$

Это условие совместимости гарантирует, в частности, что внешняя связь сечения E , рассматриваемая абстрактно как сечение E ⊗ Ω ¹ M , не зависит от выбора базисного сечения, используемого для определения связи.

Кривизна

Двумерная форма кривизны формы связи в E определяется как

${\displaystyle \Omega (\mathbf {e} )=d\omega (\mathbf {e} )+\omega (\mathbf {e} )\wedge \omega (\mathbf {e} ).}$

В отличие от формы связи, кривизна ведет себя тензорно при смене системы отсчета, что можно проверить напрямую, используя лемму Пуанкаре . В частности, если e → e g — это смена системы отсчета, то двумерная форма кривизны преобразуется по формуле

${\displaystyle \Omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}\Omega (\mathbf {e} )g.}$

Одна из интерпретаций этого закона преобразования такова. Пусть e ^* будет дуальным базисом, соответствующим фрейму e . Тогда 2-форма

${\displaystyle \Omega ={\mathbf {e} }\Omega (\mathbf {e} ){\mathbf {e} }^{*}}$

не зависит от выбора фрейма. В частности, Ω — векторнозначная двумерная форма на M со значениями в кольце эндоморфизмов Hom( E , E ). Символически,

${\displaystyle \Omega \in \Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes {\text{Hom}}(E,E)).}$

В терминах внешней связности D эндоморфизм кривизны задается выражением

${\displaystyle \Omega (v)=D(Dv)=D^{2}v\,}$

для v ∈ E (мы можем расширить v до локального сечения, чтобы определить это выражение). Таким образом, кривизна измеряет провал последовательности

${\displaystyle \Gamma (E)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Lambda ^{1}T^{*}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Lambda ^{2}T^{*}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \dots \ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Lambda ^{n}T^{*}(M))}$

быть цепным комплексом (в смысле когомологий де Рама ).

Пайка и кручение

Предположим, что размерность слоя k множества E равна размерности многообразия M. В этом случае векторное расслоение E иногда снабжается дополнительным фрагментом данных помимо его связи: формой припоя . Форма припоя — это глобально определенная векторнозначная форма θ ∈ Ω ¹ ( M , E ) такая, что отображение

${\displaystyle \theta _{x}:T_{x}M\rightarrow E_{x}}$

является линейным изоморфизмом для всех x ∈ M. Если задана форма припоя, то можно определить кручение связи (в терминах внешней связи) как

${\displaystyle \Theta =D\theta .\,}$

Кручение Θ является E - значной 2-формой на M.

Форма припоя и связанное с ней кручение могут быть описаны в терминах локальной рамки e E. Если θ является формой припоя, то она разлагается на компоненты рамки

${\displaystyle \theta =\sum _{i}\theta ^{i}(\mathbf {e} )e_{i}.}$

Компоненты кручения тогда

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}(\mathbf {e} )+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}(\mathbf {e} ).}$

Подобно кривизне, можно показать, что Θ ведет себя как контравариантный тензор при изменении системы отсчета:

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} \,g)=\sum _{j}g_{j}^{i}\Theta ^{j}(\mathbf {e} ).}$

Независимое от рамы кручение также может быть получено из компонентов рамы:

${\displaystyle \Theta =\sum _{i}e_{i}\Theta ^{i}(\mathbf {e} ).}$

Идентификации Бьянки

Тождества Бьянки связывают кручение с кривизной. Первое тождество Бьянки утверждает, что

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }$

в то время как второе тождество Бьянки утверждает, что

${\displaystyle \,D\Omega =0.}$

Пример: связь Леви-Чивита

В качестве примера предположим, что M несет риманову метрику . Если имеется векторное расслоение E над M , то метрику можно расширить на все векторное расслоение как метрику расслоения . Затем можно определить связность, совместимую с этой метрикой расслоения, это метрическая связность . Для особого случая, когда E является касательным расслоением TM , метрическая связность называется римановой связностью . Для данной римановой связности всегда можно найти единственную эквивалентную связность, которая не имеет кручения . Это связность Леви-Чивиты на касательном расслоении TM для M. ^{[2] [3]}

Локальный фрейм на касательном расслоении — это упорядоченный список векторных полей e = ( e _i | i = 1, 2, ..., n ) , где n = dim M , определенных на открытом подмножестве M , которые линейно независимы в каждой точке своей области определения. Символы Кристоффеля определяют связность Леви-Чивиты следующим образом:

${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )e_{k}.}$

Если θ = { θ ⁱ | i = 1, 2, ..., n }, обозначает двойственный базис кокасательного расслоения , такой что θ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ _j ( символ Кронекера ), то форма связности имеет вид

${\displaystyle \omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=\sum _{k}\Gamma ^{j}{}_{ki}(\mathbf {e} )\theta ^{k}.}$

В терминах формы связи внешняя связность векторного поля v = Σ _i e _i v ⁱ задается выражением

${\displaystyle Dv=\sum _{k}e_{k}\otimes (dv^{k})+\sum _{j,k}e_{k}\otimes \omega _{j}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}.}$

Из этого можно восстановить связь Леви-Чивиты в обычном смысле, сократив ее с помощью e _i :

${\displaystyle \nabla _{e_{i}}v=\langle Dv,e_{i}\rangle =\sum _{k}e_{k}\left(\nabla _{e_{i}}v^{k}+\sum _{j}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}\right)}$

Кривизна

Форма кривизны 2 связности Леви-Чивиты — это матрица (Ω _i ^j ), заданная выражением

${\displaystyle \Omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )=d\omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )+\sum _{k}\omega _{k}{}^{j}(\mathbf {e} )\wedge \omega _{i}{}^{k}(\mathbf {e} ).}$

Для простоты предположим, что система отсчета e является голономной , так что dθ ⁱ = 0. [ ^4] Тогда, применяя теперь соглашение о суммировании по повторяющимся индексам,

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\Omega _{i}{}^{j}&=d(\Gamma ^{j}{}_{qi}\theta ^{q})+(\Gamma ^{j}{}_{pk}\theta ^{p})\wedge (\Gamma ^{k}{}_{qi}\theta ^{q})\\&\\&=\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}\left(\partial _{p}\Gamma ^{j}{}_{qi}+\Gamma ^{j}{}_{pk}\Gamma ^{k}{}_{qi})\right)\\&\\&={\tfrac {1}{2}}\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}R_{pqi}{}^{j}\end{array}}}$

где R — тензор кривизны Римана .

Торсион

Связность Леви-Чивиты характеризуется как единственная метрическая связность в касательном расслоении с нулевым кручением. Чтобы описать кручение, отметим, что векторное расслоение E является касательным расслоением. Оно несет каноническую форму припоя (иногда называемую канонической формой один , особенно в контексте классической механики ), которая является сечением θ Hom (T M , T M ) = T ^∗ M ⊗ T M , соответствующим тождественному эндоморфизму касательных пространств. В системе отсчета e форма припоя есть {{{1}}} , где снова θ ⁱ является двойственным базисом.

Кручение соединения определяется выражением Θ = Dθ , или в терминах компонентов каркаса паяной формы:

${\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}.}$

Если снова для простоты предположить, что e является голономным, то это выражение сводится к

${\displaystyle \Theta ^{i}=\Gamma ^{i}{}_{kj}\theta ^{k}\wedge \theta ^{j}}$,

который обращается в нуль тогда и только тогда, когда Γ ⁱ _kj симметричен по своим нижним индексам.

Если задана метрическая связность с кручением, всегда можно найти единственную, уникальную связность без кручения, это связность Леви-Чивиты. Разница между римановой связностью и связанной с ней связностью Леви-Чивиты заключается в тензоре конторсии .

Структурные группы

Более конкретный тип формы связи может быть построен, когда векторное расслоение E несет структурную группу . Это составляет предпочтительный класс фреймов e на E , которые связаны группой Ли G . Например, при наличии метрики в E , мы работаем с фреймами, которые образуют ортонормированный базис в каждой точке. Структурная группа тогда является ортогональной группой , поскольку эта группа сохраняет ортонормированность фреймов. Другие примеры включают:

• Обычные фреймы, рассмотренные в предыдущем разделе, имеют структурную группу GL( k ), где k — размерность слоя E .
• Голоморфное касательное расслоение комплексного многообразия (или почти комплексного многообразия ). ^[5] Здесь структурная группа — GL _n ( C ) ⊂ GL _2n ( R ). ^[6] В случае, если задана эрмитова метрика , то структурная группа сводится к унитарной группе, действующей на унитарных фреймах. ^[5]
• Спиноры на многообразии, снабженном спиновой структурой . Рамы унитарны относительно инвариантного скалярного произведения на спиновом пространстве, а группа сводится к спиновой группе .
• Голоморфные касательные расслоения на CR-многообразиях . ^[7]

В общем случае пусть E — заданное векторное расслоение размерности слоя k , а G ⊂ GL( k ) — заданная подгруппа Ли общей линейной группы R ^k . Если ( e _α ) — локальный фрейм E , то матричная функция ( g _i ^j ): M → G может действовать на e _α , чтобы создать новый фрейм

${\displaystyle e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.}$

Два таких фрейма являются G -связанными . Неформально, векторное расслоение E имеет структуру G -связанного, если указан предпочтительный класс фреймов, все из которых локально G -связаны друг с другом. Формально, E является расслоением со структурной группой G , типичным слоем которой является R ^k с естественным действием G как подгруппы GL( k ).

Совместимые соединения

Соединение совместимо со структурой G -расслоения на E при условии, что ассоциированные параллельные транспортные отображения всегда отправляют один G -фрейм в другой. Формально, вдоль кривой γ, локально (то есть для достаточно малых значений t ) должно выполняться следующее:

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{0}^{t}e_{\alpha }(\gamma (0))=\sum _{\beta }e_{\beta }(\gamma (t))g_{\alpha }^{\beta }(t)}$

для некоторой матрицы g _α ^β (которая также может зависеть от t ). Дифференцирование при t =0 дает

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}e_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\omega _{\alpha }^{\beta }({\dot {\gamma }}(0))}$

где коэффициенты ω _α ^β находятся в алгебре Ли g группы Ли G .

При этом наблюдении форма связи ω _α ^β определяется как

${\displaystyle De_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} )}$

совместима со структурой , если матрица единичных форм ω _α ^β ( e ) принимает свои значения в g .

Более того, форма кривизны совместимого соединения представляет собой g -значную двумерную форму.

Изменение рамы

Под изменением рамы

${\displaystyle e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }}$

где g — это G -значная функция, определенная на открытом подмножестве M , форма связи преобразуется посредством

${\displaystyle \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} \cdot g)=(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }dg_{\alpha }^{\gamma }+(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }\omega _{\delta }^{\gamma }(\mathbf {e} )g_{\alpha }^{\delta }.}$

Или, используя матричные продукты:

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega g.}$

Чтобы интерпретировать каждый из этих терминов, напомним, что g  : M → G — это G -значная (локально определенная) функция. Имея это в виду,

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{*}\omega _{\mathfrak {g}}+{\text{Ad}}_{g^{-1}}\omega (\mathbf {e} )}$

где ω _g — форма Маурера-Картана для группы G , здесь отнесенная к M вдоль функции g , а Ad — присоединенное представление G на ее алгебре Ли.

Основные пучки

Форма связи, как она была введена до сих пор, зависит от конкретного выбора фрейма. В первом определении фрейм — это просто локальная основа сечений. Каждому фрейму задается форма связи с законом преобразования для перехода от одного фрейма к другому. Во втором определении сами фреймы несут некоторую дополнительную структуру, предоставляемую группой Ли, и изменения фрейма ограничены теми, которые принимают свои значения в ней. Язык главных расслоений, впервые предложенный Чарльзом Эресманном в 1940-х годах, предоставляет способ организации этих многочисленных форм связи и законов преобразования, связывающих их в единую внутреннюю форму с одним правилом преобразования. Недостатком этого подхода является то, что формы больше не определяются на самом многообразии, а скорее на большем главном расслоении.

Основная связь для формы соединения

Предположим, что E → M — векторное расслоение со структурной группой G. Пусть { U } — открытое покрытие M вместе с G -фреймами на каждом U , обозначаемыми как e _U. Они связаны на пересечениях перекрывающихся открытых множеств соотношением

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}}$

для некоторой G -значной функции h _UV, определенной на U ∩ V .

Пусть F _G E будет множеством всех G -кадров, взятых по каждой точке M. Это главное G -расслоение над M. Подробно, используя тот факт, что все G -кадры являются G -связанными, F _G E может быть реализовано в терминах склеивания данных среди множеств открытого покрытия:

${\displaystyle F_{G}E=\left.\coprod _{U}U\times G\right/\sim }$

где отношение эквивалентности определяется как ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle ((x,g_{U})\in U\times G)\sim ((x,g_{V})\in V\times G)\iff {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}{\text{ and }}g_{U}=h_{UV}^{-1}(x)g_{V}.}$

На F _G E определите главную G -связность следующим образом, указав g -значную единую форму на каждом произведении U × G , которая соблюдает отношение эквивалентности в областях перекрытия. Сначала пусть

${\displaystyle \pi _{1}:U\times G\to U,\quad \pi _{2}:U\times G\to G}$

будут проекционными картами. Теперь для точки ( x , g ) ∈ U × G положим

${\displaystyle \omega _{(x,g)}=Ad_{g^{-1}}\pi _{1}^{*}\omega (\mathbf {e} _{U})+\pi _{2}^{*}\omega _{\mathbf {g} }.}$

Построенная таким образом 1-форма ω уважает переходы между перекрывающимися множествами и, следовательно, спускается, чтобы дать глобально определенную 1-форму на главном расслоении F _G E. Можно показать, что ω является главной связью в том смысле, что она воспроизводит генераторы правого действия G на F _G E и эквивариантно переплетает правое действие на T(F _G E ) с присоединенным представлением G .

Формы соединения, связанные с основным соединением

Наоборот, главная G -связность ω в главном G -расслоении P → M порождает набор форм связности на M. Предположим, что e  : M → P является локальным сечением P. Тогда обратный путь ω вдоль e определяет g -значную единую форму на M :

${\displaystyle \omega ({\mathbf {e} })={\mathbf {e} }^{*}\omega .}$

Изменяя рамки с помощью G -значной функции g , можно увидеть, что ω( e ) преобразуется требуемым образом, используя правило Лейбница и присоединение:

${\displaystyle \langle X,({\mathbf {e} }\cdot g)^{*}\omega \rangle =\langle [d(\mathbf {e} \cdot g)](X),\omega \rangle }$

где X — вектор на M , а d обозначает прямой прогон .

Смотрите также

• Связь с Эхресманном
• Картан соединение
• Аффинная связь
• Форма кривизны

Примечания

1. Гриффитс и Харрис (1978), Уэллс (1980), Спивак (1999a)
2. См. Jost (2011), глава 4, для полного описания связи Леви-Чивиты с этой точки зрения.
3. См. Спивак (1999a), II.7 для полного описания связи Леви-Чивиты с этой точки зрения.
4. В неголономной системе отсчета выражение кривизны еще больше усложняется тем фактом, что необходимо учитывать производные dθ ^{i .}
5. Уэллс (1973).
6. См., например, Кобаяси и Номидзу, том II.
7. См. Черн и Мозер.

Ссылки

• Черн, С.-С., Темы дифференциальной геометрии , Институт перспективных исследований, мимеографированные записи лекций, 1951.
• Черн СС; Мозер, Дж. К. (1974), «Действительные гиперповерхности в комплексных многообразиях», Acta Math. , 133 : 219–271, doi : 10.1007/BF02392146
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1978), Принципы алгебраической геометрии , John Wiley and sons, ISBN 0-471-05059-8
• Йост, Юрген (2011), Риманова геометрия и геометрический анализ (PDF) , Universitext (шестое изд.), Springer, Гейдельберг, doi :10.1007/978-3-642-21298-7, ISBN 978-3-642-21297-0, г-н  2829653
• Кобаяси, Сёсичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, т. 1 (новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Кобаяси, Сёсичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, т. 2 (новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15732-5
• Спивак, Майкл (1999a), Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию (том 2) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3
• Спивак, Майкл (1999b), Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию (том 3) , Publish or Perish, ISBN 0-914098-72-1
• Уэллс, РО (1973), Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0
• Уэллс, РО (1980), Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях , Prentice–Hall