Шестнадцатая проблема Гильберта

О топологии алгебраических кривых и поверхностей

16-я проблема Гильберта была поставлена ​​Давидом Гильбертом на Парижской конференции Международного конгресса математиков в 1900 году как часть его списка из 23 проблем математики . ^[1]

Исходная задача была поставлена ​​как Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей ( Problem der Topologie алгебраишер Курвен унд Флехен ).

На самом деле задача состоит из двух похожих задач из разных разделов математики:

• Исследование относительного расположения ветвей действительных алгебраических кривых степени n (и аналогично для алгебраических поверхностей ).
• Определение верхней границы числа предельных циклов в двумерных полиномиальных векторных полях степени n и исследование их взаимного расположения.

Первая проблема пока не решена для n  = 8. Поэтому именно эту проблему обычно имеют в виду, когда говорят о шестнадцатой проблеме Гильберта в реальной алгебраической геометрии . Вторая проблема также остается нерешенной: верхняя граница для числа предельных циклов неизвестна ни для какого n  > 1, и именно это обычно имеют в виду под шестнадцатой проблемой Гильберта в области динамических систем .

Испанское королевское математическое общество опубликовало объяснение шестнадцатой проблемы Гильберта. ^[2]

Первая часть 16-й проблемы Гильберта

В 1876 году Гарнак исследовал алгебраические кривые в вещественной проективной плоскости и обнаружил, что кривые степени n могут иметь не более

${\displaystyle {n^{2}-3n+4 \over 2}}$

отдельные связанные компоненты . Более того, он показал, как построить кривые, которые достигли этой верхней границы, и, таким образом, это была наилучшая возможная граница. Кривые с таким количеством компонентов называются M-кривыми .

Гильберт исследовал М-кривые степени 6 и обнаружил, что 11 компонентов всегда были сгруппированы определенным образом. Теперь его вызов математическому сообществу состоял в том, чтобы полностью исследовать возможные конфигурации компонентов М-кривых.

Кроме того, он потребовал обобщения теоремы Гарнака о кривой на алгебраические поверхности и аналогичного исследования поверхностей с максимальным числом компонент.

Вторая часть 16-й проблемы Гильберта

Здесь мы будем рассматривать полиномиальные векторные поля в действительной плоскости, то есть систему дифференциальных уравнений вида:

${\displaystyle {dx \over dt}=P(x,y),\qquad {dy \over dt}=Q(x,y)}$

где P и Q являются действительными многочленами степени n .

Эти полиномиальные векторные поля изучались Пуанкаре , у которого возникла идея отказаться от поиска точных решений системы и вместо этого попытаться изучить качественные особенности совокупности всех возможных решений.

Среди многих важных открытий он обнаружил, что предельные множества таких решений не обязательно должны быть стационарной точкой , а скорее могут быть периодическим решением. Такие решения называются предельными циклами .

Вторая часть 16-й проблемы Гильберта состоит в определении верхней границы числа предельных циклов в полиномиальных векторных полях степени n и, подобно первой части, в исследовании их относительного положения.

Результаты

В 1991/1992 годах Юлием Ильяшенко и Жаном Экалле было показано , что каждое полиномиальное векторное поле на плоскости имеет лишь конечное число предельных циклов (статья Анри Дюлака 1923 года , утверждающая доказательство этого утверждения, как было показано в 1981 году, содержит пробел). Это утверждение не очевидно, поскольку легко построить гладкие (C ^∞ ) векторные поля на плоскости с бесконечным числом концентрических предельных циклов. ^[3]

Вопрос о том, существует ли конечная верхняя граница H ( n ) для числа предельных циклов плоских полиномиальных векторных полей степени n, остается нерешенным для любого n  > 1. ( H (1) = 0, поскольку линейные векторные поля не имеют предельных циклов.) Евгений Ландис и Иван Петровский заявили о решении в 1950-х годах, но в начале 1960-х годов было показано, что оно неверно. Известны квадратичные плоские векторные поля с четырьмя предельными циклами. ^[3] Пример численной визуализации четырех предельных циклов в квадратичном плоском векторном поле можно найти в. ^{[4] [5]} В общем случае трудности в оценке числа предельных циклов численным интегрированием обусловлены вложенными предельными циклами с очень узкими областями притяжения, которые являются скрытыми аттракторами , и полуустойчивыми предельными циклами.

Первоначальная формулировка проблем

В своей речи Гильберт представил проблемы следующим образом: ^[6]

Верхняя граница замкнутых и отдельных ветвей алгебраической кривой степени n была определена Гарнаком (Mathematische Annalen, 10); из этого возникает дальнейший вопрос об относительном положении ветвей на плоскости. Что касается кривых степени 6, я — правда, довольно сложным способом — убедился, что 11 ветвей, которые они могут иметь согласно Гарнаку, никогда не могут быть все отдельными, скорее должна существовать одна ветвь, которая имеет другую ветвь, проходящую внутри нее, и девять ветвей, проходящую снаружи, или противоположную. Мне кажется, что тщательное исследование относительного положения верхней границы для отдельных ветвей представляет большой интерес, и аналогично соответствующее исследование числа, формы и положения листов алгебраической поверхности в пространстве — пока даже неизвестно, сколько листов может иметь максимально поверхность степени 4 в трехмерном пространстве. (ср. Рон, Flächen vierter Ordnung, Preissschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Лейпциг, 1886 г.)

Гильберт продолжает: ^[6]

Вслед за этой чисто алгебраической проблемой я хотел бы поднять вопрос, который, как мне кажется, можно решить тем же методом непрерывного изменения коэффициентов и ответ на который имеет такое же значение, как и топология семейств кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, — это вопрос о верхней границе и положении граничных циклов Пуанкаре (cycles limites) для дифференциального уравнения первого порядка вида:

${\displaystyle {dy \over dx}={Y \over X}}$

где X , Y — целые рациональные функции n- й степени относительно x , y или записанные однородно:

${\displaystyle X\left(y{dz \over dt}-z{dy \over dt}\right)+Y\left(z{dx \over dt}-x{dz \over dt}\right)+Z\left(x{dy \over dt}-y{dx \over dt}\right)=0}$

где X , Y , Z означают целые, рациональные, однородные функции n- й степени по x , y , z , а последние следует считать функциями параметра  t .

Ссылки

1. Дэвид Гильберт (перевод Мэри Уинтон Ньюсон). «Математические проблемы».
2. "Собре эль проблема 16 Гильберта" .
3. Ю. Ильяшенко (2002). "Столетняя история 16-й проблемы Гильберта" (PDF) . Бюллетень АМН . 39 (3): 301–354. doi : 10.1090/s0273-0979-02-00946-1 .
4. Кузнецов НВ; Кузнецова ОА; Леонов ГА (2011). "Визуализация четырех предельных циклов нормального размера в двумерной полиномиальной квадратичной системе". Дифференциальные уравнения и динамические системы . 21 (1–2): 29–33. doi :10.1007/s12591-012-0118-6. S2CID  122896664.
5. Леонов ГА; Кузнецов НВ (2013). «Скрытые аттракторы в динамических системах. От скрытых колебаний в задачах Гильберта-Колмогорова, Айзермана и Калмана до скрытого хаотического аттрактора в схемах Чуа». Международный журнал бифуркации и хаоса в прикладных науках и инжиниринге . 23 (1): 1330002–219. Bibcode :2013IJBC...2330002L. doi : 10.1142/S0218127413300024 .
6. Дэвид Гильберт (перевод Мейби Уинтон Ньюсон). «Математические проблемы № 16».

Внешние ссылки

• 16-я проблема Гильберта: вычисление ляпуновских величин и предельных циклов в двумерных динамических системах