Восемнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта , изложенных в знаменитом списке, составленном в 1900 году математиком Дэвидом Гильбертом . Она задает три отдельных вопроса о решетках и упаковке сфер в евклидовом пространстве. [1]
Первая часть задачи спрашивает, существует ли только конечное число существенно различных пространственных групп в -мерном евклидовом пространстве . На этот вопрос Бибербах ответил утвердительно .
Вторая часть задачи спрашивает, существует ли многогранник , который заполняет 3-мерное евклидово пространство, но не является фундаментальной областью какой-либо пространственной группы; то есть, который заполняет, но не допускает изоэдральной ( транзитивной по плитке ) застройки. Такие плитки теперь известны как неизоэдральные . Задавая задачу в трех измерениях, Гильберт, вероятно, предполагал, что такой плитки не существует в двух измерениях; это предположение позже оказалось неверным.
Первая такая плитка в трех измерениях была найдена Карлом Рейнхардтом в 1928 году. Первый пример в двух измерениях был найден Хеешем в 1935 году. [2] Связанная с этим задача Эйнштейна требует формы, которая может замостить пространство, но не с бесконечной циклической группой симметрий.
Третья часть задачи требует плотнейшей упаковки сфер или упаковки других указанных форм. Хотя она явно включает формы, отличные от сфер, она обычно рассматривается как эквивалент гипотезы Кеплера .
В 1998 году американский математик Томас Каллистер Хейлс дал компьютерное доказательство гипотезы Кеплера. Оно показало, что наиболее эффективный способ упаковки сфер — это пирамидальная форма. [3]
