Двенадцатый корень из двух

Алгебраическое иррациональное число

Корень двенадцатой степени из двух или (или что то же самое ) — алгебраическое иррациональное число , примерно равное 1,0594631. Это наиболее важно в западной теории музыки , где оно представляет собой соотношение частот ( музыкальный интервал ) полутона ( Play ⓘ ⁾ в двенадцатитоновой равной темперации . Впервые это число было предложено применительно к музыкальной настройке в шестнадцатом и семнадцатом веках. Он позволяет измерять и сравнивать разные интервалы (соотношения частот), состоящие из разных чисел одного интервала, равного темперированного полутона (например, малая терция составляет 3 полутона, большая терция - 4 полутона, а чистая квинта - 7 полутонов). ). ^[a] Сам полутон делится на 100 центов (1 цент = ). ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}$ ${\displaystyle 2^{1/12}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{1200}]{2}}=2^{1/1200}}$

Численная величина

Корень двенадцатой степени из двух до 20 значащих цифр равен1.059 463 094 359 295 2646 . ^[2] Аппроксимации дробей в порядке возрастания точности включают:18/17,89/84,196/185,1657 г./1564 г., и18904/17843.

По состоянию на декабрь 2013 года ^{[обновлять]}его числовое значение было рассчитано как минимум до двадцати миллиардов десятичных цифр. ^[3]

Равнотемперированная хроматическая гамма

Музыкальный интервал представляет собой соотношение частот, а равнотемперированная хроматическая гамма делит октаву (соотношение которой составляет 2:1) на двенадцать равных частей. Каждая нота имеет частоту, в 2 ^{1/12 раза превышающую частоту} той, что находится под ней. ^{[ нужна цитата ]}

Последовательное применение этого значения к тонам хроматической гаммы, начиная с A выше среднего C (известного как A 4 ) с частотой 440 Гц, дает следующую последовательность тонов :

Конечная ля (ля ₅ : 880 Гц) ровно в два раза превышает частоту нижней ля (ля ₄ : 440 Гц), то есть на одну октаву выше.

Другие шкалы настройки

Другие шкалы настройки используют немного другие соотношения интервалов:

• Справедливая или пифагорейская совершенная квинта равна 3/2, а разница между равномерной совершенной квинтой и справедливой - это град , корень двенадцатой степени пифагорейской запятой ( ¹² √ 531441/524288 ).
• В равномерной шкале Болена – Пирса используется интервал корня тринадцатой степени из трех ( ¹³ √ 3 ​​).
• В «Исследовании II» Штокхаузена (1954) используется корень двадцать пятой степени из пяти ( ²⁵ √ 5 ), составная мажорная терция, разделенная на части 5×5.
• Дельта -шкала основана на ≈ ⁵⁰ √ 3/2 .
• Гамма- шкала основана на ≈ ²⁰ √ 3/2 .
• Бета -шкала основана на ≈ ¹¹ √ 3/2 .
• Альфа -шкала основана на ≈ ⁹ √ 3/2 .

Регулировка шага

Одна октава из 12-тетов на монохорде (линейная)

Хроматический круг изображает равные расстояния между нотами (логарифмические).

Поскольку соотношение частот полутона близко к 106% ( ), увеличение или уменьшение скорости воспроизведения записи на 6% приведет к сдвигу высоты тона вверх или вниз примерно на один полутон, или «полушаг». Высококлассные катушечные магнитные магнитофоны обычно имеют регулировку высоты тона до ±6%, что обычно используется для согласования высоты воспроизведения или записи с другими музыкальными источниками, имеющими немного другие настройки (или, возможно, записанными на оборудовании, которое не работало на достаточной скорости). правильная скорость). Современные студии звукозаписи используют цифровое смещение высоты тона для достижения аналогичных результатов в диапазоне от центов до нескольких полутонов (обратите внимание, что регулировка с катушки на катушку также влияет на темп записываемого звука, а цифровое смещение - нет). ${\displaystyle 1.05946\times 100=105.946}$

История

Исторически это число было впервые предложено применительно к музыкальной настройке в 1580 году (набросано, переписано в 1610 году) Саймоном Стевином . ^[4] В 1581 году итальянский музыкант Винченцо Галилей, возможно, стал первым европейцем, предложившим двенадцатитоновую равнотемперированную систему. ^[1] Корень двенадцатой степени из двух был впервые вычислен в 1584 году китайским математиком и музыкантом Чжу Цзайюем , используя счеты для точного достижения двадцати четырех десятичных знаков, ^[1] вычислен примерно в 1605 году фламандским математиком Саймоном Стевином , ^[1] в 1636 году французский математик Марин Мерсенн и в 1691 году немецкий музыкант Андреас Веркмайстер . ^[5]

Смотрите также

• раздражение
• Просто интонация § Практические трудности
• Музыка и математика
• Частоты клавиш фортепиано
• Обозначение научного шага
• Двенадцатитоновая техника
• Хорошо темперированный клавир

Примечания

1. «Наименьший интервал в равнотемперированной гамме - это соотношение , поэтому , где отношение r делит соотношение p (= 2/1 в октаве) на n равных частей». ^[1] ${\displaystyle r^{n}=p}$ ${\displaystyle r={\sqrt[{n}]{p}}}$

Рекомендации

1. Джозеф, Джордж Гевергезе (2010). Герб павлина : неевропейские корни математики , стр.294-5. Третье издание. Принстон. ISBN  9781400836369 .
2. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A010774 (десятичное представление корня 12-й степени из 2)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
3. Комста, Лукаш. «Страница расчетов». Комста.нет . Проверено 23 декабря 2016 г.^{[ ненадежный источник? ]}
4. Кристенсен, Томас (2002), Кембриджская история теории западной музыки, стр. 205, ISBN 978-0521686983
5. Гудрич, Л. Кэррингтон (2013). Краткая история китайского народа , ^{[без страниц]} . Курьер. ISBN 9780486169231 . Цитирует: Чу Цай-юй (1584). Новые замечания по изучению резонансных трубок . 

дальнейшее чтение

• Барбур, Дж. М. (1933). «Китайское приближение числа π в шестнадцатом веке ». Американский математический ежемесячник . 40 (2): 69–73. дои : 10.2307/2300937. JSTOR  2300937.
• Эллис, Александр ; Гельмгольц, Герман (1954). Об ощущениях тона . Дуврские публикации. ISBN 0-486-60753-4.
• Партч, Гарри (1974). Генезис музыки . Да Капо Пресс. ISBN 0-306-80106-Х.