3-й символ

Коэффициенты, связанные с угловым моментом

В квантовой механике символы Вигнера 3-j , также называемые символами 3 -jm , являются альтернативой коэффициентам Клебша–Гордана для сложения угловых моментов. ^[1] Хотя оба подхода решают одну и ту же физическую задачу, символы 3- j делают это более симметрично.

Математическая связь с коэффициентами Клебша–Гордана

Символы 3- j задаются через коэффициенты Клебша–Гордана следующим образом:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,(-m_{3})\rangle .}$

Компоненты j и m являются квантовыми числами углового момента, т. е. каждое j (и каждое соответствующее m ) является либо неотрицательным целым числом, либо полунечетным целым числом . Показатель степени знакового множителя всегда является целым числом, поэтому он остается тем же при транспонировании влево, а обратное соотношение следует при выполнении замены m ₃ → − m ₃ :

${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle =(-1)^{-j_{1}+j_{2}-m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Явное выражение

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}&\equiv \delta (m_{1}+m_{2}+m_{3},0)(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}{}{\sqrt {\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{1}-j_{2}+j_{3})!(-j_{1}+j_{2}+j_{3})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(j_{3}-m_{3})!(j_{3}+m_{3})!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-j_{3}-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+k)!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}}$

где находится дельта Кронекера . ${\displaystyle \delta (i,j)}$

Суммирование производится по тем целым значениям k, для которых аргумент каждого факториала в знаменателе неотрицателен, т.е. пределы суммирования K и N принимаются равными: нижний верхний Факториалы отрицательных чисел условно принимаются равными нулю, так что значения символа 3 j при, например, или автоматически устанавливаются равными нулю. ${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-j_{3}-m_{1},j_{1}-j_{3}+m_{2}),}$ ${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-j_{3},j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$ ${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$ ${\displaystyle j_{1}<m_{1}}$

Определенительную связь с коэффициентами Клебша–Гордана

Коэффициенты CG определяются таким образом, чтобы выразить сложение двух угловых моментов через третий:

${\displaystyle |j_{3}\,m_{3}\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle .}$

С другой стороны, символы 3- j представляют собой коэффициенты, с которыми необходимо сложить три момента импульса, чтобы результат был равен нулю:

${\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=|0\,0\rangle .}$

Здесь представлено состояние с нулевым угловым моментом ( ). Очевидно, что символ 3- j рассматривает все три угловых момента, участвующих в задаче сложения, на равных основаниях и, следовательно, является более симметричным, чем коэффициент CG. ${\displaystyle |0\,0\rangle }$ ${\displaystyle j=m=0}$

Поскольку состояние не изменяется при вращении, можно также сказать, что сокращение произведения трех вращательных состояний с символом 3- j инвариантно относительно вращений. ${\displaystyle |0\,0\rangle }$

Правила отбора

Символ Вигнера 3- j равен нулю, если не выполнены все следующие условия:

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{i}\in \{-j_{i},-j_{i}+1,-j_{i}+2,\ldots ,j_{i}\}\quad (i=1,2,3),\\&m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,\\&|j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\leq j_{1}+j_{2},\\&(j_{1}+j_{2}+j_{3}){\text{ is an integer (and, moreover, an even integer if }}m_{1}=m_{2}=m_{3}=0{\text{)}}.\\\end{aligned}}}$

Свойства симметрии

Символ 3- j инвариантен относительно четной перестановки его столбцов:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

Нечетная перестановка столбцов дает фазовый множитель:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle =(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\m_{3}&m_{2}&m_{1}\end{pmatrix}}.}$

Изменение знака квантовых чисел ( обращение времени ) также дает фазу: ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Символы 3- j также имеют так называемые симметрии Редже, которые не являются следствием перестановок или обращения времени. ^[2] Эти симметрии таковы:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{1}&{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}\\j_{3}-j_{2}&{\frac {j_{2}-j_{3}-m_{1}}{2}}-m_{3}&{\frac {j_{2}-j_{3}+m_{1}}{2}}+m_{3}\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{3}+m_{2}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{2}+m_{3}}{2}}\\j_{1}-{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&j_{2}-{\frac {j_{1}+j_{3}-m_{2}}{2}}&j_{3}-{\frac {j_{1}+j_{2}-m_{3}}{2}}\end{pmatrix}}.}$

С симметриями Редже символ 3- j имеет в общей сложности 72 симметрии. Они лучше всего отображаются определением символа Редже, которое является однозначным соответствием между ним и символом 3- j и предполагает свойства полумагического квадрата: ^[3]

${\displaystyle R={\begin{array}{|ccc|}\hline -j_{1}+j_{2}+j_{3}&j_{1}-j_{2}+j_{3}&j_{1}+j_{2}-j_{3}\\j_{1}-m_{1}&j_{2}-m_{2}&j_{3}-m_{3}\\j_{1}+m_{1}&j_{2}+m_{2}&j_{3}+m_{3}\\\hline \end{array}},}$

где 72 симметрии теперь соответствуют 3! строкам и 3! столбцам, а также транспонированию матрицы. Эти факты можно использовать для разработки эффективной схемы хранения. ^[3]

Отношения ортогональности

Система из двух угловых моментов с величинами j ₁ и j ₂ может быть описана либо в терминах несвязанных базисных состояний (обозначенных квантовыми числами m ₁ и m ₂ ), либо связанных базисных состояний (обозначенных j ₃ и m ₃ ). Символы 3- j представляют собой унитарное преобразование между этими двумя базисами, и эта унитарность подразумевает соотношения ортогональности

${\displaystyle (2j_{3}+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'_{3}\\m_{1}&m_{2}&m'_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{j_{3},j'_{3}}\delta _{m_{3},m'_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}},}$

${\displaystyle \sum _{j_{3}m_{3}}(2j_{3}+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}'&m_{2}'&m_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}.}$

Треугольная дельта { j ₁  j ₂  j ₃ } равна 1, когда триада ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) удовлетворяет условиям треугольника, и равна нулю в противном случае. Сама треугольная дельта иногда ошибочно называется ^[4] "3- j символом" (без m ) по аналогии с 6- j и 9- j символами, все из которых являются неприводимыми суммами 3- jm символов, где не остается m переменных.

Отношение к сферическим гармоникам; Коэффициенты Гаунта

Символы 3- jm дают интеграл произведений трех сферических гармоник ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&\quad ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

с , и целыми числами. Эти интегралы называются коэффициентами Гаунта. ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle l_{3}}$

Связь с интегралами спин-взвешенных сферических гармоник

Аналогичные соотношения существуют для спин-взвешенных сферических гармоник, если : ${\displaystyle s_{1}+s_{2}+s_{3}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int d\mathbf {\hat {n}} \,_{s_{1}}\!Y_{j_{1}m_{1}}(\mathbf {\hat {n}} )\,_{s_{2}}\!Y_{j_{2}m_{2}}(\mathbf {\hat {n}} )\,_{s_{3}}\!Y_{j_{3}m_{3}}(\mathbf {\hat {n}} )\\&\quad ={\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Рекурсивные отношения

${\displaystyle {\begin{aligned}&{-}{\sqrt {(l_{3}\mp s_{3})(l_{3}\pm s_{3}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}&s_{3}\pm 1\end{pmatrix}}=\\&\quad ={\sqrt {(l_{1}\mp s_{1})(l_{1}\pm s_{1}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}\pm 1&s_{2}&s_{3}\end{pmatrix}}+{\sqrt {(l_{2}\mp s_{2})(l_{2}\pm s_{2}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}\pm 1&s_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Асимптотические выражения

Для ненулевого 3- j символа это ${\displaystyle l_{1}\ll l_{2},l_{3}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {2l_{3}+1}}},}$

где , и является функцией Вигнера . Обычно лучшее приближение, подчиняющееся симметрии Редже, дается выражением ${\displaystyle \cos(\theta )=-2m_{3}/(2l_{3}+1)}$ ${\displaystyle d_{mn}^{l}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {l_{2}+l_{3}+1}}},}$

где . ${\displaystyle \cos(\theta )=(m_{2}-m_{3})/(l_{2}+l_{3}+1)}$

Метрический тензор

Следующая величина действует как метрический тензор в теории углового момента и также известна как символ Вигнера 1-jm : ^[1]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j\\m\quad m'\end{pmatrix}}:={\sqrt {2j+1}}{\begin{pmatrix}j&0&j\\m&0&m'\end{pmatrix}}=(-1)^{j-m'}\delta _{m,-m'}.}$

Его можно использовать для обращения времени в угловых моментах.

Особые случаи и другие свойства

${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {2j+1}}\,\delta _{J,0}.}$

Из уравнения (3.7.9) в ^[6]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j&j&0\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2j+1}}}(-1)^{j-m}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)\,dx={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2},}$

где P — полиномы Лежандра .

Отношение к РакеВ-коэффициенты

Символы Вигнера 3- j связаны с коэффициентами Рака V ^[7] простой фазой:

${\displaystyle V(j_{1}\,j_{2}\,j_{3};m_{1}\,m_{2}\,m_{3})=(-1)^{j_{1}-j_{2}-j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Связь с теорией групп

В этом разделе по существу переосмысливается дефиниционное отношение на языке теории групп.

Групповое представление группы — это гомоморфизм группы в группу линейных преобразований над некоторым векторным пространством. Линейные преобразования могут быть заданы группой матриц относительно некоторого базиса векторного пространства.

Группа преобразований, оставляющая инвариантными угловые моменты, — это трехмерная группа вращений SO(3) . Когда включаются «спиновые» угловые моменты, группа является ее двойной охватывающей группой , SU(2) .

Приводимое представление — это представление, в котором можно применить изменение базиса, чтобы привести все матрицы к блочно-диагональной форме. Представление является неприводимым (irrep), если такого преобразования не существует.

Для каждого значения j 2 j +1 кетов образуют основу для неприводимого представления (irrep) SO(3)/SU(2) над комплексными числами. При наличии двух irreps тензорное прямое произведение может быть сведено к сумме irreps, что приводит к коэффициентам Клебша-Гордона, или путем сведения тройного произведения трех irreps к тривиальному irrep 1, что приводит к символам 3j.

3j символы для других групп

Символ наиболее интенсивно изучался в контексте связи углового момента. Для этого он тесно связан с теорией представления групп SU(2) и SO(3), как обсуждалось выше. Однако многие другие группы важны в физике и химии , и было проведено много работ по символу для этих других групп. В этом разделе рассматривается часть этой работы. ${\displaystyle 3j}$ ${\displaystyle 3j}$

Просто приводимые группы

Оригинальная статья Вигнера ^[1] не ограничивалась SO(3)/SU(2), а вместо этого фокусировалась на просто приводимых (SR) группах. Это группы, в которых

• все классы амбивалентны, т.е. если является членом класса, то и он является его членом. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{-1}}$
• Произведение Кронекера двух нереализованных элементов не имеет кратности, т.е. не содержит ни один нереализованный элемент более одного раза.

Для групп SR каждый непересекающийся элемент эквивалентен своему комплексно сопряженному элементу, и при перестановках столбцов абсолютное значение символа остается неизменным, а фазу каждого можно выбрать так, чтобы они не более чем меняли знак при нечетных перестановках и оставались неизменными при четных перестановках.

Общие компактные группы

Компактные группы образуют широкий класс групп с топологической структурой . Они включают конечные группы с добавленной дискретной топологией и многие группы Ли .

Общие компактные группы не будут ни амбивалентными, ни свободными от кратности. Дером и Шарп ^[8] и Дером ^[9] исследовали символ для общего случая, используя связь с коэффициентами Клебша-Гордона ${\displaystyle 3j}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {1}{[j_{3}]}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}^{*}\,m_{3}\rangle .}$

где — размерность пространства представления, а — комплексно-сопряженное представление к . ${\displaystyle [j]}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j_{3}^{*}}$ ${\displaystyle j_{3}}$

Исследуя перестановки столбцов символа , они выявили три случая: ${\displaystyle 3j}$

• если все из неэквивалентны, то символ может быть выбран инвариантным при любой перестановке его столбцов ${\displaystyle j_{1},j_{2},j_{3}}$ ${\displaystyle 3j}$
• если эквивалентны ровно два, то транспозиции его столбцов могут быть выбраны так, что некоторые символы будут инвариантными, а другие изменят знак. Подход с использованием сплетения группы с ^[10] показал, что они соответствуют представлениям или симметричной группы . Циклические перестановки оставляют символ инвариантным. ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle [2]}$ ${\displaystyle [1^{2}]}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle 3j}$
• если все три эквивалентны, поведение зависит от представлений симметрической группы . Представления группы сплетений, соответствующие , инвариантны относительно транспозиций столбцов, соответствующие меняют знак при транспозициях, в то время как пара, соответствующая двумерному представлению, преобразуется в соответствии с этим. ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle [3]}$ ${\displaystyle [1^{3}]}$ ${\displaystyle [21]}$

Дальнейшие исследования символов для компактных групп были проведены на основе этих принципов. ^[11] ${\displaystyle 3j}$

Солнце)

Специальная унитарная группа SU(n) — это группа Ли n × n унитарных матриц с определителем 1.

Группа SU(3) играет важную роль в теории частиц . Существует много статей, посвященных или эквивалентному символу ^{[12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19]} ${\displaystyle 3j}$

Символ для группы SU(4) был изучен ^{[20] [21]} , в то время как есть также работа по общим группам SU(n) ^{[22] [23]} ${\displaystyle 3j}$

Кристаллографические точечные группы

Существует много работ, посвященных символам или коэффициентам Клебша-Гордона для конечных кристаллографических точечных групп и двойных точечных групп. Книга Батлера ^[24] ссылается на них и подробно описывает теорию вместе с таблицами. ${\displaystyle 3j}$

Магнитные группы

Магнитные группы включают антилинейные операторы, а также линейные операторы. С ними нужно иметь дело, используя теорию Вигнера о корепрезентациях унитарных и антиунитарных групп . Значительное отклонение от стандартной теории представлений заключается в том, что кратность неприводимого корепрезентации в прямом произведении неприводимых корепрезентаций, как правило, меньше кратности тривиального корепрезентации в тройном произведении , что приводит к значительным различиям между коэффициентами Клебша-Гордона и символом. ${\displaystyle j_{3}^{*}}$ ${\displaystyle j_{1}\otimes j_{2}}$ ${\displaystyle j_{1}\otimes j_{2}\otimes j_{3}}$ ${\displaystyle 3j}$

Символы были рассмотрены для серых групп ^{[25] [26]} и для магнитных точечных групп ^[27]. ${\displaystyle 3j}$

Смотрите также

• Коэффициенты Клебша–Гордана
• Сферические гармоники
• 6-й символ
• символ 9-j
• Представления классических групп Ли

Ссылки

1. Вигнер, Э. П. (1993). «О матрицах, которые редуцируют произведения Кронекера представлений групп SR». В Вайтмане, Артур С. (ред.). Собрание сочинений Юджина Пола Вигнера . Т. A/1. С. 608–654. doi :10.1007/978-3-662-02781-3_42. ISBN 978-3-642-08154-5.
2. Редже, Т. (1958). "Свойства симметрии коэффициентов Клебша-Гордана". Nuovo Cimento . 10 (3): 544. Bibcode : 1958NCim...10..544R. doi : 10.1007/BF02859841. S2CID  122299161.
3. Rasch, J.; Yu, ACH (2003). «Эффективная схема хранения для предварительно рассчитанных коэффициентов Вигнера 3 j , 6 j и Гаунта». SIAM J. Sci. Comput . 25 (4): 1416–1428. doi :10.1137/s1064827503422932.
4. PES Wormer; J. Paldus (2006). "Диаграммы углового момента". Advances in Quantum Chemistry . 51. Elsevier: 59–124. Bibcode : 2006AdQC...51...59W. doi : 10.1016/S0065-3276(06)51002-0. ISBN 9780120348510. ISSN  0065-3276.
5. Cruzan, Orval R. (1962). «Трансляционные теоремы сложения для сферических векторных волновых функций». Quarterly of Applied Mathematics . 20 (1): 33–40. doi : 10.1090/qam/132851 . ISSN  0033-569X.
6. Эдмондс, Алан (1957). Угловой момент в квантовой механике . Princeton University Press.
7. Рака, Г. (1942). «Теория комплексных спектров II». Physical Review . 62 (9–10): 438–462. Bibcode : 1942PhRv...62..438R. doi : 10.1103/PhysRev.62.438.
8. Derome, JR; Sharp, WT (1965). «Алгебра Рака для произвольной группы». J. Math. Phys . 6 (10): 1584–1590. Bibcode : 1965JMP.....6.1584D. doi : 10.1063/1.1704698.
9. Derome, JR (1966). «Свойства симметрии символов 3j для произвольной группы». J. Math. Phys . 7 (4): 612–615. Bibcode : 1966JMP.....7..612D. doi : 10.1063/1.1704973.
10. Newmarch, JD (1983). «О 3j-симметриях». J. Math. Phys . 24 (4): 757–764. Bibcode :1983JMP....24..757N. doi :10.1063/1.525771.
11. Батлер, PH; Уайборн, BG (1976). «Вычисление символов j и jm для произвольных компактных групп. I. Методология». Int. J. Quantum Chem . X (4): 581–598. doi :10.1002/qua.560100404.
12. Мошинский, Маркос (1962). «Коэффициенты Вигнера для группы SU ₃ и некоторые приложения». Rev. Mod. Phys . 34 (4): 813. Bibcode :1962RvMP...34..813M. doi :10.1103/RevModPhys.34.813.
13. P. McNamee, SJ; Chilton, Frank (1964). "Таблицы коэффициентов Клебша-Гордана SU ₃ ". Rev. Mod. Phys . 36 (4): 1005. Bibcode :1964RvMP...36.1005M. doi :10.1103/RevModPhys.36.1005.
14. Драйер, Дж. П.; Акияма, Ёсими (1973). «Коэффициенты Вигнера и Рака для SU3» (PDF) . J. Math. Phys . 14 (12): 1904. Bibcode :1973JMP....14.1904D. doi :10.1063/1.1666267. hdl : 2027.42/70151 .
15. Акияма, Ёсими; Драйер, Дж. П. (1973). "Руководство пользователя по программам на Фортране для коэффициентов Вигнера и Рака SU ₃ ". Comput. Phys. Commun . 5 (6): 405. Bibcode :1973CoPhC...5..405A. doi :10.1016/0010-4655(73)90077-5. hdl : 2027.42/24983 .
16. Бикерстафф, RP; Батлер, PH; Баттс, MB; Хаазе, R. w.; Рейд, MF (1982). "3jm и 6j таблицы для некоторых оснований SU ₆ и SU ₃ ". J. Phys. A . 15 (4): 1087. Bibcode :1982JPhA...15.1087B. doi :10.1088/0305-4470/15/4/014.
17. Swart de, JJ (1963). "Модель октета и ее коэффициенты Глебша-Гордана". Rev. Mod. Phys . 35 (4): 916. Bibcode :1963RvMP...35..916D. doi :10.1103/RevModPhys.35.916.
18. Derome, JR (1967). "Свойства симметрии символов 3j для SU(3)". J. Math. Phys . 8 (4): 714–716. Bibcode :1967JMP.....8..714D. doi :10.1063/1.1705269.
19. Хехт, КТ (1965). "SU ₃ recoupling and partial parentage in the 2s-1d shell". Nucl. Phys . 62 (1): 1. Bibcode :1965NucPh..62....1H. doi :10.1016/0029-5582(65)90068-4. hdl : 2027.42/32049 .
20. Хехт, КТ; Панг, Синг Чинг (1969). «О схеме супермультиплета Вигнера» (PDF) . J. Math. Phys . 10 (9): 1571. Bibcode :1969JMP....10.1571H. doi :10.1063/1.1665007. hdl : 2027.42/70485 .
21. Хааке, Э. М.; Моффат, Дж. В.; Савария, П. (1976). «Вычисление коэффициентов Глебша-Гордана для SU(4)». J. Math. Phys . 17 (11): 2041. Bibcode :1976JMP....17.2041H. doi :10.1063/1.522843.
22. Baird, GE; Biedenharn, LC (1963). "О представлении полупростых групп Ли. II". J. Math. Phys . 4 (12): 1449. Bibcode :1963JMP.....4.1449B. doi :10.1063/1.1703926.
23. Baird, GE; Biedenharn, LC (1964). "О представлениях полупростых групп Ли. III. Явная операция сопряжения для SU _n ". J. Math. Phys . 5 (12): 1723. Bibcode :1964JMP.....5.1723B. doi :10.1063/1.1704095.
24. Батлер, PH (1981). Приложения точечной группы симметрии: методы и таблицы . Plenum Press, Нью-Йорк.
25. Newmarch, JD (1981). Алгебра Рака для групп с симметрией относительно обращения времени (диссертация). Университет Нового Южного Уэльса.
26. Newmarch, JD; Golding, RM (1981). «Алгебра Рака для групп с симметрией обращения времени». J. Math. Phys . 22 (2): 233–244. Bibcode :1981JMP....22..233N. doi :10.1063/1.524894. hdl : 1959.4/69692 .
27. Коцев, Дж. Н.; Аройо, МИ; Ангелова, М. Н. (1984). «Таблицы спектроскопических коэффициентов для симметрии магнитной точечной группы». J. Mol. Structure . 115 : 123–128. doi :10.1016/0022-2860(84)80030-7.

• LC Biedenharn и JD Louck, Угловой момент в квантовой физике , том 8 Энциклопедии математики, Addison-Wesley, Рединг, 1981.
• Д. М. Бринк и Г. Р. Сэтчлер, Угловой момент , 3-е издание, Кларендон, Оксфорд, 1993.
• А. Р. Эдмондс, Угловой момент в квантовой механике , 2-е издание, Princeton University Press, Принстон, 1960.
• Максимон, Леонард К. (2010), «Символы 3j,6j,9j», в Олвер, Фрэнк У. Дж .; Лозье, Дэниел М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Варшалович Д.А.; Москалев А.Н.; Херсонский, В.К. (1988). Квантовая теория углового момента . Всемирная научная издательская компания.
• Редже, Т. (1958). «Свойства симметрии коэффициентов Клебша-Гордона». Nuovo Cimento . 10 (3): 544–545. Bibcode : 1958NCim...10..544R. doi : 10.1007/BF02859841. S2CID  122299161.

• Хори, Хисаши (1964). «Представления симметрической группы и дробные коэффициенты родительства». J. Phys. Soc. Jpn . 19 (10): 1783. Bibcode :1964JPSJ...19.1783H. doi :10.1143/JPSJ.19.1783.
• Itzykson, C.; Nauenberg, M. (1966). "Унитарные группы: представления и разложения". Rev. Mod. Phys . 38 (1): 95. Bibcode :1966RvMP...38...95I. doi :10.1103/RevModPhys.38.95. OSTI  1444219.
• Крамер, П. (1967). "Орбитальные дробные коэффициенты происхождения для модели оболочки гармонического осциллятора". Z. Phys . 205 (2): 181. Bibcode : 1967ZPhy..205..181K. doi : 10.1007/BF01333370. S2CID  122879812.
• Крамер, П. (1968). "Коэффициенты повторной связи симметричной группы для конфигураций моделей оболочек и кластеров". Z. Phys . 216 (1): 68. Bibcode : 1968ZPhy..216...68K. doi : 10.1007/BF01380094. S2CID  121508850.
• Lezuo, KJ ​​(1972). "Симметрическая группа и базис Гельфанда U(3). Обобщения тождества Дирака". J. Math. Phys . 13 (9): 1389. Bibcode :1972JMP....13.1389L. doi :10.1063/1.1666151.
• Палдус, Йозеф (1974). "Групповой теоретический подход к конфигурационному взаимодействию и расчеты теории возмущений для атомных и молекулярных систем". J. Chem. Phys . 61 (12): 5321. Bibcode :1974JChPh..61.5321P. doi :10.1063/1.1681883.
• Шультен, Клаус; Гордон, Рой Г. (1975). «Точная рекурсивная оценка 3j- и 6j-коэффициентов для квантово-механической связи угловых моментов». J. Math. Phys . 16 (10): 1961–1970. Bibcode :1975JMP....16.1961S. doi :10.1063/1.522426.
• Палдус, Йозеф (1976). «Подход унитарно-группы к проблеме многоэлектронной корреляции: соотношение формулировок таблиц Гельфанда и Вейля». Phys. Rev. A. 14 ( 5): 1620. Bibcode : 1976PhRvA..14.1620P. doi : 10.1103/PhysRevA.14.1620.
• Рейналь, Жак (1978). «Об определении и свойствах обобщенных 3-j символов». J. Math. Phys . 19 (2): 467. doi :10.1063/1.523668.
• Sarma, CR; Sahasrabudhe, GG (1980). "Перестановочная симметрия состояний многих частиц". J. Math. Phys . 21 (4): 638. Bibcode :1980JMP....21..638S. doi :10.1063/1.524509.
• Чэнь, Цзинь-Цюань; Гао, Мэй-Цюань (1982). "Новый подход к представлению группы перестановок". J. Math. Phys . 23 (6): 928. Bibcode :1982JMP....23..928C. doi :10.1063/1.525460.
• Сарма, CR (1982). "Определение базиса для неприводимых представлений унитарной группы для U(p+q)↓U(p)×U(q)". J. Math. Phys . 23 (7): 1235. Bibcode :1982JMP....23.1235S. doi :10.1063/1.525507.
• Chen, J.-Q.; Chen, X.-G. (1983). "Базис Гельфанда и матричные элементы градуированной унитарной группы U(m/n)". J. Phys. A . 16 (15): 3435. Bibcode :1983JPhA...16.3435C. doi :10.1088/0305-4470/16/15/010.
• Nikam, RS; Dinesha, KV; Sarma, CR (1983). "Редукция представлений внутреннего продукта унитарных групп". J. Math. Phys . 24 (2): 233. Bibcode :1983JMP....24..233N. doi :10.1063/1.525698.
• Чэнь, Цзинь-Куан; Коллинсон, Дэвид Ф.; Гао, Мэй-Хуан (1983). «Коэффициенты преобразования групп перестановок». J. Math. Phys . 24 (12): 2695. Bibcode :1983JMP....24.2695C. doi :10.1063/1.525668.
• Чен, Цзинь-Цюань; Гао, Мэй-Хуан; Чен, Сюань-Ген (1984). «Коэффициент Клебша-Гордана для SU(m/n) базиса Гельфанда». Дж. Физ. А.​ 17 (3): 481. Бибкод : 1984JPhA...17..727K. дои : 10.1088/0305-4470/17/3/011.
• Шриниваса Рао, К. (1985). «Специальные темы в квантовой теории углового момента». Pramana . 24 (1): 15–26. Bibcode :1985Prama..24...15R. doi :10.1007/BF02894812. S2CID  120663002.
• Вэй, Лицян (1999). «Унифицированный подход для точного расчета коэффициентов связи и повторной связи углового момента». Comput. Phys. Commun . 120 (2–3): 222–230. Bibcode :1999CoPhC.120..222W. doi :10.1016/S0010-4655(99)00232-5.
• Rasch, J.; Yu, ACH (2003). «Эффективная схема хранения для предварительно рассчитанных коэффициентов Вигнера 3j, 6j и Гаунта». SIAM J. Sci. Comput . 25 (4): 1416–1428. doi :10.1137/s1064827503422932.

Внешние ссылки

• Стоун, Энтони. «Калькулятор коэффициента Вигнера».
• Воля, А. "Веб-калькулятор коэффициентов Клебша-Гордана, 3-j и 6-j". Архивировано из оригинала 29-09-2007.(Числовой)
• Стивенсон, Пол (2002). "Clebsch-O-Matic". Computer Physics Communications . 147 (3): 853–858. Bibcode : 2002CoPhC.147..853S. doi : 10.1016/S0010-4655(02)00462-9.
• Калькулятор на 369j-символов в Лаборатории плазмы Института Вейцмана (числовой)
• Фредерик Дж. Саймонс: Архив программного обеспечения Matlab, код THREEJ.M
• Sage (математическое программное обеспечение) Дает точный ответ для любого значения j, m
• Йоханссон, ХТ; Форссен, К. "(WIGXJPF)".(точный; C, Fortran, Python)
• Йоханссон, ХТ "(FASTWIGXJ)".(быстрый поиск, точность; C, Fortran)