Четырехпоточный

4D аналог плотности электрического тока

В специальной и общей теории относительности 4 -ток (технически плотность 4-тока ) ^[1] является четырехмерным аналогом плотности тока с единицами заряда в единицу времени на единицу площади. Также известный как векторный ток , он используется в геометрическом контексте четырехмерного пространства-времени , а не для разделения времени от трехмерного пространства. Математически это 4-вектор , и он ковариантен Лоренцу .

В этой статье используется соглашение о суммировании для индексов. См. ковариацию и контравариацию векторов для фона на повышенных и пониженных индексах, а также повышение и понижение индексов для переключения между ними.

Определение

Используя метрику Минковского метрической сигнатуры (+ − − −) , четыре компонента тока задаются как: ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

${\displaystyle J^{\alpha }=\left(c\rho ,j^{1},j^{2},j^{3}\right)=\left(c\rho ,\mathbf {j} \right)}$

где:

• c — скорость света ;
• ρ — объемная плотность заряда ;
• j — условная плотность тока ;
• Фиктивный индекс α обозначает измерения пространства-времени .

Движение зарядов в пространстве-времени

Это также можно выразить в терминах четырехскоростного уравнения: ^{[2] [3]}

${\displaystyle J^{\alpha }=\rho _{0}U^{\alpha }=\rho _{u}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}U^{\alpha }}$

где:

• ${\displaystyle \rho _{u}}$— плотность заряда, измеренная инерциальным наблюдателем О, который видит электрический ток , движущийся со скоростью u (величина 3-скорости );
• ${\displaystyle \rho _{0}}$— «плотность заряда покоя», т.е. плотность заряда для сопутствующего наблюдателя (наблюдателя, движущегося со скоростью u — относительно инерциального наблюдателя O — вместе с зарядами).

Качественно изменение плотности заряда (заряда на единицу объема) обусловлено сокращением объема заряда из-за лоренцевского сокращения .

Физическая интерпретация

Заряды (свободные или в виде распределения) в состоянии покоя будут казаться находящимися в одном и том же пространственном положении в течение некоторого интервала времени (пока они неподвижны). Когда они движутся, это соответствует изменениям положения, поэтому заряды имеют скорость, а движение заряда представляет собой электрический ток. Это означает, что плотность заряда связана со временем, тогда как плотность тока связана с пространством.

Четырехток объединяет плотность заряда (связанную с электричеством) и плотность тока (связанную с магнетизмом) в одну электромагнитную сущность.

Уравнение непрерывности

В специальной теории относительности утверждение о сохранении заряда состоит в том, что лоренц-инвариантная дивергенция J равна нулю: ^[4]

${\displaystyle {\dfrac {\partial J^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\,,}$

где - четырехградиент . Это уравнение непрерывности . ${\displaystyle \partial /\partial x^{\alpha }}$

В общей теории относительности уравнение непрерывности записывается как:

${\displaystyle J^{\alpha }{}_{;\alpha }=0\,,}$

где точка с запятой представляет собой ковариантную производную .

Уравнения Максвелла

Четырехток появляется в двух эквивалентных формулировках уравнений Максвелла , в терминах четырехпотенциала [ ^5], когда выполняется условие калибровки Лоренца :

${\displaystyle \Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }}$

где — оператор Даламбера , или тензор электромагнитного поля : ${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }}$

где μ ₀ — проницаемость свободного пространства , а ∇ _α — ковариантная производная .

Общая теория относительности

В общей теории относительности четырехток определяется как дивергенция электромагнитного смещения, определяемого как:

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\sqrt {-g}}\,}$

затем:

${\displaystyle J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$

Квантовая теория поля

Четырехтоковая плотность заряда является существенным компонентом плотности Лагранжа, используемой в квантовой электродинамике. ^[6] В 1956 году Семен Герштейн и Яков Зельдович рассмотрели гипотезу сохраняющегося векторного тока (CVC) для электрослабых взаимодействий. ^{[7] [8] [9]}

Смотрите также

• Четырехвекторный
• Теорема Нётер
• Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
• исчисление Риччи

Ссылки

1. Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Oxford Science Publications. стр. 103–107. ISBN 978-0-19-853952-0.
2. Роальд К. Вангснесс, Электромагнитные поля, 2-е издание (1986), стр. 518, 519
3. Мелвин Шварц, Принципы электродинамики, издание Дувра (1987), стр. 122, 123
4. Дж. Д. Джексон, Классическая электродинамика, 3-е издание (1999), стр. 554
5. как [ссылка 1, стр. 519]
6. Коттингем, В. Ноэль; Гринвуд, Дерек А. (2003). Введение в стандартную модель физики элементарных частиц. Cambridge University Press. стр. 67. ISBN 9780521588324.
7. Маршак, Роберт Э. (1993). Концептуальные основы современной физики элементарных частиц . World Scientific Publishing Company. стр. 20. ISBN 9789813103368.
8. Герштейн, СС; Зельдович, ЮБ (1956), Советская физическая физика, ЖЭТФ , 2 576.
9. Томас, Энтони В. (1996). "CVC в физике элементарных частиц". arXiv : nucl-th/9609052 .