53 равный темперамент

В музыке 53 равной темперации , называемые 53 TET , 53 EDO или 53 ET , представляют собой темперированную гамму, полученную путем деления октавы на 53 равных шага (равных соотношениях частот). Play ^ⓘ Каждый шаг представляет собой соотношение частот 2 ^1/53 , или 22,6415 центов ( Play ^ⓘ ), интервал, который иногда ^{называют}^{запятой} Холдриана .

53-TET — это равнотемперированный строй, в котором темперированная чистая квинта имеет ширину 701,89 цента, как показано на рисунке 1.

Настройка 53-TET соответствует унисону или смягчению интервалов 32805/32768 , известных как раскол , и 15625/15552 , известных как клейсма . Оба этих 5-предельных интервала включают в свою факторизацию только простые числа 2, 3 и 5, и тот факт, что 53 ET смягчает оба, полностью характеризует его как 5-предельный темперамент: это единственный правильный темперамент , смягчающий оба этих интервала. , или запятые , этот факт , кажется , впервые был признан японским теоретиком музыки Шохе Танакой . Поскольку он смягчает их, 53-ТЕТ может использоваться как для раскольнического темперамента , смягчающего раскол, так и для темперамента Хансона (также называемого клейсмическим), смягчающего клейсму.

Интервал 7/4 составляет 4,8 цента в 53-TET, и использование его для 7 -предельной гармонии означает , что септимальная клеизма , интервал 225/224 , также смягчается.

История и использование

Теоретический интерес к этому разделению восходит к античности. Цзин Фан (78–37 до н.э.), китайский теоретик музыки, заметил, что серия из 53 квинт ([ 3 ⁄ 2 ] ⁵³ ) почти равна 31 октаве (2 ³¹ ). Он вычислил эту разницу с точностью до шести цифр и составила 177147/176776 . ^[2]^[3] Позже такое же наблюдение было сделано математиком и теоретиком музыки Николасом Меркатором (ок. 1620–1687), который рассчитал это значение точно как (3 ⁵³ ) ⁄ (2 ⁸⁴ ) = 19383245667680019896796723 ⁄ 19342813113834066795298816 , ^[^{проверка требуется}^] которая известна как запятая Меркатора . ^[4] Запятая Меркатора изначально имеет такое маленькое значение (≈ 3,615 цента), но 53 равного темперамента сглаживает каждую пятую только на 1 ⁄ 53 этой запятой (≈ 0,0682 цента ≈ 1 ⁄ 315 синтонической запятой ≈ 1 ⁄ 344 пифагорейской запятой). ). Таким образом, 53 равных тона темперации для всех практических целей эквивалентны расширенной пифагорейской настройке .

После Меркатора Уильям Холдер опубликовал в 1694 году трактат, в котором указывалось, что 53 равных темперамента также очень близко приближаются к основной терции (с точностью до 1,4 цента), и, следовательно, 53 равных темпераментов очень хорошо сочетаются с интервалами 5, ограничивающими только интонацию . ^[5]^[6] Это свойство 53-ТЕТ могло быть известно ранее; Неопубликованные рукописи Исаака Ньютона позволяют предположить, что он знал об этом еще в 1664–1665 годах. ^[7]

Музыка

В 19 веке люди начали разрабатывать инструменты 53 TET, рассчитывая использовать их для исполнения музыки с лимитом почти в 5 пределов . Такие инструменты были изобретены Р. Х. М. Бозанкетом ^[8]^{(стр. 328–329)} и американским настройщиком Дж. П. Уайтом. ^[8]^{(стр. 329)} Впоследствии темперамент время от времени использовался композиторами на западе, и к началу 20 века 53 TET стал наиболее распространенной формой настройки в османской классической музыке , заменив ее старую, неравную настройку. Арабская музыка , которая по большей части основывает свою теорию на четвертьтонах , также в некоторой степени использовала их; Сирийский скрипач и теоретик музыки Туфик Аль-Сабаг предложил вместо равного разделения октавы на 24 части использовать 24-нотную шкалу в 53 TET в качестве основной шкалы для арабской музыки. ^{[ нужна цитата ]}

Хорватский композитор Йосип Штолцер-Славенски написал одно произведение, которое никогда не публиковалось, в первой части которого используется Энгармониум Бозанке , под названием «Музыка для системы Natur-ton ». ^[9]^[10]^[11] Кроме того, генерал Томпсон работал в союзе с лондонским производителем гитар Луи Панормо над производством энгармонической гитары. ^[12]

Обозначения

Попытка использовать стандартные обозначения, семь букв плюс диез или бемоль, может быстро привести к путанице. Это не похоже на случай с 19 TET и 31 TET , где нет никакой двусмысленности. Не будучи подразумеваемым, это добавляет некоторые проблемы, которые требуют большего внимания. В частности, мажорная треть отличается от дитона двумя тонами, каждый из которых равен двум пятым минус октава. Точно так же минорная треть отличается от полудитона. Тот факт, что синтонная запятая не умерена, означает, что ноты и интервалы необходимо определять точнее. Османская классическая музыка использует нотацию бемолей и диезов для тона с 9 запятыми.

В этой статье будет использоваться диатоническая нотация для создания следующей хроматической гаммы, в которой диез и бемоль не являются энгармоничными, за исключением только двух пар тонов:

энгармоничен с F

, и

энгармоничен с C

Для всех остальных нот различные тройные и четверные диезы и бемоли имеют разную высоту звука.

С, С ♯ , С, С ♯, С, Д, Д, Д, Д ♭ ,

Д, Д ♯ , Д, Д ♯, Д, Э, Э, Э, Е ♭ ,

Э, Е ♯ , Е/Ф, Ж ♭ ,

Ф, Ф ♯ , Ф, Ф ♯, Ф, Г, Г, Г, Г ♭ ,

Г, Г ♯ , Г, Г ♯, Г, А, А, А, А ♭ ,

А, А ♯ , А, А ♯, А, Б, Б, Б, Б ♭ ,

Б, Б ♯ , Б/С, С ♭ , С

Другое возможное обозначение, основанное на пифагорейских квинтах:

С, Б ♯ , А ♯, Э, Д ♭ , С ♯ , Б, Ф, Э,

ОКРУГ КОЛУМБИЯ, Б ♯, Ф, Е ♭ , Д ♯ , С ♯, Г, Ж ♭ ,

Э, Д, С/А, Г,

Ж, Е ♯ , Д ♯, А, Г ♭ , Ж ♯ , Е, Д/Б, А,

Г, Ф, Е ♯, Б, А ♭ , Г ♯ , Ж ♯, С, Б,

А, Г, Ф/Д, С, Б ♭ , А ♯ , Г ♯, Д, С ♭ ,

Б, А, Г/Э, Д, С

Аккорды 53 равной темперации

Поскольку 53-TET — это пифагорейская система с почти чистыми квинтами, мажорные и минорные трезвучия не могут писаться так же, как в средней настройке . Вместо этого мажорные трезвучия представляют собой аккорды типа CF ♭ -G (с использованием обозначений, основанных на Пифагоре), где мажорная треть представляет собой уменьшенную кварту; это определяющая характеристика раскольнического темперамента . Точно так же минорные трезвучия представляют собой аккорды типа CD ♯ -G. В 53-TET доминирующий септаккорд будет писаться как CF ♭ -GB ♭ , но отональная тетрада будет CF ♭ -GC ., а CF ♭ -GA ♯ — это еще один септаккорд. Утональная тетрада, инверсия отонной тетрады, пишется CD ♯ -GG ..

Дальнейшие септимальные аккорды представляют собой уменьшенное трезвучие, имеющее две формы CD ♯ -G ♭ и CF.-G ♭ , субминорное трезвучие, CF-G, супермажорное триада CD-G и соответствующие тетрады CF-ГБи компакт-диск-ГА ♯ . Поскольку 53-TET смягчает септимальную клейсму , септимальная клейсма дополняет триаду CF ♭ -B.в различных своих инверсиях также является аккордом системы. Так же и тетрада Оруэлла, CF ♭ -D-Гв различных его инверсиях.

Поскольку 53-TET совместим как с раскольническим , так и с синтоническим темпераментом , его можно использовать в качестве основной настройки при модуляции темперамента (музыкальный эффект, создаваемый динамической тональностью ).

Размер интервала

7-Ограничьте только интонационные интервалы, аппроксимированные в 53-ET.

Поскольку расстояние в 31 ступень в этой гамме почти точно равно идеальной квинте , теоретически эту гамму можно считать слегка смягченной формой пифагорейской настройки , расширенной до 53 тонов. Таким образом, доступные интервалы могут иметь те же свойства, что и любой пифагорейский строй, например, (практически) чистые квинты, большие терции шириной от всего (около 81 ⁄ 64) , в отличие от более чистых 5 ⁄ 4 , и второстепенные терции, которые наоборот , узкие ( 32/27 по сравнению с 6/5 ) .

Однако 53-ТЕТ содержит дополнительные интервалы, очень близкие к просто интонации. Например, интервал в 17 шагов тоже является большой терцией, но лишь на 1,4 цента уже, чем очень чистый справедливый интервал 5 ⁄ 4 . 53-ТЕТ очень хорош в качестве аппроксимации любого интервала в 5, ограничивая только интонацией. Точно так же чистый интервал 6/5 всего на 1,3 цента шире, чем 14 шагов в 53- TET .

Соответствие точным интервалам, включающим 7-ю гармонику, немного менее близко (43 шага составляют 4,8 цента для 7 ⁄ 4 ), но все такие интервалы по-прежнему довольно близко совпадают, причем наибольшее отклонение соответствует тритону 7 ⁄ 5 . 11-я гармоника и входящие в нее интервалы менее точно совпадают, о чем свидетельствуют недесятичные нейтральные секунды и трети в таблице ниже. Передаточные числа 7 пределов окрашены в светло-серый цвет, а передаточные числа 11 и 13 пределов — в темно-серый цвет.

Масштабная диаграмма

Ниже представлена 21 из 53 нот хроматической гаммы. Остальное можно легко добавить.

Холдрова запятая

В теории музыки и музыкальной настройке запятая Холдри , также называемая запятой Гёльдера , и редко арабская запятая , ^[13] представляет собой небольшой музыкальный интервал примерно в 22,6415 центов , ^[13] равный одному шагу из 53 равных темпераций, или ( play ^ⓘ ). Название «запятая» вводит в заблуждение, поскольку этот интервал является иррациональным числом и не описывает компромисс между интервалами какой-либо системы настройки; он получил это название, потому что это приближение к синтонной запятой (21,51 цента) ( игра ^ⓘ ), которая широко использовалась в качестве меры настройки во времена Уильяма Холдера . ${\sqrt[{53}]{2}}$

Происхождение запятой Гёльдера связано с тем, что древние греки (или, по крайней мере, Боэций ^[14] ) считали, что в пифагорейской настройке тон можно разделить на девять запятых, четыре из которых образуют диатонический полутон, а пять - хроматический полутон. Если все эти запятые будут одинакового размера, то получится октава из 5 тонов + 2 диатонических полутона, 5×9 + 2×4 = 53 равных запятых. Холдер ^[15] приписывает деление октавы на 53 равные части Николаю Меркатору , ^[16] который назвал бы 1/53 часть октавы «искусственной запятой».

Запятая Меркатора и запятая Холдриа.

Запятая Меркатора — это имя, которое часто используется для обозначения близкого интервала из-за его связи с Николасом Меркатором. ^[17] Один из этих интервалов был впервые описан Чинг-Фангом в 45 г. до н.э. ^[13] Меркатор применил логарифмы, чтобы определить, что (≈ 21,8182 цента) было почти эквивалентно синтонной запятой ≈ 21,5063 цента (особенность преобладающего в то время среднего темперамента ). Он также считал, что «искусственная запятая» может быть полезной, поскольку 31 октаву можно практически аппроксимировать циклом из 53 квинт . Уильям Холдер , в честь которого названа запятая Холдриана, отдавал предпочтение этой последней единице, потому что интервалы 53 равного темперамента ближе к простой интонации , чем интервалы 55. Таким образом, запятая Меркатора и запятая Холдриана представляют собой два разных, но связанных интервала. ${\sqrt[{55}]{2}}$ ${\sqrt[{53}]{2}}$

Использование в турецкой теории макама

Холдрианская запятая использовалась в основном в османско-турецкой теории музыки Кемалем Илеричи и турецким композитором Эролом Саяном. Название этой запятой на турецком языке — Holder koması .

Например, Раст-макам (похожий на западную мажорную гамму или, точнее, на правильно настроенную мажорную гамму ) можно рассматривать с точки зрения холдровых запятых:

гдеобозначает холдрийскую запятую-бемоль, ^[i] в отличие от макама Нихавенда (аналогично западной минорной гамме ):

где ♭ обозначает бемоль с пятью запятыми, имеет средние секунды между d–e ♭ , e–f , g–a ♭ , a ♭ – b ♭ и b ♭ – c' , средняя секунда находится где-то между 8 и 9. запятые. ^[13]

Примечания

^ В общепринятой арабской и турецкой практике третье примечание eи седьмая нота бв Расте даже ниже, чем в этой теории, почти точно посередине между западными мажорными и второстепенными терциями выше до и g , т.е. ближе к 6,5 запятой (трехчетвертный тон) выше d или a и 6,5 ниже f или c , терции c– еи г – бМузыковеды часто называют ее « нейтральной третью ».

Внешние ссылки

Роджерс, Прент (май 2007 г.). «Песня-шепот в 53 ЭДО». Bumper Music (подкаст) (медленная ред.).
Хэнсон, Ларри (1989). «Разработка 53-тональной раскладки клавиатуры» (PDF) . Ксенгармоникон XII . Ганновер, Нью-Гэмпшир: Музыка Frog Peak: 68–85 . Получено 4 января 2021 г. - через Anaphoria.com.
«Алгебра тональных функций». Сонантометрия (блог). 01.05.2007.Тональные функции как степени 53-TET.
Барбьери, Патрицио (2008). «Энгармонические инструменты и музыка, 1470–1900». Латина, Il Levante Libreria Editrice . Италия. Архивировано из оригинала 15 февраля 2009 г.^{[ мертвая ссылка ]}
Кукула, Джим (август 2005 г.). «Равная темпераментность с 53 тонами на октаву». Взаимозависимая наука . Фрактальная микротональная музыка . Проверено 4 января 2021 г.