AW*-алгебра

В математике AW *-алгебра является алгебраическим обобщением W*-алгебры . Они были введены Ирвингом Капланским в 1951 году. ^[1] Как операторные алгебры , алгебры фон Неймана, среди всех C*-алгебр , обычно обрабатываются с использованием одного из двух средств: они являются дуальным пространством некоторого банахова пространства , и они определяются в значительной степени своими проекциями. Идея, лежащая в основе AW*-алгебр, состоит в том, чтобы отказаться от первого, топологического, условия и использовать только последнее, алгебраическое, условие.

Определение

Напомним, что проекция C*-алгебры является самосопряженным идемпотентным элементом . AC*-алгебра A является AW*-алгеброй, если для любого подмножества S алгебры A левый аннулятор

${\displaystyle \mathrm {Ann} _{L}(S)=\{a\in A\mid \forall s\in S,as=0\}\,}$

генерируется как левый идеал некоторой проекцией p комплекса A , и аналогично правый аннулятор генерируется как правый идеал некоторой проекцией q :

${\displaystyle \forall S\subseteq A\,\exists p,q\in \mathrm {Proj} (A)\colon \mathrm {Ann} _{L}(S)=Ap,\quad \mathrm {Ann} _{R}(S)=qA}$.

Следовательно, AW*-алгебра — это C*-алгебра, которая одновременно является *-кольцом Бэра .

Первоначальное определение Капланского гласит, что AW*-алгебра — это C*-алгебра, такая что (1) любой набор ортогональных проекций имеет наименьшую верхнюю границу, и (2) каждая максимальная коммутативная C*-подалгебра порождается своими проекциями. Первое условие утверждает, что проекции имеют интересную структуру, в то время как второе условие гарантирует, что существует достаточно проекций, чтобы она была интересной. ^[1] Обратите внимание, что второе условие эквивалентно условию, что каждая максимальная коммутативная C*-подалгебра является монотонно полной.

Теория структуры

Многие результаты, касающиеся алгебр фон Неймана, переносятся на AW*-алгебры. Например, AW*-алгебры можно классифицировать в соответствии с поведением их проекций и разложить на типы . ^[2] Другой пример: нормальные матрицы с записями в AW*-алгебре всегда можно диагонализировать. ^[3] AW*-алгебры также всегда имеют полярное разложение . ^[4]

Однако существуют также способы, которыми AW*-алгебры ведут себя иначе, чем алгебры фон Неймана. ^[5] Например, AW*-алгебры типа I могут проявлять патологические свойства, ^[6] хотя Капланский уже показал, что такие алгебры с тривиальным центром автоматически являются алгебрами фон Неймана.

Коммутативный случай

Коммутативная C*-алгебра является AW*-алгеброй тогда и только тогда, когда ее спектр является стоуновым пространством . Таким образом, благодаря стоуновой двойственности коммутативные AW*-алгебры соответствуют полным булевым алгебрам . Проекции коммутативной AW*-алгебры образуют полную булеву алгебру, и наоборот, любая полная булева алгебра изоморфна проекциям некоторой коммутативной AW*-алгебры.

Ссылки

1. Капланский, Ирвинг (1951). «Проекции в банаховых алгебрах». Annals of Mathematics . 53 (2): 235–249. doi :10.2307/1969540.
2. Берберян, Стерлинг (1972). *-кольца Бэра . Springer.
3. Хойнен, Крис; Рейес, Мануэль Л. (2013). «Диагонализация матриц над AW*-алгебрами». Журнал функционального анализа . 264 (8): 1873–1898. arXiv : 1208.5120 . doi : 10.1016/j.jfa.2013.01.022.
4. Ара, Пере (1989). «Левые и правые проекции эквивалентны в C*-алгебрах Рикарта». Журнал алгебры . 120 (2): 433–448. doi : 10.1016/0021-8693(89)90209-3 .
5. Райт, Дж. Д. Мейтленд. «AW*-алгебра». Springer.
6. Озава, Масанао (1984). «Неединственность мощности, присоединенной к однородным AW*-алгебрам». Труды Американского математического общества . 93 : 681–684. doi :10.2307/2045544.