Абсолютная геометрия — это геометрия , основанная на системе аксиом для евклидовой геометрии без постулата о параллельных линиях или любой из его альтернатив. Традиционно это означало использование только первых четырех постулатов Евклида . [1] Термин был введен Яношем Бойяи в 1832 году . [2] Иногда ее называют нейтральной геометрией , [3] поскольку она нейтральна по отношению к постулату о параллельных линиях. Первые четыре постулата Евклида в настоящее время считаются недостаточными в качестве основы евклидовой геометрии, поэтому вместо них используются другие системы (например, аксиомы Гильберта без аксиомы о параллельных линиях). [4]
В « Началах » Евклида первые 28 предложений и предложение 31 избегают использования постулата параллельности, и поэтому являются действительными в абсолютной геометрии. В абсолютной геометрии можно также доказать теорему о внешнем угле (внешний угол треугольника больше любого из удаленных углов), а также теорему Саккери–Лежандра , которая утверждает, что сумма мер углов в треугольнике не превышает 180°. [5]
Предложение 31 — это построение параллельной данной прямой через точку, не лежащую на данной прямой. [6] Поскольку доказательство требует использования только предложения 27 (теоремы о чередующемся внутреннем угле), оно является допустимым построением в абсолютной геометрии. Точнее, для любой прямой l и любой точки P, не лежащей на l , существует по крайней мере одна прямая, проходящая через P , которая параллельна l . Это можно доказать с помощью знакомого построения: для любой прямой l и точки P , не лежащей на l , опустить перпендикуляр m из P на l , затем восстановить перпендикуляр n к m через P. По теореме об чередующемся внутреннем угле, l параллелен n . (Теорема об чередующемся внутреннем угле гласит, что если прямые a и b пересекаются трансверсалью t таким образом, что существует пара конгруэнтных чередующихся внутренних углов, то a и b параллельны.) Предшествующее построение и теорема об чередующемся внутреннем угле не зависят от постулата параллельности и, следовательно, справедливы в абсолютной геометрии. [7]
В абсолютной геометрии также доказывается, что две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не могут пересекаться [8] (что делает две прямые параллельными по определению параллельных прямых), доказывая, что углы при вершинах четырехугольника Саккери не могут быть тупыми , и что сферическая геометрия не является абсолютной геометрией.
Теоремы абсолютной геометрии справедливы в гиперболической геометрии , которая является неевклидовой геометрией , а также в евклидовой геометрии . [9]
Абсолютная геометрия несовместима с эллиптической геометрией : в этой теории вообще нет параллельных линий, но теорема абсолютной геометрии гласит, что параллельные линии существуют. Однако можно модифицировать систему аксиом так, что абсолютная геометрия, как определено модифицированной системой, будет включать сферическую и эллиптическую геометрии, которые не имеют параллельных линий. [10]
Абсолютная геометрия является расширением упорядоченной геометрии , и, таким образом, все теоремы упорядоченной геометрии справедливы в абсолютной геометрии. Обратное неверно. Абсолютная геометрия предполагает первые четыре аксиомы Евклида (или их эквиваленты), в отличие от аффинной геометрии , которая не принимает третью и четвертую аксиомы Евклида. (3: «Описать окружность с любым центром и радиусом расстояния .», 4: «Что все прямые углы равны друг другу».) Упорядоченная геометрия является общей основой как абсолютной, так и аффинной геометрии. [11]
Геометрия специальной теории относительности была разработана на основе девяти аксиом и одиннадцати положений абсолютной геометрии. [12] [13] Затем авторы Эдвин Б. Уилсон и Гилберт Н. Льюис вышли за рамки абсолютной геометрии, когда ввели гиперболическое вращение как преобразование, связывающее две системы отсчета .
Плоскость, которая удовлетворяет аксиомам инцидентности , промежуточности и конгруэнтности Гильберта , называется плоскостью Гильберта . [14] Плоскости Гильберта являются моделями абсолютной геометрии. [15]
Абсолютная геометрия является неполной аксиоматической системой в том смысле, что можно добавлять дополнительные независимые аксиомы, не делая систему аксиом непротиворечивой. Можно расширить абсолютную геометрию, добавляя различные аксиомы о параллельных линиях и получать взаимно несовместимые, но внутренне непротиворечивые системы аксиом, что даёт начало евклидовой или гиперболической геометрии. Таким образом, каждая теорема абсолютной геометрии является теоремой гиперболической геометрии и евклидовой геометрии. Однако обратное неверно.