Абсолютно интегрируемая функция

В математике абсолютно интегрируемая функция — это функция , абсолютное значение которой интегрируемо , что означает, что интеграл абсолютного значения по всей области определения конечен.

Для действительной функции, так как где $${\displaystyle \int |f(x)|\,dx=\int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx}$$ $${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0),\ \ \ f^{-}(x)=\max(-f(x),0),}$$

и должны быть конечными. В интегрировании Лебега это как раз и есть требование для того, чтобы любая измеримая функция f считалась интегрируемой, причем интеграл тогда равен , так что на самом деле «абсолютно интегрируемая» означает то же самое, что и «интегрируемая по Лебегу» для измеримых функций. ${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx}$ ${\textstyle \int f^{-}(x)\,dx}$ ${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx-\int f^{-}(x)\,dx}$

То же самое касается комплексной -значной функции. Определим, где и являются действительной и мнимой частями . Тогда так Это показывает, что сумма четырех интегралов (в середине) конечна тогда и только тогда, когда интеграл абсолютного значения конечен, и функция интегрируема по Лебегу только тогда, когда все четыре интеграла конечны. Таким образом, наличие конечного интеграла абсолютного значения эквивалентно условиям для функции быть «интегрируемой по Лебегу». $${\displaystyle f^{+}(x)=\max(\Re f(x),0)}$$ $${\displaystyle f^{-}(x)=\max(-\Re f(x),0)}$$ $${\displaystyle f^{+i}(x)=\max(\Im f(x),0)}$$ $${\displaystyle f^{-i}(x)=\max(-\Im f(x),0)}$$ ${\displaystyle \Re f(x)}$ ${\displaystyle \Im f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle |f(x)|\leq f^{+}(x)+f^{-}(x)+f^{+i}(x)+f^{-i}(x)\leq {\sqrt {2}}\,|f(x)|}$$ $${\displaystyle \int |f(x)|\,dx\leq \int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx+\int f^{+i}(x)\,dx+\int f^{-i}(x)\,dx\leq {\sqrt {2}}\int |f(x)|\,dx}$$

Внешние ссылки

• "Абсолютно интегрируемая функция – Энциклопедия математики" . Получено 9 октября 2015 г. .

Ссылки

• Тао, Теренс , Анализ 2 , 3-е изд., Тексты и материалы по математике, Книжное агентство «Хиндустан», Нью-Дели.