В математике абстрактная бессмыслица , общая абстрактная бессмыслица , обобщенная абстрактная бессмыслица и общая бессмыслица — это неуничижительные термины, используемые математиками для описания длинных теоретических частей доказательства, которые они пропускают, когда предполагается, что читатели с ними знакомы. [ 1] Эти термины в основном используются для абстрактных методов, связанных с теорией категорий и гомологической алгеброй . В более общем смысле «абстрактная бессмыслица» может относиться к доказательству, которое опирается на методы теории категорий, или даже к изучению самой теории категорий.
Грубо говоря, теория категорий — это изучение общей формы, то есть категорий математических теорий, безотносительно к их содержанию. В результате математические доказательства , которые опираются на идеи теории категорий, часто кажутся вырванными из контекста, чем-то похожими на non sequitur . Авторы иногда называют эти доказательства «абстрактной чепухой», чтобы беззаботно предупредить читателей об их абстрактной природе. Обозначение аргумента «абстрактной чепухой» обычно не подразумевает уничижительного отношения, [2] [1], а вместо этого используется в шутку, [3] в самоуничижительной манере, [4] ласково, [5] или даже как комплимент общности аргумента. Александр Гротендик критиковал это понятие и утверждал, что:
Введение цифры или концепции группы также было всеобщей бессмыслицей, и математика в течение тысяч лет находилась в состоянии застоя, поскольку не было никого, кто мог бы предпринять такие детские шаги... [6]
Определенные идеи и конструкции в математике разделяют единообразие во многих областях, объединенных теорией категорий. Типичные методы включают использование классифицирующих пространств и универсальных свойств , использование леммы Йонеды , естественные преобразования между функторами и погоню за диаграммами . [7]
Когда можно предположить, что аудитория знакома с общей формой таких аргументов, математики будут использовать выражение «То-то и то-то истинно по абстрактной бессмыслице», а не давать подробное объяснение частностей. [1] Например, можно сказать, что «По абстрактной бессмыслице, продукты уникальны с точностью до изоморфизма, когда они существуют», вместо того, чтобы спорить о том, как эти изоморфизмы могут быть выведены из универсального свойства , определяющего продукт. Это позволяет пропускать детали доказательства, которые можно считать тривиальными или не дающими большого понимания, сосредоточившись вместо этого на действительно инновационных частях более крупного доказательства.
Термин предшествует основанию теории категорий как предмета. Ссылаясь на совместную работу с Сэмюэлем Эйленбергом , в которой в 1942 году было введено понятие « категории », Сондерс Маклейн писал, что предмет «тогда назывался «общей абстрактной бессмыслицей». [3] Этот термин часто используется для описания применения теории категорий и ее методов к менее абстрактным областям. [8] [9]
Считается, что этот термин был придуман математиком Норманом Стинродом [10] [ 4] [5], который сам был одним из разработчиков категориальной точки зрения.
