Неравенство Агмона

В математическом анализе неравенства Агмона , названные в честь Шмуэля Агмона , ^[1] состоят из двух тесно связанных интерполяционных неравенств между пространством Лебега и пространствами Соболева . Они полезны при изучении уравнений с частными производными . ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle H^{s}}$

Пусть где ^{[ неопределенно ]} . Тогда неравенства Агмона в 3D утверждают, что существует константа такая, что ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2},}$

и

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/4}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{3/4}.}$

В 2D первое неравенство все еще выполняется, но не второе: пусть где . Тогда неравенство Агмона в 2D утверждает, что существует константа такая, что ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2}.}$

Для -мерного случая выберем и такие, что . Тогда, если и , то для любого справедливо неравенство ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle s_{1}<{\tfrac {n}{2}}<s_{2}}$ ${\displaystyle 0<\theta <1}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}=\theta s_{1}+(1-\theta )s_{2}}$ ${\displaystyle u\in H^{s_{2}}(\Omega )}$

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{s_{1}}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{H^{s_{2}}(\Omega )}^{1-\theta }}$

Смотрите также

• Ладыженское неравенство
• Неравенство Брезиса–Галлуэта

Примечания

1. Лемма 13.2, в: Агмон, Шмуэль, Лекции по эллиптическим граничным задачам , AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 2010. ISBN  978-0-8218-4910-1 .

Ссылки

• Агмон, Шмуэль (2010). Лекции по эллиптическим граничным задачам . Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-4910-1.
• Фойас, Киприан; Мэнли, О.; Роза, Р.; Темам, Р. (2001). Уравнения Навье-Стокса и турбулентность . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36032-3.