Теорема Хопкинса–Левицкого

В абстрактной алгебре , в частности в теории колец , теорема Акизуки–Хопкинса–Левицки связывает условие нисходящей цепи и условие восходящей цепи в модулях над полупервичными кольцами . Кольцо R (с 1) называется полупервичным , если R / J ( R ) полупросто , а J ( R ) — нильпотентный идеал , где J ( R ) обозначает радикал Джекобсона . Теорема утверждает, что если R — полупервичное кольцо, а M — R -модуль, то три условия модуля: нётеровость , артиновость и «имеет композиционный ряд » — эквивалентны. Без полупервичного условия единственное верное следствие состоит в том, что если M имеет композиционный ряд, то M является как нётеровым, так и артиновым.

Теорема берет свою нынешнюю форму из статьи Чарльза Хопкинса (бывшего аспиранта Джорджа Абрама Миллера ) и статьи Якоба Левицкого , обе в 1939 году. По этой причине ее часто цитируют как теорему Хопкинса–Левицкого . Однако Ясуо Акизуки иногда включают, поскольку он доказал результат ^[1] для коммутативных колец несколькими годами ранее, в 1935 году.

Поскольку известно, что правые артиновы кольца являются полупримарными, прямым следствием теоремы является: правое артиново кольцо является также правым нётеровым . Аналогичное утверждение для левых артиновых колец также верно. Это неверно в общем случае для артиновых модулей, поскольку существуют примеры артиновых модулей, которые не являются нётеровыми .

Другим прямым следствием является то, что если R является правоартиновым, то R является левоартиновым тогда и только тогда, когда он является левонётеровым.

Эскиз доказательства

Вот доказательство следующего: Пусть R — полупримарное кольцо, а M — левый R -модуль. Если M — артиново или нётерово, то M имеет композиционный ряд. ^[2] ( Обратное верно для любого кольца.)

Пусть J будет радикалом R . Положим . Тогда R -модуль можно рассматривать как -модуль, поскольку J содержится в аннуляторе . Каждый из них является полупростым -модулем, поскольку является полупростым кольцом. Более того, поскольку J нильпотентно, только конечное число из ненулевые. Если M артиново (или нётерово), то имеет конечный композиционный ряд. Укладывая композиционный ряд от конца до конца, мы получаем композиционный ряд для M . ${\displaystyle F_{i}=J^{i-1}M/J^{i}M}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle R/J}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle R/J}$ ${\displaystyle R/J}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}}$

В категориях Гротендика

Существует несколько обобщений и расширений теоремы. Одно касается категорий Гротендика : если G — категория Гротендика с артиновым генератором, то каждый артинов объект в G является нётеровым. ^[3]

Смотрите также

• артинский модуль
• Нетеровский модуль
• Серия композиций

Ссылки

1. Акизуки, Ясуо (1935). «Teilerkettensatz und Vielfachensatz». Учеб. Физ.-матем. Соц. Япония . 17 : 337–345.
2. Кон 2003, Теорема 5.3.9
3. Тома Албу (2010). "Семидесятилетний юбилей: Теорема Хопкинса-Левитцки". В Тома Албу (ред.). Теория колец и модулей . Springer. ISBN 9783034600071.

• Кон, П.М. (2003), Основы алгебры: группы, кольца и поля; издание 2012 г.
• Чарльз Хопкинс (июль 1939 г.) Кольца с минимальным условием для левых идеалов , Ann. of Math. (2) 40, страницы 712–730. doi :10.2307/1968951
• TY Lam (2001) Первый курс по некоммутативным кольцам, Springer-Verlag. стр. 55 ISBN 0-387-95183-0 
• Якоб Левицкий (январь 1940 г.) О кольцах, удовлетворяющих условию минимума для правых идеалов, Compositio Mathematica, т. 7, стр. 214–222.