Топология Александрова

В топологии топология Александрова — это топология , в которой пересечение каждого семейства открытых множеств открыто. Аксиомой топологии является то, что пересечение любого конечного семейства открытых множеств открыто; в топологиях Александрова конечное ограничение снимается.

Множество вместе с топологией Александрова известно как дискретное пространство Александрова или конечно порожденное пространство .

Топологии Александрова однозначно определяются предпорядками их специализации . Действительно, для любого предпорядка ≤ на множестве X существует единственная топология Александрова на X , для которой предварительный порядок специализации равен ≤. Открытые множества — это просто верхние множества по отношению к ≤. Таким образом, топологии Александрова на X находятся во взаимно однозначном соответствии с предпорядками на X .

Дискретные пространства Александрова также называются конечно порожденными пространствами, поскольку их топология однозначно определяется семейством всех конечных подпространств. Таким образом, дискретные пространства Александрова можно рассматривать как обобщение конечных топологических пространств .

Ввиду того, что прообразы коммутируют с произвольными объединениями и пересечениями, свойство быть Александровским пространством сохраняется и при факторном .

Александровско-дискретные пространства названы в честь российского тополога Павла Александрова . Их не следует путать с более геометрическими пространствами Александрова , введенными русским математиком Александром Даниловичем Александровым .

Характеристики топологий Александрова.

Топологии Александрова имеют многочисленные характеристики. Пусть X = < X , T > — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

• Характеристики открытого и закрытого множества:
  • Открытый набор. Произвольное пересечение открытых множеств в X открыто.
  • Закрытый набор. Произвольное объединение замкнутых множеств в X замкнуто.
• Характеристики района:
  • Самый маленький район. Каждая точка X имеет наименьшую окрестность .
  • Фильтр соседства. Фильтр окрестности каждой точки из X замкнут относительно произвольных пересечений.
• Алгебраические характеристики внутренних и замыкающих элементов:
  • Внутренний оператор. Внутренний оператор X распределяется по произвольным пересечениям подмножеств.
  • Оператор закрытия. Оператор замыкания X распределяется по произвольным объединениям подмножеств.
• Характеристики предзаказа:
  • Предзаказ на специализацию. T - тончайшая топология , согласующаяся с предварительным порядком специализации X , т.е. тончайшая топология, дающая предварительный порядок ≤ , удовлетворяющий x ≤ y, тогда и только тогда, когда x находится в замыкании { y } в X.
  • Открытый набор. Существует предварительный порядок ≤ такой, что открытые множества X — это именно те, которые закрыты вверх, т. е. если x находится в множестве и x ⩽ y , то y находится в множестве. (Этот предзаказ будет именно предзаказом специализации.)
  • Закрытый комплект. Существует предварительный порядок ≤ такой, что замкнутые множества X — это именно те, которые закрыты вниз, т. е. если x находится в множестве, а y ≤ x , то y находится в множестве. (Этот предзаказ будет именно предзаказом специализации.)
  • Закрытие вниз. Точка x лежит в замыкании подмножества S множества X тогда и только тогда, когда существует точка y в S такая, что x ≤ y , где ≤ — это предварительный порядок специализации, т. е. x лежит в замыкании { y }.
• Теоретико-категорные характеристики конечного поколения и категорий:
  • Конечное замыкание. Точка x лежит внутри замыкания подмножества S множества X тогда и только тогда, когда существует конечное подмножество F множества S такое, что x лежит в замыкании F . (Это конечное подмножество всегда можно выбрать как одноэлементное.)
  • Конечное подпространство. T когерентно с конечными подпространствами X .
  • Конечная карта включения. Отображения включения f _i  : X _i → X конечных подпространств X образуют конечный сток.
  • Конечное поколение. X конечно порождено, т. е. находится в конечной оболочке конечных пространств. (Это означает, что существует конечный сток f _i  : X _i → X , где каждое X _i является конечным топологическим пространством.)

Топологические пространства, удовлетворяющие приведенным выше эквивалентным характеристикам, называются конечно порожденными пространствами или дискретными пространствами Александрова , а их топология T называется топологией Александрова .

Эквивалентность предзаказным наборам

Топология Александрова на предупорядоченном множестве

Учитывая предварительно упорядоченный набор, мы можем определить топологию Александрова на X , выбрав открытые множества в качестве верхних : ${\displaystyle \mathbf {X} =\langle X,\leq \rangle }$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau =\{\,G\subseteq X:\forall x,y\in X\ \ (x\in G\ \land \ x\leq y)\ \rightarrow \ y\in G\,\}}$

Таким образом, мы получаем топологическое пространство . ${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {X} )=\langle X,\tau \rangle }$

Соответствующие закрытые множества являются нижними множествами :

${\displaystyle \{\,S\subseteq X:\forall x,y\in X\ \ (x\in S\ \land \ y\leq x)\ \rightarrow \ y\in S\,\}}$

Предзаказ специализации на топологическом пространстве

Для топологического пространства X = < X , T > предварительный порядок специализации на X определяется следующим образом:

x ≤ y тогда и только тогда, когда x находится в замыкании { y }.

Таким образом, мы получаем предупорядоченное множество W ( X ) = < X , ≤>.

Эквивалентность предзаказов и топологий Александрова.

Для каждого предупорядоченного множества X = < X , ≤> мы всегда имеем W ( T ( X )) = X , т. е. предварительный порядок X восстанавливается из топологического пространства T ( X ) как предварительный порядок специализации. Более того, для любого дискретного пространства Александрова X имеем T ( W ( X )) = X , т. е. топология Александрова X восстанавливается как топология, индуцированная предпорядком специализации.

Однако для топологического пространства вообще не существует T ( W ( X ) ) = X . Скорее T ( W ( X )) будет множеством X с более тонкой топологией, чем у X (т. е. оно будет иметь больше открытых множеств). Топология T ( W ( X )) порождает тот же предварительный порядок специализации, что и исходная топология пространства X, и фактически является лучшей топологией на X с этим свойством.

Эквивалентность монотонности и непрерывности

Дана монотонная функция

е  :  Икс → Y

между двумя предварительно упорядоченными наборами (т.е. функцией

е  :  Икс → Y

между базовыми множествами так, что x  ≤  y в X влечет f ( x ) ≤  f ( y ) в Y ), пусть

Т ( ж ) :  Т ( Икс ) → Т ( Y )

— то же отображение, что и f, рассматриваемое как отображение между соответствующими пространствами Александрова. Тогда T ( f ) — непрерывное отображение .

Обратно, учитывая непрерывное отображение

г :  X → Y

между двумя топологическими пространствами, пусть

W ( г ) :  W ( Икс ) → W ( Y )

быть той же картой, что и f, рассматриваемой как карта между соответствующими предварительно упорядоченными множествами. Тогда W ( g ) — монотонная функция.

Таким образом, отображение между двумя предупорядоченными множествами монотонно тогда и только тогда, когда оно является непрерывным отображением между соответствующими дискретными пространствами Александрова. Обратно, отображение между двумя дискретными пространствами Александрова является непрерывным тогда и только тогда, когда оно является монотонной функцией между соответствующими предупорядоченными множествами.

Однако обратите внимание, что в случае топологий, отличных от топологии Александрова, мы можем иметь отображение между двумя топологическими пространствами, которое не является непрерывным, но, тем не менее, остается монотонной функцией между соответствующими предупорядоченными множествами. (Чтобы убедиться в этом, рассмотрим неалександровское дискретное пространство X и тождественное отображение i  :  X → T ( W ( X )).)

Теоретико-категорное описание эквивалентности

Обозначим через Set категорию множеств и отображений . Пусть Top обозначает категорию топологических пространств и непрерывных отображений ; и пусть Pro обозначает категорию предупорядоченных множеств и монотонных функций . Затем

Т  :  Про → Топ и

W  :  Топ → Профи

являются конкретными функторами над Set , которые являются левым и правым сопряженными соответственно.

Обозначим через Alx полную подкатегорию Top , состоящую из дискретных пространств Александрова. Тогда ограничения

Т  :  Про → Алкс и

А  :  Алкс → Про

являются обратными конкретными изоморфизмами над Set .

Alx на самом деле является бикорефлективной подкатегорией Top с бикорефлектором T ◦ W : Top → Alx  .  Это означает, что для данного топологического пространства X тождественное отображение

я  :  Т ( W ( Икс )) → Икс

непрерывно и для любого непрерывного отображения

е  :  Y → X

где Y — дискретное пространство Александрова, композиция

я  ⁻¹ ◦ ж  :  Y → Т ( W ( Икс ))

является непрерывным.

Связь с построением модальных алгебр из модальных фреймов

Учитывая предварительно упорядоченный набор X , внутренний оператор и оператор замыкания T ( X ) задаются формулой :

Int ( S ) = { x  ∈ S : для всех y  ∈ X, x  ≤  y влечет y  ∈ S }, и

Cl ( S ) = { x  ∈ X : существует y  ∈ S такой, что x  ≤  y }

для всех S  ⊆  X.

Учитывая, что внутренний оператор и оператор замыкания являются модальными операторами на степенном множестве булевой алгебры X , эта конструкция является частным случаем построения модальной алгебры из модального фрейма , т.е. из множества с одним бинарным отношением . (Последняя конструкция сама по себе является частным случаем более общей конструкции комплексной алгебры из реляционной структуры , т. е. множества с определенными на ней отношениями.) Класс модальных алгебр, который мы получаем в случае предупорядоченного множества, — это класс внутренних алгебр — алгебраических абстракций топологических пространств.

Характеристики

Каждое подпространство дискретного по Александрову пространства является дискретным по Александрову. ^[1]

Произведение двух дискретных по Александрову пространств является дискретным по Александрову. ^[2]

Любая топология Александрова сначала счетна .

Любая топология Александрова локально компактна в том смысле, что каждая точка имеет локальную базу компактных окрестностей, поскольку наименьшая окрестность точки всегда компактна. ^[3] Действительно, если является наименьшей (открытой) окрестностью точки , само по себе с топологией подпространства любое открытое покрытие содержит окрестность включенной в . Такая окрестность обязательно равна , поэтому открытое покрытие допускает конечное подпокрытие. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U\}}$

Любая топология Александрова локально связна . ^{[4] [5]}

История

Пространства Александрова были впервые введены в 1937 году П. С. Александровым под названием дискретные пространства , где он дал характеристики в терминах множеств и окрестностей. ^[6] Название «дискретные пространства» позже стало использоваться для обозначения топологических пространств, в которых каждое подмножество открыто, а первоначальная концепция была забыта в топологической литературе. С другой стороны, пространства Александрова сыграли важную роль в новаторских исследованиях Эйстейна Оре систем замыканий и их взаимосвязей с теорией решеток и топологией. ^[7]

С развитием категориальной топологии в 1980-х годах пространства Александрова были заново открыты, когда концепция конечного порождения была применена к общей топологии , и для них было принято название конечно порожденных пространств . Пространства Александрова были заново открыты примерно в то же время в контексте топологий, возникших на основе денотационной семантики и теории предметной области в информатике .

В 1966 году Майкл К. МакКорд и А.К. Штайнер независимо друг от друга наблюдали эквивалентность между частично упорядоченными множествами и пространствами, которые были в точности Т0 - версиями пространств, введенных Александровым. ^{[8] [9]} П.Т. Джонстон называл такие топологии топологиями Александрова . ^[10] Ф.Г. Аренас независимо предложил это название для общей версии этих топологий. ^[11] МакКорд также показал, что эти пространства являются слабыми гомотопически эквивалентными порядковому комплексу соответствующего частично упорядоченного множества. Штайнер продемонстрировал, что эквивалентность представляет собой контравариантный решеточный изоморфизм, сохраняющий произвольные пересечения и соединения, а также дополнение.

В области модальной логики был также хорошо известен результат , согласно которому существует эквивалентность между конечными топологическими пространствами и предпорядками на конечных множествах (конечные модальные фреймы для модальной логики S4 ). А. Гжегорчик заметил, что это распространяется на эквивалентность между тем, что он называл полностью дистрибутивными пространствами и предпорядками. К. Натурман заметил, что эти пространства были дискретными пространствами Александрова, и расширил результат до теоретико-категорной эквивалентности между категорией дискретных пространств Александрова и (открытых) непрерывных отображений и категорией предпорядков и (ограниченных) монотонных отображений, предоставление характеристик предпорядка, а также внутренних и замыкающих алгебраических характеристик. ^[12]

Систематическое исследование этих пространств с точки зрения общей топологии, которым пренебрегали с тех пор, как оригинальная работа Александрова была подхвачена Ф. Г. Аренасом. ^[11]

Смотрите также

• P -пространство , пространство, удовлетворяющее более слабому условию, что счетные пересечения открытых множеств открыты.

Рекомендации

1. Шпеер 2007, Теорема 7.
2. Аренас 1999, Теорема 2.2.
3. Шпеер, Тимоти (16 августа 2007 г.). «Краткое исследование александровских пространств». arXiv : 0708.2136 [math.GN].Теорема 5
4. «Являются ли минимальные окрестности в топологии Александрова путями?». Математический обмен стеками .
5. Аренас 1999, Теорема 2.8.
6. Александров, П. (1937). «Дискретное пространство». Мат. Сб . Новая серия (на немецком языке). 2 : 501–518.
7. О. Оре, Некоторые исследования замыкающих отношений , Duke Math. Дж. 10 (1943), 761–785. См. Марселя Эрне, Замыкание , в книге Фредерика Минара, Эллиота Перла (редакторы), Beyond Topology , Contemporary Mathematics vol. 486, Американское математическое общество, 2009, стр.170 и далее.
8. МакКорд, MC (1966). «Особые гомологии и гомотопические группы конечных топологических пространств». Математический журнал Дьюка . 33 (3): 465–474. дои : 10.1215/S0012-7094-66-03352-7.
9. Штайнер, АК (1966). «Решетка топологий: структура и дополнение». Труды Американского математического общества . 122 (2): 379–398. дои : 10.2307/1994555 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1994555.
10. Джонстон, PT (1986). Каменные пространства (1-е изд. в мягкой обложке). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-33779-3.
11. Аренас, ФГ (1999). «Александровы пространства» (PDF) . Акта Математика. унив. Комениане . 68 (1): 17–25.
12. Натурман, Калифорния (1991). Внутренние алгебры и топология . Кандидат наук. диссертация, факультет математики Кейптаунского университета.