Аукцион с полной оплатой

В экономике и теории игр аукцион со всеми выплатами — это аукцион , в котором каждый участник торгов должен платить независимо от того, выигрывает ли он приз, который присуждается участнику, предложившему самую высокую цену, как и в обычном аукционе. Как показали Райли и Самуэльсон (1981), ^[1] равновесные ставки на аукционе со всеми выплатами с частной информацией эквивалентны ставкам на закрытом аукционе с высокой ставкой или открытом аукционе с возрастающей ценой.

В простейшей версии имеется полная информация. Равновесие Нэша таково, что каждый участник торгов играет в смешанную стратегию , а ожидаемые выплаты равны нулю. ^[2] Ожидаемый доход продавца равен стоимости приза. Однако некоторые экономические эксперименты и исследования показали, что переоценка ставок является обычным явлением. То есть доход продавца часто превышает стоимость приза в надежде обеспечить выигрышную ставку. В повторяющихся играх даже участники торгов, которые часто выигрывают приз, скорее всего, понесут убытки в долгосрочной перспективе. ^[3]

Аукцион с полной оплатой и полной информацией не имеет равновесия Нэша в чистых стратегиях, но имеет равновесие Нэша в смешанных стратегиях. ^[4]

Формы аукционов с полной оплатой

Самая простая форма аукциона со всеми выплатами — аукцион Таллока, иногда называемый лотереей Таллока в честь Гордона Таллока , в котором каждый делает ставку, но и проигравшие, и победители платят свои поданным ставкам. ^[5] Это играет важную роль в описании определенных идей в экономике общественного выбора . ^{[ требуется ссылка ]}

Долларовый аукцион — это аукцион Таллока для двух игроков или многопользовательская игра, в которой только два самых высоких участника платят свои ставки. Другими практическими примерами являются аукцион платы за ставки и лотерея пенни ( уничижительно известная как « китайский аукцион » ^[6] ).

Существуют и другие формы аукционов с полной оплатой, например, война на истощение (также известная как биологические аукционы ^[7] ), в которой выигрывает тот, кто предлагает самую высокую цену, но все (или, что более типично, оба) претендента платят только самую низкую цену. Война на истощение используется биологами для моделирования обычных состязаний или агонистических взаимодействий , разрешаемых без обращения к физической агрессии .

Правила

Следующий анализ следует нескольким основным правилам. ^[8]

• Каждый участник торгов подает заявку, которая зависит только от его оценки.
• Участники торгов не знают оценок других участников торгов.
• Анализ основан на среде независимой частной стоимости (IPV), где оценка каждого участника торгов производится независимо из равномерного распределения [0,1]. В среде IPV, если мое значение равно 0,6, то вероятность того, что у какого-то другого участника торгов значение ниже, также равна 0,6. Соответственно, вероятность того, что у двух других участников торгов значение ниже, равна . ${\textstyle 0.6^{2}=0.36}$

Предположение о симметрии

В IPV участники торгов симметричны, поскольку оценки исходят из одного и того же распределения. Это заставляет анализ сосредоточиться на симметричных и монотонных стратегиях торгов. Это подразумевает, что два участника торгов с одинаковой оценкой представят одну и ту же заявку. В результате, при симметрии, участник торгов с наивысшей стоимостью всегда победит. ^[8]

Использование эквивалентности доходов для прогнозирования функции торгов

Рассмотрим версию аукциона с полной оплатой для двух игроков, и пусть частные оценки независимы и одинаково распределены по равномерному распределению из [0,1]. Мы хотим найти монотонно возрастающую функцию ставок, , которая образует симметричное равновесие Нэша. ${\displaystyle v_{i},v_{j}}$ ${\displaystyle b(v)}$

Если игрок делает ставку , он выигрывает аукцион только в том случае, если его ставка больше ставки игрока . Вероятность того, что это произойдет, составляет ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle b(v_{j})}$

${\displaystyle \mathbb {P} [b(x)>b(v_{j})]=\mathbb {P} [x>v_{j}]=x}$, так как является монотонным и ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle v_{j}\sim \mathrm {Unif} [0,1]}$

Таким образом, вероятность распределения блага составляет . Таким образом, ожидаемая полезность , когда он делает ставку так, как будто его частная ценность равна , определяется как ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle u_{i}(x|v_{i})=v_{i}x-b(x)}$.

Для того чтобы быть равновесием Байеса-Нэша, он должен иметь максимум при , так чтобы не было стимула отклоняться от заданных палочек со своей ставкой . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle u_{i}(x_{i}|v_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}=v_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle b(v_{j})}$

${\displaystyle \implies u_{i}'(v_{i})=0\implies 2v_{i}=b'(v_{i})}$

После интегрирования получаем . ${\displaystyle b(v_{i})=v_{i}^{2}+c}$

Мы знаем, что если у игрока частная оценка , то он сделает ставку 0; . Мы можем использовать это, чтобы показать, что константа интегрирования также равна 0. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}=0}$ ${\displaystyle b(0)=0}$

Таким образом, получаем . ${\displaystyle b(v_{i})={\frac {v_{i}^{2}}{2}}}$

Поскольку эта функция действительно монотонно возрастает, эта стратегия торгов представляет собой равновесие Байеса-Нэша. Доход от аукциона all-pay в этом примере составляет ${\displaystyle b}$

${\displaystyle R=b(v_{1})+b(v_{2})={\frac {v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {v_{2}^{2}}{2}}}$

Так как iid взяты из Unif[0,1], ожидаемый доход составляет ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$

${\displaystyle \mathbb {E} [R]=\mathbb {E} [{\frac {v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {v_{2}^{2}}{2}}]=\mathbb {E} [v^{2}]=\int \limits _{0}^{1}v^{2}dv={\frac {1}{3}}}$.

В силу теоремы об эквивалентности доходов все аукционы с 2 игроками будут иметь ожидаемый доход, если частные оценки являются независимыми от Unif[0,1]. ^[9] ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$

Функция торгов в общем симметричном случае

Предположим, что на аукционе есть нейтральные к риску участники. Каждый участник имеет частное значение , взятое iid из общего гладкого распределения . При условии свободного размещения значение каждого участника ограничено снизу нулем. Без потери общности, тогда нормализуем минимально возможное значение до нуля. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle F}$

Поскольку игра симметрична, оптимальная функция ставок должна быть одинаковой для всех игроков. Назовем это оптимальной функцией ставок . Поскольку выигрыш каждого игрока определяется как его ожидаемый выигрыш за вычетом его ставки, мы можем рекурсивно определить оптимальную функцию ставок следующим образом: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta (v_{i})\in arg\max _{b\in \mathbb {R} }\left\{\mathbb {P} (\forall j\neq i:\beta (v_{j})\leq b)v_{i}-b\right\}}$

Обратите внимание, что поскольку F является гладким, вероятность ничьей равна нулю. Это означает, что вероятность победы в аукционе будет равна CDF, увеличенному до числа игроков минус 1: т.е. . ${\displaystyle \mathbb {P} (\forall j\neq i:\beta (v_{j})\leq \beta (v_{i}))=F(v_{i})^{n-1}}$

Цель теперь удовлетворяет требованиям теоремы о конверте . Таким образом, мы можем записать: ${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{v_{i}}F(\tau )^{n-1}d\tau &=(F(v_{i})^{n-1}\cdot v_{i}-\beta (v_{i}))-(F^{n-1}(0)\cdot 0-\beta (0))\\\beta (v_{i})&=F^{n-1}(v_{i})v_{i}-\int _{0}^{v_{i}}F(\tau )^{n-1}d\tau \\\beta (v_{i})&=\int _{0}^{v_{i}}\tau dF^{n-1}(\tau )\end{aligned}}}$

Это дает уникальную симметричную функцию торгов «равновесие Нэша» . ${\displaystyle \beta (v_{i})}$

Примеры

Рассмотрим коррумпированного чиновника, который имеет дело с донорами избирательной кампании: каждый хочет, чтобы он оказал им услугу, которая стоит где-то от $0 до $1000 (равномерно распределена). Их фактические оценки составляют $250, $500 и $750. Они могут наблюдать только свои собственные оценки. Каждый из них дарит чиновнику дорогой подарок — если они тратят X долларов на подарок, то он стоит X долларов для чиновника. Чиновник может оказать только одну услугу и окажет ее донору, который дает ему самый дорогой подарок.

Это типичная модель для аукциона all-pay. Чтобы рассчитать оптимальную ставку для каждого донора, нам нужно нормализовать оценки {250, 500, 750} до {0.25, 0.5, 0.75}, чтобы можно было применить IPV.

Согласно формуле оптимальной ставки:

${\displaystyle b_{i}(v_{i})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{i}}^{n}}$

Оптимальные ставки для трех доноров по программе IPV:

${\displaystyle b_{1}(v_{1})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{1}}^{n}=\left({\frac {2}{3}}\right){0.25}^{3}=0.0104}$

${\displaystyle b_{2}(v_{2})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{2}}^{n}=\left({\frac {2}{3}}\right){0.50}^{3}=0.0833}$

${\displaystyle b_{3}(v_{3})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{3}}^{n}=\left({\frac {2}{3}}\right){0.75}^{3}=0.2813}$

Чтобы получить реальную оптимальную сумму, которую должен дать каждый из трех доноров, просто умножьте значения IPV на 1000:

${\displaystyle b_{1}real(v_{1}=0.25)=\$10.4}$

${\displaystyle b_{2}real(v_{2}=0.50)=\$83.3}$

${\displaystyle b_{3}real(v_{3}=0.75)=\$281.3}$

Этот пример подразумевает, что чиновник в конечном итоге получит $375, но только третий донор, который пожертвовал $281.3, завоюет благосклонность чиновника. Обратите внимание, что два других донора знают, что их оценки недостаточно высоки (низкий шанс на победу), поэтому они не жертвуют много, таким образом уравновешивая возможную огромную прибыль и низкий шанс на победу.

Ссылки

1. Райли, Джон; Самуэльсон, Уильям (1981). «Оптимальные аукционы». American Economic Review . 71 (3): 381–392.
2. Jehiel P, Moldovanu B (2006) Аллокативные и информационные внешние эффекты в аукционах и связанных с ними механизмах. В: Blundell R, Newey WK, Persson T (ред.) Advances in Economics and Econometrics: Volume 1: Theory and Applications, Ninth World Congress, vol 1, Cambridge University Press, chap 3
3. Гнизи, Ури; Смородинский, Ранн (2006). «Аукционы с полной оплатой — экспериментальное исследование». Журнал экономического поведения и организации . 61 (2): 255–275. doi :10.1016/j.jebo.2004.09.013.
4. Хиллман, Арье Л.; Райли, Джон Г. (март 1989 г.). «Политически оспариваемые ренты и трансферты». Экономика и политика . 1 (1): 17–39. doi :10.1111/j.1468-0343.1989.tb00003.x. ISSN  0954-1985.
5. Димитрий, Никола (29 ноября 2011 г.). «Зеркальное откровение» на аукционах Second-PRice Tullock. SIDE - ISLE 2011 - Седьмая ежегодная конференция.
6. Карлин, Блэр (5 августа 2020 г.). «Что такое китайский аукцион? Обзор и современные альтернативы». OneCause . Получено 2 мая 2024 г. .
7. Чаттерджи, Кришненду; Рейтер, Йоханнес Г.; Новак, Мартин А. (2012). «Эволюционная динамика биологических аукционов». Теоретическая популяционная биология . 81 (1): 69–80. doi :10.1016/j.tpb.2011.11.003. PMC 3279759. PMID  22120126 . 
8. Аукционы: Теория и практика: Тулузские лекции по экономике; Пол Клемперер; Наффилд-колледж, Оксфордский университет, Princeton University Press, 2004
9. Алгоритмическая теория игр. Вазирани, Виджай В.; Нисан, Ноам; Рафгарден, Тим; Тардос, Ева; Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, 2007. Полный препринт онлайн по адресу http://www.cs.cmu.edu/~sandholm/cs15-892F13/algorithmic-game-theory.pdf