В математике почти модули и почти кольца — это определенные объекты, интерполирующие между кольцами и их полями дробей . Они были введены Гердом Фалтингсом (1988) в его исследовании p -адической теории Ходжа .
Пусть V — локальная область целостности с максимальным идеалом m , а K — поле дробей V. Категория K - модулей , K - Mod , может быть получена как фактор V - Mod по подкатегории Серра модулей кручения , т. е. таких N , что любой элемент n из N аннулируется некоторым ненулевым элементом из максимального идеала. Если категорию модулей кручения заменить меньшей подкатегорией , мы получим промежуточный шаг между V -модулями и K -модулями. Фалтингс предложил использовать подкатегорию почти нулевых модулей, т. е. N ∈ V - Mod , таких, что любой элемент n из N аннулируется всеми элементами максимального идеала.
Чтобы эта идея работала, m и V должны удовлетворять определенным техническим условиям. Пусть V — кольцо (не обязательно локальное) и m ⊆ V — идемпотентный идеал , т. е. идеал такой, что m 2 = m . Предположим также, что m ⊗ m — плоский V -модуль. Модуль N над V является почти нулевым относительно такого m , если для всех ε ∈ m и n ∈ N имеем εn = 0. Почти нулевые модули образуют подкатегорию Серра категории V -модулей . Категория почти V -модулей , V a - Mod , является локализацией V - Mod вдоль этой подкатегории.
Фактор- функтор V - Mod → V a - Mod обозначается . Предположения относительно m гарантируют, что является точным функтором , имеющим как правый сопряженный функтор , так и левый сопряженный функтор . Более того, является полным и точным . Категория почти модулей является полной и кополной .
Тензорное произведение V -модулей спускается до моноидальной структуры на V a - Mod . Почти модуль R ∈ V a - Mod с отображением R ⊗ R → R , удовлетворяющим естественным условиям, аналогичным определению кольца, называется почти V -алгеброй или почти кольцом , если контекст однозначен. Многие стандартные свойства алгебр и морфизмов между ними переносятся в "почти" мир.
В оригинальной статье Фалтингса V было целым замыканием дискретного нормирования кольца в алгебраическом замыкании его поля частных , а m — его максимальным идеалом. Например, пусть V будет , т.е. p -адическим пополнением . Возьмем m в качестве максимального идеала этого кольца. Тогда частное V /m является почти нулевым модулем, в то время как V/p является кручением, но не почти нулевым модулем, поскольку класс p 1/ p 2 в частном не аннулируется p 1/ p 2 , рассматриваемым как элемент m .
![{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{\infty }}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fefe91520389d67e5605e9843e32ca67e213ab49)
![{\displaystyle \operatorname {colim} \limits _{n}\mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{n}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f86ad0a05c49206177cbe1b1acf4dd5dd854c7)