Знакопеременный многочлен

В алгебре знакопеременный многочлен — это многочлен, такой, что если поменять местами любые две переменные, многочлен изменит знак: ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}).}$

Эквивалентно, если переставить переменные, то значение полинома изменится на знак перестановки :

${\displaystyle f\left(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n}).}$

В более общем смысле полином называется знакопеременным, если он меняет знак при перестановке любых двух из , оставляя знак фиксированным. ^[1] ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{t})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{j}}$

Связь с симметричными многочленами

Произведения симметричных и знакопеременных многочленов (от тех же переменных ) ведут себя следующим образом: ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

• произведение двух симметричных многочленов симметрично,
• произведение симметричного многочлена и знакопеременного многочлена является знакопеременным, и
• произведение двух знакопеременных многочленов симметрично.

Это в точности таблица сложения для четности , где «симметричный» соответствует «четному», а «переменный» — «нечетному». Таким образом, прямая сумма пространств симметричных и знакопеременных многочленов образует супералгебру ( a - градуированную алгебру ), где симметричные многочлены являются четной частью, а знакопеременные многочлены — нечетной. Эта градуировка не связана с градуировкой многочленов по степени . ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$

В частности, знакопеременные многочлены образуют модуль над алгеброй симметрических многочленов (нечетная часть супералгебры является модулем над четной частью); фактически это свободный модуль ранга 1 с многочленом Вандермонда от n переменных в качестве генератора.

Если характеристика кольца коэффициентов равна 2, то разницы между этими двумя понятиями нет: знакопеременные многочлены — это в точности симметричные многочлены.

полином Вандермонда

Основной знакопеременный многочлен — это многочлен Вандермонда :

${\displaystyle v_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

Это явно чередование, поскольку переключение двух переменных изменяет знак одного члена и не изменяет другие. ^[2]

Знакопеременные многочлены — это в точности многочлен Вандермонда, умноженный на симметричный многочлен: где симметрично. Это потому, что: ${\displaystyle a=v_{n}\cdot s}$ ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle v_{n}}$является множителем каждого знакопеременного многочлена: является множителем каждого знакопеременного многочлена, как если бы , многочлен был равен нулю (поскольку их переключение не меняет многочлен, мы получаем ${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}),}$

так что является фактором), и, таким образом, является фактором. ${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$ ${\displaystyle v_{n}}$

• знакопеременный многочлен, умноженный на симметричный многочлен, является знакопеременным многочленом; таким образом, все кратные являются знакопеременными многочленами ${\displaystyle v_{n}}$

Наоборот, отношение двух знакопеременных многочленов является симметричной функцией, возможно рациональной (не обязательно многочленом), хотя отношение знакопеременного многочлена к многочлену Вандермонда является многочленом. Многочлены Шура определяются таким образом, как знакопеременный многочлен, деленный на многочлен Вандермонда.

Кольцевая структура

Таким образом, если обозначить кольцо симметричных многочленов через Λ _n , то кольцо симметричных и знакопеременных многочленов будет иметь вид , или, точнее , , где — симметричный многочлен, дискриминант . ${\displaystyle \Lambda _{n}[v_{n}]}$ ${\displaystyle \Lambda _{n}[v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle }$ ${\displaystyle \Delta =v_{n}^{2}}$

То есть кольцо симметричных и знакопеременных многочленов является квадратичным расширением кольца симметричных многочленов, к которому присоединен квадратный корень дискриминанта.

В качестве альтернативы можно использовать:

${\displaystyle R[e_{1},\dots ,e_{n},v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle .}$

Если 2 необратим, ситуация несколько иная, и нужно использовать другой многочлен и получить другое соотношение; см. Романьи. ${\displaystyle W_{n}}$

Теория представления

С точки зрения теории представлений симметричные и знакопеременные многочлены являются подпредставлениями действия симметрической группы на n буквах на кольце многочленов от n переменных. (Формально симметрическая группа действует на n буквах и, таким образом, действует на производные объекты, в частности, на свободные объекты на n буквах, такие как кольцо многочленов.)

Симметрическая группа имеет два одномерных представления: тривиальное представление и знаковое представление. Симметричные многочлены являются тривиальным представлением, а знаковые многочлены являются знаковым представлением. Формально, скалярная оболочка любого симметричного (соответственно, знакового) многочлена является тривиальным (соответственно, знаковым) представлением симметричной группы, и умножение многочленов тензорами представлений.

В характеристике 2 это не отдельные представления, и анализ более сложен.

Если , то существуют и другие подпредставления действия симметрической группы на кольце многочленов, как обсуждается в теории представлений симметрической группы . ${\displaystyle n>2}$

Нестабильный

Знакопеременные многочлены являются нестабильным явлением: кольцо симметрических многочленов от n переменных может быть получено из кольца симметрических многочленов от произвольного числа переменных путем оценки всех переменных выше до нуля: симметрические многочлены, таким образом, стабильны или совместимым образом определены. Однако это не относится к знакопеременным многочленам, в частности, к многочлену Вандермонда . ${\displaystyle x_{n}}$

Смотрите также

• Симметричный многочлен
• класс Эйлера

Примечания

1. Джамбруно и Зайцев (2005), с. 12.
2. Скорее, он только переставляет другие члены: для , переключение и изменяется на , и обменивается с , но не меняет их знак. ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle (x_{2}-x_{1})}$ ${\displaystyle (x_{1}-x_{2})=-(x_{2}-x_{1})}$ ${\displaystyle (x_{3}-x_{1})}$ ${\displaystyle (x_{3}-x_{2})}$

Ссылки

• Джамбруно, Антонио; Зайцев, Михаил (2005). Полиномиальные тождества и асимптотические методы. Том 122. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3829-7.
• Основная теорема знакопеременных функций, Матье Романьи, 15 сентября 2005 г.